Que la somme triangulaire des mesmes es

paces AXDG est donnée. Car elle est esgale aux sommes triangulaires de leurs parties qui sont données par les preced.

3. Que la somme de ces espaces AXDC, multipliez chacun par son bras sur AG, est donnée : car la somme de leurs parties (sçavoir de ses secteurs et de ses triangles), multipliées chacune par leurs bras sur AG, est donnée par les Propositions preced. Et il a esté monstre par les Lemmes preced., que la figure entière, multipliée par son bras sur AG, est égale à ses parties multipliées chacune par leurs bras sur la mesme AG.

4. Que la somme des mesmes espaces AXDG» multipliez chacun par son bras sur AB, est donné [e]. Gar elle est esgale à la somme de leurs parties multipliées par leurs bras sur la mesme AB, qui est donnée par les Propositions précédentes.

Prop. XI.

Soit* (fig. 28.) un quart de cercle donné MTG, dans le rayon duquel estant donné le point quelconque P, d'où soit menée l'ordonnée PV, et la portion PM divisée en un nombre indefiny de parties égales aux points O, d'oii soient menées les ordonnées OR :

Je dis que la somme des rectangles compris de chaque ordonnée OR et de son arc RM (compris entre l'ordonnée et le sommet M), est donnée.

I. Pascal revient ici à la théorie générale des trilignes circulaires >

Ci.i. cil prenant dans un autre quart de cercle pareil ABC le point correspondant Z, et menant les sinus QZ. et divisant Tare entier BQG, aux points D, en un nombre indefiny d'arcs égaux, tant enlr* eux qu aux portions égales 00 de la droite MP, d'où solcrjt iiK iK / li^s sinus DX: Il a esté demonslré dans

le traité des Irilignes, prop. 12., que la somme des rectangles compris de chaque OR et de Tare RM, est csgale à la somme des espaces QZLN (compris entre le sinus QZ et chacun des autres sinus DN, ou LN, qui sont entre les points Q, B).

Or la somme de ces espaces est donnée. Car si de la somme des espaces AXDG (compris entre AC et le point B), qui est donnée par les propositions preced., on oste la somme des espaces AXSC (compris entre AC et ZQ), qui est aussi donnée par les Coroll. precedens, les portions restantes ANLC 3« «érie, VI 7

seront aussi données ; c'est à dire (en prenant les portions au lieu du total), la somme des portions ZNLQ, plus la portion AZQG prise autant de fois, c'est à dire multipliée par Tare BLQ : mais cette portion AZQC, multipliée par l'arc BQ, est donnée, puis que tant la portion que l'arc sont donnez. Donc la somme des portions ZNLQ sera donnée. Et partant aussi la somme des rectangles compris de chaque OR et de l'arc RM : ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. XII.

Les mesmes choses estans posées, je dis que la somme des solides compris de chaque 01\ et du quarré de l'arc RM est donnée.

Car, en reprenant la mesme figure, il a esté demonstre dans le Traité des trilignes, prop. i3., que la somme de ces solides est double de la somme triangulaire des portions ZNLQ, à commencer par B.

11 suffira donc de monstrer que celte somme triangulaire est donnée, et on le monstrera en cette sorte.

Si de la somme triangulaire de toutes les portions AXDG, qui est donnée par les Goroll. précédents, on oste la somme triangulaire de toutes les portions AXSC, qui est aussi donnée par les mesmes propositions, la somme triangulaire restante des portions ANLC sera donnée : c'est à dire (en prenant les parties au heu du total) la somme triangulaire

des portions ZNLQ, plus la portion AZQC, prise autant de fois, ou multipliée par la moitié du quarré de l'arc BQ (car la somme triangulaire d'un nombre indefin) de points est égale à la moitié du quarré de leur somme simple) ; mais la portion AZQC est donnée, et aussi la moitié du quarré de i arc BQ. Donc la somme triangulaire des ZNLQ Test aussi : ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. XIII.

Les mesmes choses estant posées, je dis que la somme des quarrez des ordonnées I\0, multipliez chacun par l'arc RM, est donnée.

Car, par la i5. prop. des trilignes, la somme de ces solides est double de la somme des solides compris de chaque espace ZNLQ, multiplié par son bras sur AB. Donc il suffira de connoistre la somme de ces derniers solides : ce qui se fera en cette sorte.

Si de la somme des sohdes compris de chaque espace AXDC et de son bras sur AB, qui est donnée par le Corollaire précèdent, on osle la somme des solides compris de chaque espace AXSC et de son bras sur AB, on aura la somme des solides compris de chacun des espaces restans ANLC et de son bras sur AB ; c'est à dire (en prenant les portions au lieu du total) qu'on connoistra la somme des sohdes compris de chaque espace ZNLQ et de son bras sur AB, plus l'espace AZQC pris autant de fois, ou multiplié par l'arc BQ, et le tout multiphé

par le bras de cet espace AZQG sur AB ; (car il a esté demonstré, dans les Lemmes de ce traité, que Tespace entier quelconque ANLG, multiplié par son l)ras sur AB, est égal à la portion AZQC, multipliée par son bras sur AB, plus à la portion restante ZNLQ, multipliée tousjours par son bras sur la mcsme AB).

Or on connoist l'espace AZQG, multiplié par BQ, et le tout multiplié par son bras sur AB, puis qu'on connoist l'arc BQ, l'espace AZQG, et son bras sur AB. Donc on connoist la somme restante des espaces ZNLQ, multipliez chacun par son bras sur AB : ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. XIV.

Les mesmes choses estant posées : je dis que la somme triangulaire des rectangles compris de chaque ordonnée OR et de son arc RM est donnée ; ou, ce qui est la mesme chose, la somme des PO en OR en RM.

Gar cette somme est égale, par la i4. prop. des Trilignes, à la somme des solides compris de chaque espace ZNLQ et de son bras sur ZQ. Donc il suffira de connoistre cette dernière somme, ou mesme il suffira de connoistre la somme des solides compris de chacun des mesmes espaces ZNLQ et de son bras sur AG ; puis que chaque bras sur ZQ diffère du bras sur AG d'une droite égale à ZA, et que la somme des espaces ZNLQ, multipliez chacun par

TRAITS Des ARCS DE CERCLE iOI

ZA, est donnée (ZA estant donnée, et aussi la somme des espaces ZNLQ). Or on connoistra cette somme des espaces ZlNLQ, multipli» / cIkumih par s<»ii l)ras sur AC, en cette sorte :

Si de la somme des espaces AXDC, multipliez chacun par son bras sur AC, qui est donnée par le Coroll. précèdent, on oste la somme des espaces AXSC, multipliez chacun par leurs bras sur AC, qui est aussi [donnée] par lemesme Coroll., la somme restante des espaces ALNC, multipliez par leurs bras sur AC, sera connue : c'est ù dire (en prenant les portions au lieu du total), la somme des portions ZNLQ, multipliées chacune par son bras sur AC, plus AZQC, pris autant de fois (ou multiplié par Tare BQ), et le tout multiplié par le bras de l'espace AZQC sur AC. Or on connoist ce dernier produit de l'espace AZQC, multiplié de cette sorte (puisqu'on connoist Tespace AZQC, et son bras sur AC, et l'arc QB).

Donc on connoist la somme des espaces ZNLQ, multipliez chacun par son bras sur AC. Donc, etc. Ce qu'il faloit demonstrer.

Prop. XV.

Soit' donné un demy cercle MTF (fig.^ 28.), dont G soit le centre, et dont le diamètre MF soit divisé en un nombre indeGny de parties égales aux points

I. Patcal reprend ici la propo»ition XI en se plaçant daos ÏUjpo-

où le trilignc est plus grand qu'un quart de cercle. a. Voir la double figure sS-aQ, supra p. 97.

toi ŒUVRES

O, d*où soient menées les ordonnées OA, et soit donnée une ordonnée quelconque PV, menée du point donné P dans le dcmy diamètre GM.

Je dis que la somme des rectangles compris de toutes les ordonnées 01 (qui sont entre l'ordonnée PVet le point F, qui est l'extrémité de l'autre demy diametlre GF) et de l'arc IF (entre chaque ordonnée et le point F) est donnée.

Car si on oste la somme des rectangles OR en RM (compris de toutes les ordonnées depuis PV jusqu'à M, et de leurs arcs), qui est donnée par la précédente, [de] la somme des rectangles OS en SM (compris des ordonnées, depuis le rayon GT jusqu'à M, et de leurs arcs), qui est aussi donnée par la mesme preced., les rectangles restans OC en CM, compris des ordonnées OC en GT et PV, et de leurs arcs, seront connus.

Donc, par les proprietez des sommes simples triangulaires, etc.*, en considérant l'arc TV comme une ligne donnée, divisée en un nombre indefiny de telles parties qu'on voudra, aux points C, à laquelle sont adjoustées de part et d'autre les lignes données VRM, TBF, et en prenant les droites CO pour coejiciantes^ : Il s'ensuit que, puis que la somme des rectangles OC en CM est donnée, aussi la somme des rectangles OC en CF (compris de chaque CO et de l'arc CBF) sera donnée.