TRAITÉ GÉNÉRAL DE LA ROULETTE

milUude des triangles rectangles FKN, FDC, ayons tes coste: FC, FN égaux entr'eux.

Je dis enfui que Varc CN sera égal à rare CD.

Car ces arcs sont entreux en raison composée de la raison des rayons FC, GC (G estant le centre du demy cercle CDF), et de la raison des angles NFC» DGC.

Or un de ces angles est double de Vautre, et réciproquement un des rayons est double de Vautre, et ainsi la raison composée de ces deux raisons, dont Vune est double et Vautre sous-double \ est la raison d'égalité.

Lemmb II.

Soit CDF un dcmy-cercle (fig. 22.) dont FC soif le diamettre. Soit FCEZ un autre demy cercle, dont CF prolongée et doublée soit le diametlre. Soit CHK une parabole, dont CF soit Vaxe, C le sommet, et dont le costé droit soit égal à CF, et partant à la base FK. Soit donnée une portion quelconque CO du diametlre, et soit OR perpendiculaire au diamettre. Soient accommodées à Varc CR un nombre indefmy de droiltes CD, dont la première soit i. la seconde 2. et ainsi tousjours selon l'ordre des nombres naturels, toutes

Sou»-doubl« a ici le »enn de : igaU à -,

terminées au point C, et coupant la circonférence aux points D : d'oà soient menées les droittes DG perpendiculaires à CF, coupans la parabole en H. Soient aussi menées les droittes DF, du point F, par tous les points D, coupans l'arc CE en N, d*oà soient menées NMV, parallèles à CF, recoupans en V la circonjerence, et en M le rayon FE perpendiculaire à FC :

Je dis que toutes les droittes FM seront égales à toutes les droittes CD, chacune à la sienne; et qu'ainsi la plus grande FM sera coupée en un nombre inde- Jîny de parties égales aux points M. Cela est visible par le Le mme précèdent.

Je dis de mesme que toutes les MN ou MV seront égales à toutes les FD, chacune à la sienne. Ce qui est aussi visible par le Lemme preced.

TRAITÉ GÉNÉRAL DE LA l> 'l II I II «U

Jr >lis <{r mrsmr que les droU/rs IL srroni égalet aux iù oit tes CD» chacune à la su une . ri qu'ainsi la plus grande FL sera coupée en un nombre indefiny de parties /gales aux points L.

Car par la nature du cercle chaque CD quarré est égal i) chaque rectangle FG rn GG, c'est à dire, par la nature de la parabole, à chaque G H quarré ; et partant chaque CD est égal à chaque GH, ou à chaque FL.

Je dis aussi que tous les rectangles compris de CF et de chaque GD sont égaux à tous les rectangles FM en MV, chacun au sien.

Car FC en GD est égal à CD en DF. c'est à dire, par ce qui vient d'estre monstre, à FM en MV.

AVERTISSEMENT

Je suppose qu'on sçacfie que, les mes mes choses estant posées que dans le Lemme précèdent, si le cercle CDF est le générateur de la demy Roulette CBAF, et qu'on prolonge les droit tes DG jusqu *à ce qu *elle[s] coupe[nf] la Roulette au point B : il arrivera que toutes let portions BB de la courbe seront égales entr' elles ; parce que chaque portion de la courbe CB sera double de chaque droit te CD.

C'est cette propriété dont fay dit, dans l'Histoire de la Roulette, que Monsieur Wren l'a produite le premier ; je ne m* ar reste pas à la démons trer iry.

iU ŒUVRES

parce que plusieurs personnes Vont déjà fait ; car, depuis Monsieur Wren, Monsieur de Roberval en a produit une démonstration ' , et Monsieur de Fermât ensuitte, et depuis encore Monsieur Auzoult^ : etfai moymesme demonstré la mesme chose dans un Traitté ^ à part, oà j'ayfait voir que cette propriété dépend immédiatement de celle-cy, sçavoir, que si la demy circonférence d*un cercle est divisée en un nombre inde- Jîny d'arcs égaux, et que de l'extrémité du diamettre on mené des droittes à chaque point de division, la somme de ces droittes sera égale au quarré du diamettre.

Et cette proposition n'est encore que la mesme chose que celle-cy : la somme des sinus d'un quart de cercle est égale au quarré du rayon (ce qui est demonstré dans le Traitté des sinus, Prop. i .) ; de sorte que ces trois propositions ne sont presque qu'une mesme chose.