I. Cf. supra p. 37 sqq

a. Vidf supra p. li^ sqq.

3. La somme des DI cubes est donnée ; puisqu'il €st monstre qu'elle est égale à la somme des quarrez des ordonnées au rayon AC, comprises entre les sinus extrêmes BA, PO, multipliez par AB. Or AB «si connu, et aussi la somme des quarrez de ces ordonnées, puis que l'espace BPOA est icy donné, et que son solide au tour de AO l'est aussi par Archimede.

4. La somme triangulaire de ces ordonnées DI «st aussi donnée ; puis qu'il est monstre qu'elle est égale à la différence d'entre les sinus extrêmes BA, TO, c'est à dire à BS qui est donnée, multipliée par le quarré du rayon.

5. La somme pyramidale des mesmes sinus DI €st aussi donnée ; puis qu'il est monstre qu'elle est égale à l'excez dont l'arc donné BP surpasse la droite donnée AO ou SP, multiplié par le cube du rayon.

6. Enfin la somme triangulaire des DI quarré est donnée ; puis qu'il est monstre qu'estant prise quatre fois, elle est égale au quarré de l'arc donné BP, plus au quarré de la droite donnée AO ou PS, multipliez chacun par le quarré du rayon,

Prop. il

Soit maintenant dans le diamettre du demy cercle, fig. 18., ABGF la portion BH donnée plus grande que le rayon BA, laquelle estant divisée en un nombre indefiny de parties égales aux points Z, soient menées les ordonnées ZD.

TRAITS DBS ARCS DE CBRCLB

Je (lis que les mesmes sommes que dans la piiM cdente seront données dans les arcs BD : c'e>t ù dire la somme simple des arcs ; celle de leurs quarrcz ; el celle de leurs cubes ; la somme triangulaire des arcs ; la somme triangulaire de leurs quarrez ; el la somme pyramidale des arcs.

Car, en achevant de diviser la portion restante H F aux points Z en parties égales aux parties de la portion HB, et menant les ordonnées ZS : il s'ensuit (parla prcced.), que toutes ces sommes sont données, tant dans les arcs FiN, compris entre les points F et G, que dans les arcs FS, compris entre les points F et K (puis que FFÏK est un triligne circulaire, et que le quart de cercle FAG en est un autre, desquels le point F est le sommet). Donc aussi les mesmes sommes seront données dans les arcs FM, puis que si de tous les arcs FN on oste les arcs FS, il restera les arcs FM. Donc l'arc GK sera une ligne donnée, divisée comme on voudra en un nombre indefmy de parties aux points D, ou M, ou S (car toutes ces lettres ne marquent qu'un mesme point), à laquelle sont adjoùlées de part et d'autre des portions données KF, GB ; et il arrive que toutes les sommes proposées sont données dans les lignes FM ; donc elles le seront aussi dans les arcs BM

(par ce qui est monstre à la fin des proprietez des sommes simples, triangulaires, etc.). Mais les mesmes sommes sont données (par la précédente) dans les arcs BO du quart de cercle BGA : donc (en ajoutant les deux ensemble) les mesmes sommes seront données dans tous les arcs BD, puis que la somme des arcs BD n'est autre chose que la somme des arcs BO, plus la somme des arcs BM : ce qu'il faloit demonstrer.

Corollaire.

De ces propositions, il paroist que, si la portion quelconque AH donnée est divisée en un nombre indefiny de parties égales en Z, d'oii soient menées les ordonnées ZM, on connoistra la somme des arcs FN, et leurs sommes triangulaires, et leurs sommes pyramidales, etc.

Lemme * .

Soit une figure plane quelconque (fig. 25.) ACQT, dont le centre de gravité soit Y. Soit divisée cette figure en tant départies qu'on voudra, et telles qu'on voudra, comme en deux parties AQT, AQC, desquelles les centres de gravité soient R, V, d'oii soient menées les perpendiculaires VS, RK, sur une droite quelconque AG (laquelle AG ne coupe pas la figure proposée AGQT, mais, ou qu'elle la borne, ou

I. Ce Icmme ne fait qu'énoncer une application particulière du théorème général relatif aux moments par rapport à un axe.

TRAITt DBS ARCS DE CERCLE 83

lii oUe en soit entièrement dehors), et soit, sur la ! nesme AG , menée la perpendiculaire YO du centre de gravite de la figure entière ACQ.

Je dis que le solide fait de la Ggure entière VCQT. multipliée par son bras YO. est esgal à tous les solides ensemble faits des parties, multipliées chacune par son bras particulier, c'est à dire au solide de la figure TAQT, multipliée par son bras RK, plus au solide de la figure QAC, multipliée par son bras VS.

Car, si on entend 'une multitude indéfinie de droites paraleles à AC, et toutes esloignées chacune de sa voisine d'une mesme distance moindre qu'aucune donnée, et qui couppent ainsi toute la figure, comme il a esté supposé dans la méthode des centres de gravité : il est visible, par cette méthode, que la somme triangulaire des portions de cette figure entière ACQT, comprises entre les parallèles voisines, est esgale à la figure multipliée par son bras YO ; et que de mesme la somme triangulaire des portions de la petite figure TAQ, comprises entre les mesmes paraleles, est esgale à cette figure TAQ,

^<iition de i658 : [qu'june multitude.

multipliée par son bras RK ; et enfin que la somme triangulaire des portions de l'autre petite figure AQC, comprises entre les mesmes paraleles, est esgale à cette mesme portion AQC, multipliée par son bras VS. Mais les portions de la figure entière ACQT, comprises entre les mesmes paraleles, ne sont autre chose que les portions de sa partie ATQ, plus le» portions de sa partie AQC, comprises entre les mesmes parallèles. Et de mesme la somme triangulaire des portions de la figure entière n'est autre chose que la somme triangulaire des portions de la partie AQT, plus la somme triangulaire des portions de l'autre figure AQC. Donc aussi la figure entière ACQT, multipliée par son bras YO, est esgale à la partie AQT multipliée par son bras RK, plus à la partie AQC multipliée par son bras VS.

Corollaire.

De là il s'ensuit que la figure entière ATQC multipliée par son bras YO, plus la mesme figure entière, moins sa première portion AQT, sçavoir la portion AQC, multipliée par son bras VS, est esgale à la première partie AQT, multipliée par son bras RK, plus à la seconde portion de la figure AQC, multipliée par deux fois son bras VS. Ce qui paroist par l'esgalité demonstrée dans le Lemme, puis qu'on ne fait qu'y adjouster de part et d'autre le solide de la partie AQC, multipliée par son bras VS.

Et ' si la figure estoit divisée en trois parties, comme le secteur. AQC» fig. a^.. lequel est divisé en trois parties, qui sont les secteurs QAS, SAH. IIAG: on monstrera de mesme

que la figure entière QAC multiplié[o] par son bras sur AC ; plus la ligure entière moins sa première portion QAS, c'est à dire la figure restante SAC, multipliée par son propre bras sur la mesme

AC : plus la figure entière QAC, diminuée de ses deux premières portions QAS, SAR, c'est à dire la portion restante RAC multipliée aussi par son propre bras sur la mesme AC, sont égales à la première portion QAS, multipliée par son propre bras sur AC ; plus la seconde portion SAR multipliée par deux fois son bras sur AC : plus la troisiesme portion RAC multipliée par trois fois son bras sur AC. Et ainsi àTinfiny, en quelque nombre de portions que la figure soit divisée.

Lemme III.

S<jit (fig. 3o.) un secteur quelconque, qui ne soit pas plus grand qu'un quart de cercle, DAC divisé

I . CeUe proposition constitue un deuxième Icrome ] c'est pourquoi Pftscal donne le numéro III au lemmc suivant.

en un nombre indefiny de petits secteurs égaux QAS, SAR, RAC, desquels les centres de gravité soient* P, T, N, et les bras sur AG soient PO, TO. NO:

Je dis que tous les points P, T, N, sont dans un

arc de cercle concentrique à l'arc QDG, et que les petits arcs NN sont tous esgaux entre eux, comme les petits arcs DD sont aussi esgaux entre eux ; et que chacun des petits arcs NN est à chacun des arcs DD comme le rayon FA de l'arc PTN au rayon DA de Tare QDC ; et que le rayon FA est les deux tiers du rayon DA.

Gela est visible de soy-mesme, puis que ces secteurs estant en nombre indefiny, ils doivent estre considérez comme des triangles isosceles, desquels le centre de gravité est aux deux tiers de la droite qui divise l'angle par la moitié.

Corollaire.

De là il paroist que les bras NO des secteurs DAD sont les sinus de l'arc FNI, dont le rayon est les deux tiers du rayon AD.

I. Sur la figure les centres de gravité sont désignés par les petites lettres t, n.

Peop. m.

Soit (fig. 3o.) un quart do cercle donné ABC, dans l'arc duquel soit donné le point Q, tel qu*on voudra, et ayant divisé l'arc QC en un nombre indefiny d'arcs esgaux aux points D, d*où soient menez les rayons AD :

Je dis que la somme des secteurs ADC est donnée, et égale au quart du quarré de Tare QC multiplié j>ar le rayon AH.

Car chaque secteur ADC est égal à la moitié de l'arc DC. multiplié par le rayon AB. Or, puis que l'arc QC est divisé en parties égales, la somme de tous les arcs DC sera esgale à la moitié du quarré de l'arc entier QC ; et partant la moitié de la somme des mesmes arcs DC sera esgale au quart du quarré de l'arc QC. Et, en multipliant le tout par AB, la moitié de tous les arcs DC, multipliez par AB, c'est à dire la somme des secteurs ADC, sera esgale au quart du quarré de l'arc QC multiplié par AB : ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. IV.

Les mesmes choses estans posées : Je dis que la somme triangulaire des mesmes secteurs ADC, à commencer du costé de QA, est donnée, et esgale à la douziesme partie du cube de rare QC, multiplié par le rayon.

Car la somme triangulaire des secteurs ADC, à commencer du costé de AQ, n'est autre chose que la simple somme de tous les secteurs ADC prise une fois, c'est à dire (par la précédente) le quart de QG quarré en AB, plus la simple somme des mesmes secteurs ADC, excepté le premier QAS, c'est à dire la somme des secteurs SAC, RAG, etc., qui sont esgaux (parla précédente) au quart de SG quarré en AB, et ainsi des autres. D'où il paroist que la somme triangulaire des secteurs ADG est esgale au quart des quarrez de tous les arcs DG. Mais la somme des quarrez de tous les arcs DG est esgale au tiers du cube de l'arc entier QG ; donc la somme triangulaire des secteurs ADG est esgale à la douziesme partie du cube de l'arc entier QG, multiplié par AB : ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. V.

Soit (fig. 3o.) le point Q donné où l'on voudra dans l'arc BG du quart de cercle donné BAG ; et soit l'arc QC divisé en un nombre indefîny d'arcs esgaux aux points D, d'où soient menez les rayons DA :

Je dis que la somme des solides compris de chaque secteur ADG, et de son propre bras sur AG, est connue et esgale au tiers de l'arc DG, moins le tiers de la droite GK (en menant le sinus QK) multiplié par AB cube.

Gar pour connoistre la somme de ces solides, il sufiira de connoistre la somme de ces autres solides

qui leur sont esgaux (par le Lemme a.), sçavoir. le petit secteur QAS multiplié par son propre bras PO. plus l*autre petit secteur SAR multiplie par deux fois son propre bras tO, plus le petit secteur HAC multiplié par trois fois son propre bras NO, et ainsi tousjours: c'est ù dire le* petit secteur QAS, ou le rectangle compris du rayon AB et de la moitié du petit arc QS ou DD, multiplié par PO pris une fois, plus par /O pris deux fois, plus par Tautre NO pris trois fois, et ainsi tousjours : c'est ù dire, *la somme triangulaire des bras nO, à commencer par PO, multipliez cbacun par la moitié des petits arcs DD, et le tout multiplié par AB.

Or le rayon AB est connu: donc, si on connoist encore la somme triangulaire des bras NO (multipliez cbacun par la moitié des petits arcs DD), on connoistra la somme de tous les solides proposez.

Mais (par le Lemme preced.), tous ces bras NO sont les sinus de l'arc FPI, desquels la somme triangulaire est connue par le Iraitlé des sinus ', et égale au solide compris de AF quarré et de la difTerence dont l'arc FNI surpasse la droite GI (lors que les sinus NO sont multipliez par les petits arcs NN). El partant cette somme triangulaire des sinus NO sera à la somme triangulaire des mesmes sinus NO multipliez par les petits arcs DD en raison donnée, sçavoir comme AF quarré à AQ, ou AB quarré (parce que

I. Édition de i65ë : [au] p«tit secUmr, faute manifeste. 3. Édition de i658 : [à] U [forme], faute manifeste. 3. Vide U proposition VII, gupra p. 70.

la somme triangulaire de ces sinus, multipliez par ces petits arcs, est un solide duquel les arcs donnent deux dimensions). Donc celle somme triangulaire des sinus NO, multipliez par les arcs DD, est égale à l'arc FNI, moins la droite IG, multiplié par AB quarré, ou aux deux tiers de Tare QC, moins les deux tiers de la droite CK, multipliez par AB quarré. Et par conséquent la somme triangulaire des mesmes sinus NO, multipliez* par la moitié des petits arcs DD, est égale à un tiers de l'arc QC, moins un tiers de la droite GK, multiplié par AB quarré. Et en multipliant le tout par AB, le tiers de l'arc QG, moins le tiers de la droite CK, multipliez par AB cube, sera esgal à la somme triangulaire des mesmes sinus NO multipliez par la moitié des petits arcs DD, et le tout multiplié par AB ; ce qui est monstre estre esgal aux solides proposez à connoistre.

Prop. VI.

Les mesmes choses estant posées : Je dis que la somme des solides compris de chaque secteur ADG, et de son bras sur AB, est donnée, et égale au tiers de la droite CR multiplié par AB cube.

Car en menant les bras NT sur AB, qui seront aussi des sinus, on demonstrera de mesme que la somme des solides proposez est esgale à la somme triangulaire des bras ou sinus NT, à commencer