I. Édition de i658 : [multipliée], faute manifeste

par PT, multipliez chacun par la moitié des petits arcs DD, el le tout multiplié par AB.

Et. d'autant que la somme triangulaire des sinus NT (multipliez chacun par les petits arcs NN) est esgale, par le Traitté des sinus, à la droite IG, multipliée par AF quarré, on conclura, comme en la preced., que la somme triangulaire des mesmes sinus NT. inultipUez par la moitié des petits arcs DD, et le tout multiplié par AB, est esgale au tiers de la droite CK. multipliée par AB cube.

Prop. VII.

Soit donné (fig. 27.) le mesme quart de cercle ABC, el un point Q

D^F/^af ray.

dans son arc, d'où soient menez les sinus DX el les rayons DA.

Je dis que la somme des triangles AXD est donnée, et égale au quart du quarré de la droite AZ, qui mesure la distance entre les sinus extrêmes, multipliée par le rayon.

Car tous ces triangles AXD sont la moitié des rectangles AX en XD, la somme desquels est demonstréc (dans le Traitté des sinus) estre esgale à la moitié du quarré de la droite AZ, multipliée par AB. Donc, etc.

Prop. vm.

Les mesmes choses estant posées : Je dis que la somme triangulaire des mesmes triangles AXD, à commencer du costé de QX, est donnée et esgale à la huictiesme partie de l'arc QC, multipliée par AB cube, moins la huictiesme partie du rectangle compris du dernier sinus QZ et de ZA (qui est sa distance du point A), multipliée par AB quarré.

Car la somme triangulaire des triangles AXD, à commencer du costé de ZQ, n'est autre chose que la simple somme de tous, c'est à dire (par la preced.), un quart de AZ quarré multiplié par AB, plus la somme des mesmes triangles AXD, excepté le premier AZQ, qui sera égale (par la preced.), au quart de AV quarré multiplié par AB. Et ainsi tousjours. De sorte que la somme triangulaire de ces triangles est esgale au quart de la somme des quarrez AX multipliez par AB; ou au quart des quarrez DI, multipliez par AB ; ou au quart de l'espace QKG multiplié par AB quarré (car la somme des quarrez des sinus DI est esgale à l'espace QKG multiplié par AB, par le traitlé des sinus) ; c'est à dire au quart du secteur AQC multipHé par AB quarré, moins le quart du triangle AKQ multiplié par AB quarré. Ce qui est la mesme chose qu'un huictiesme de l'arc QG, multiplié par AB cube, moins un huictiesme du rectangle QZ en ZA, multiplié par AB quarré.

TRAITÉ DBS ARCS DB CERCLB •$

'KOI*.

Soit un quart de cercle (Rg. 27.) donné, dans l'arc duquel soit donné le point quelconque Q ; et lare QC estant divisé en un nombre indefiny d'ares esgaux aux |>oints D, d'où soient menez \e^ sinus DX et les rayons DA :

Je dis que la somme des solides compris de chaque triangle AXD et de son bras sur AG, est donnée et égale au tiers de la portion AZ en AB cube, moins le tiers de la somme des quarrez des ordonnées à la portion AZ« qui sont donnez, puis que l'espace AZQG et son solide autour de AZ sont donnez par Archimedc, multipliez par AB.

Car le bras de chacun de ces triangles sur AC est les deux tiers de chaque AX. Donc la somme des solides proposez n'est autre chose que la somme des triangles AXD, multipliez chacun par les deux tiers de son costé AX. Or chaque triangle rectangle AXD, multiplié par les deux tiers de son costé AX, est égal au tiers de AX quarré en XD, c'est à dire (chaque AX quarré estant AD quarré, moins DX quarré), au tiers de chaque AD quarré en DX, moins le tiers de chaque DX cube. Donc tous les triangles ensemble AXD, multipliez chacun par les deux tiers de AX, sont égaux au tiers de tous les DX multipliez par AD ou AB quarré, moins le tiers de la somme de tous les DX cubes ; c'est à dire (puis que tous les DX sont égaux à AZ en AB. et

que tous les DX cubes sont égaux aux qnarrez des ordonnées à la portion AZ, multipliez par AB) au tiers de la portion AZ en AB cube, moins le tiers de la somme des quarrez des ordonnées à la portion AZ, multipliez par AB ; ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. X.

Les mesmes choses estans posées : Je dis que la somme des solides compris de chaqu'un des triangles AXD, multiplié par son bras sur AB, est donnée, et égale à un sixiesme de CK (qui est la différence entre les sinus extrêmes), multiplié par AB cube, moins un sixiesme de la somme des quarrez des ordonnées à la portion G K (laquelle est donnée, puis que l'espace QKG et son solide sont donnez par Archimede) multipliée par AB quarré.

Car chacun de ces triangles est la moitié du rectangle AX en XD, et le bras de chacun sur AB est le tiers de XD. Donc la somme de ces triangles multipliée par ces bras sont la moitié des rectangles AX en XD, multipliée par un tiers de XD ; c'est à dire un sixiesme des solides AX en XD quarré ; ou (puis que chaque XD quarré est égal à AD quarré, moins AX carré) un sixiesme des solides de AX en AD quarré, moins un sixiesme des AX cubes, ou un sixiesme des soHdes des DI en AD quarré, moins un sixiesme des DI cubes ; c'est à dire (puis que la somme des DI est esgale à CK en AB, et que la somme des DI cubes est esgale à la somme des quarrez des ordonnées à la portion CK, multipUées

TRAITS DBS ARCS DK CBRCLB M

par AB) un sixiesme de la portion CK en AB cube, moins un sixiesme de la somme des quarrez des ordonnées à la portion GK« multipliée par AB quarrë.

Corollaire I.

Si le point donné Q est au point B, c*est à dire si on considère tout le quart de cercle entier, au lieu de n'en considérer que la portion AZQC : On y conclura les mesmes choses qu'on a faites jusqucs icy, puis que ce n*est qu'un cas de la Proposition générale, et que mesme ce cas est tousjours le plus facile.

Il faudra entendre la mesme chose dans les propositions suivantes.

Corollaire IL

De toutes ces propositions, il s'ensuit que s'il y a un quart de cercle donné (fig. 27.) ABC, dans l'arc duquel soit donné le point Q, et que l'arc QG estant divisé en un nombre indefiny d'arcs esgaux en D, on en mené les sinus DX et les rayons DA : Il arrivera :

1 . Que la somme des espaces AXDC sera donnée, puis que chacun de ces espaces est composé du secteur AQC et du triangle AXD, et que la somme de ces parties est donnée ; c'est à dire, tant la somme des secteurs AQC, que celle des triangles AXD, est donnée par les preced.