Vide supra p. 37-88 et p

2. En langage moderne, nous pouvons exprimer la proposition VI par l'égalité

r '° R sin ©.R cos o.<R?) = - R(R cos 90)2,

où nous supposons ç^) >. .

TRAITÉ DES SLNUS 71

rectangle VB en BA par la première de ce Traite '.

Car la somme triangulaire des sinus DI, à commencer par DO, n'est autre chose, par la defmition, que la simple somme de tous les DI compris entre les extrêmes BA, DO, plus la somme de tous les DI. excepté le premier PO, c'est à dire compris entre le second QT et AB, et ainsi de suite. Mais la somme des sinus compris entre DO et BA est égale à OA ou PV en AB ; et la somme des sinus compris entre DT et AB est de mesme egal[e] au rectangle TA ou QS en AB, et ainsi tousjours. Donc la somme triangulaire des sinus DI, à commencer par DO, est égale à la somme des sinus PV, QS, DS, etc.. multipliez par AB : ce qu'il faloit demonstrer.

'ROP

La somme pyramidale des sinus d'un arc quelconque terminé au sommet, à commencer par lo moindre, est égale à la somme des sinus verses du mesme arc multipliée parle quarré du rayon : ou, ce

I . En langage moderne, la somme triangulaire considérée a pour •ipreanon

7R8in9.R(9-<Po)«'(?R)»

et la propocition VII exprime que cette intégrale est égale & :

R /TRco«?.R<<f = R«(R — Rsin^o)-

La somme pyramidale peut être transformée d'une manière sem blable (prop. VUI).

7i OEUVRES

qui est la mesme chose, à l'excez dont l'arc surpasse la distance entre les sinus extrêmes, multiplié par le cube du rayon.

Je dis que la somme pyramidale des sinus DI, à commencer par DO, est égale à la somme des sinus verses DX, multipliée par BA quarré : ou, ce qui est la mesme chose, par le Corollaire, à l'arc BP, moins la droite AO, en AB cube.

Car cette somme pyramidale n'est autre chose que la somme triangulaire des sinus DI compris entre PO et AB, plus la somme triangulaire de tous les sinus compris entre DT et AB, et ainsi de suite. Mais la première de ces sommes triangulaires est égale, par la précédente, à BV ou PX en AB quarré. Et la seconde de ces sommes triangulaires est egale^ par la mesme raison, à BZ ou QX en AB quarré. Donc toutes les sommes triangulaires ensemble, c'est à dire la somme pyramidale des sinus DI, à commencer par PO, est égale à la somme des sinus verses DX multipliez par AB quarré : ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. IX.

La somme des espaces compris entre l'axe et un chacun des sinus d'un arc terminé au sommet est égale, estant prise quatre fois, au quarré de l'arc, plus le quarré de la distance entre les sinus extrêmes, multiplié chacun par le rayon.

Je dis que la somme des espaces DIAB, prise

TEAITË DES SINUS n

quatre fois, est égale au quarré de larcBP, multiplié par AH. plus le quarré de la droite AO, multiplié aussi chacun par AB.

Car ces espaces DIAB ne sont autre chose que les secteurs ADB, plus les triangles rectangles AID. Or chaque secteur ADB est égal à la moitié du rectangle compris de lare BD et du rayon. Donc le secteur pris deux fois est égal au rectangle compris de l'arc et du rayon : et partant tous les secteurs ensemble pris deux fois sont égaux à tous les arcs BD multiplier par AB, ou à la moitié du quarré de lare entier BP, multiplié par AB (puis que tous les arcs ensemble BD sont égaux à la moitié du quarré de l'arc entier BP, parce qu'il est divisé en parties égales). Donc la somme des secteurs, prise quatre fois, est égale au quarré de Tare BP multiplié par le rayon. Et chaque triangle rectangle AID est la moitié du rectangle de Al en ID ; et parlant tous les triangles ensemble AID, pris deux fois, sont égaux à tous les rectangles AI en ID, c'est à dire (par la 5.), à la moitié du quarré AO en AB. Donc quatre fois la somme des triangles AID est égale au quarré AO multiplié par AB. Donc quatre fois la somme des espaces DIAB est égale au quarré de l'arc BP, plus au quarré de AO, multiplié chacun par AB : ce qu'il falloit demonstrer.

Phop. X.

La somme triangulaire des mesmes espaces prise quatre fois, à commencer par le moindre sinus, est

égale au tiers du cube de l'arc ; plus la moitié du solide compris de l'arc et du quarré du rayon ; moins la moitié du solide compris du moindre sinus et de la distance d'entre les extrêmes et du rayon ; le tout multiplié par le rayon.

Je dis que la somme triangulaire des espaces DIAB, à commencer par PO, prise quatre fois, est iegale au tiers du cube de l'arc BP, multiplié par AB ; plus la moitié de l'arc BP, multiplié par AB cube; moins la moitié du rectangle AO en OP, multiplié par AB quarré.

Car la somme triangulaire de ces espaces, à commencer par DO, se forme en prenant : premièrement, la somme simple de tous ces espaces, dont le quadruple est égal (par la preced.) au quarré de l'arc BP multiplié par AB, plus AO quarré multiplié aussi par AB ; et en prenant ensuite la somme de tous les espaces, excepté le premier BPOA, sçavoir la somme de tous les espaces BQTA, BDIA, etc., dont le quadruple est égal (par la preced.) à l'arc BQ quarré, multiplié par AB, plus TA quarré multiplié par AB ; et ainsi tousjours. Donc quatre fois cette somme triangulaire des espaces BDIA est égale à la somme de tous les arcs BD quarré multipliez par AB ; c'est à dire au tiers du cube de l'arc entier BP, multiplié par AB, plus la somme de tous les lA quarré, ou de tous les DS quarré (qui sont les sinus sur l'axe) multiplie[z] parAB. Mais la somme des sinus DS quarré est égale à l'espace BPV, multiplié

TRAITÉ DBS SmUS 7»

par AB (par la seconde de ce» propositions), cl en prenant AB pour commune hauteur, la somme des DS ou lA quarr^, multipliez par AB, sera égale à l'espace BPV multiplié par AB quarré.

Donc la somme triangulaire de tous les espaces DIAB est égale au tiers du cube de l'arc BP» multiplié par AB ; plus à l'espace BPV; multiplié par AB quarré ; mais l'espace BPV est égal au secteur BPA, moins le triangle AVP ; c'est à dire à la moitié du rectangle compris de l'arc BP et du rayon BA, moins la moitié du rectangle de AO en OP. Donc cette somme triangulaire est égale au tiers du cube de l'arc BP, multiplié par AB, plus la moitié de l'arc multiplié par AB cube, moins la moitié de AO en OP, multiplié par AB quarré : ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. XL

La somme triangulaire des quarrez des sinus d*un arc quelconque, terminé au sommet, à commencer par le moindre sinus, est égale, estant prise quatre fois, au quarré de l'arc, plus au quarré de la distance entre les sinus extrêmes, multipliez chacun par le quarré du rayon.

Je dis que la somme triangulaire des DI quarré, prise quatre fois, à commencer par PO, est égale au quarré de l'arc BP, plus au quarré de la droite AO, multipliez chacun par AB quarré.

Car cette somme triangulaire des DI quarré se trouve en prenant premièrement la simple somme

de tous les DI quarré, qui est égale (par la 2.) à l'espace BDOA, multiplié par AB, et en prenant ensuitte la somme des mesmes quarrez, excepté le premier PO, sçavoir Qï quarré, DI quarré, etc., qui sont égaux (par la mesme 2.) à l'espace QTAB, multiplié par AB; et ainsi tousjours. Donc la somme triangulaire de tous les DI quarré est égale à la somme des espaces DIAB, multipliée par AB. Donc aussi leurs quadruples seront égaux ; mais la somme de ces espaces, prise quatre fois, est égale au quarré de l'arc BP, plus au quarré AO, multipliez par AB : et, en multipliant encore le tout par AB, la somme des espaces DIAB, prise quatre fois, et multipliée par AB, sera égale au quarré de l'arc BP, plus au quarré AO, multipliez par AB quarré. Donc aussi la somme triangulaire des DI quarré sera égale au mesme arc BP quarré, plus au mesme AO quarré, multipliez de mesme par AB quarré : ce qu'il faloil demonstrer.

tivmtf; des arcs de