RAPPORTS ENTRE LES
sinus sur la base d'un triligne quelconque et les portions de sa ligne courbe comprises entre le sommet et les ordonnées à l'axe.
Définition.
On appelle icy arcs non-seulement les portions des circonférences de cercle, mais encore les portions de toutes sortes de lignes courbes.
Hypothèse générale.
Soit un triligne rectangle quelconque BAH
(fig. i3.), et soit le mes me triligne BAP, renversé de l'autre part de l'axe BA, et qu'ainsi les deux ba-
868 e8gales HA. AP. ne fassent qu'une mesme ligne droite ; soit divisé tant Taxe que la courbe HP en un nombre indcfinv de parties toutes esgales entr'elles; c'est à dire que les parties de l'axe BD, DD, elc, soient esgales tant entre elles qu'aux parties esgales de la courbe HI. II, etc ; soient menées les ordonnées DO à Taxe, et les sinus IL sur la base.
Les rapports qui se trouvent entre la somme de[s] sinus IL, et la somme des arcs ou des portions HO de la courbe (comprises entre le point B et chacune des ordonnées à Taxe) seront les suivans.
Prop. VI.
La somme des arcs de la courbe compris entre le sommet et chaque ordonnée à Taxe est esgale à la somme des sinus sur la base.
C'est à dire que la somme de tous les arcs BO, est esgale à la somme des sinus IL*.
Prop. VIL La somme des quarrez de ces mesmes arcs BO
1. Reprenant les notations indiquées p. 7, note 3, et appelant s l'arc de la courbe (compté à partir du point B, voir la figure i , T. VIII^ p. 344), oous avons, en intégrant par parties
D'où
s déaignani la longueur totale de l'arc BC
csl esgale à deux fois la somme triangulaire des mesmes sinus IL, à commencer par A'.
»Prop. VIII.
La somme des cubes de ces mesmes arcs BO est esgale à six fois la somme pyramidale des mesmes «inus IL, à commencer par A.
Pnop. IX.
La somme triangulaire des mesmes arcs BO, à commencer par A, est esgale à la moitié de la somme des quarrez des mesmes sinus IL.
Prop. X.
La somme pyramidale des mesmes arcs BO, à commencer par A, est esgale à la sixiesme partie des cubes des mesmes sinus IL.
I . En langage moderne, et avec les notations de la note précédente :
Js^dy = 2 / syds 0 J 0
3. En langage moderne, les propositions YIII, IX, X, XI se tra- ■duisent par les égalités
J 8^6(7 = 3 / s^ds Ç\'^dy= Hyhds
'ROP
. Xî.
La somme tri a 115 II unir ile^ (|ii.ii •/ ()r<; mcsmes arcs BO. à commencer par A, est i >l;.i1< i la somme triangulaire des quarrez des mcsmes sinus IL, à commencer par A.
Trop. XIL
Je dis maintenant qu'en menant les sinus sur l'axe, sçavoir les perpendiculaires ÏR, la somme dos rectangles compris de chacun des mcsmes arcs et de Tordonnée qui le termine, sçavoir la somme de tous les rectangles BO en OD, est esgale à la somme des portions du triligne comprises entre chaque sinus sur Taxe et la base, sçavoir à la somme de toutes les portions IRAP.
Prop. XIIL
La somme des quarrez de chaque arc, multipliée par son ordonnée, c'est à dire de tous les BO quarré en OD, est double de la somme triangulaire de ces mesmes portions IRAP du triligne, entre la base et chaque sinus sur Taxe, à commencer du costédeB.
I. En Ungage moderne, les propositions XII et Xlll s'expriment pex les égalités
t^xdj = a 1 »di l xdj 3* lérie. VI 9
Prop. XIV.
La somme triangulaire des rectangles de chaque ordonnée avec son arc, c'est à dire la somme triangulaire de tous les BO en OD, à commencer par A, ou (ce qui est la mesme chose) la somme de tous les solides AD en DO en OB, compris de chaque arc, de son ordonnée, et de la dislance entre l'ordonnée et la base, estesgale à la somme de ces portions IRAP du triligne, multipliées chacune par son bras sur la base AP, c'est à dire par la perpendiculaire menée sur AP du centre de gravité de chaque portion IRAP.
Prop. XV.
La somme des arcs multipliez chacun par le quarré de son ordonnée, c'est à dire de tous [les] BO en OD quarré, est double de la somme de ces portions IRAP du triligne, multipliées chacune par son bras sur l'axe AB, c'est à dire parla perpendiculaire sur AB menée du centre de gravité de chaque portion IRAP.
Préparation à la démonstration, fig. i3*.
Soit prise, dans la droite AH prolongée, la portion AG égale à la ligne courbe BIP ou BOH ; et, ayant divisé AG en autant de parties égales qu'il y en a dans la courbe BIP, aux points E, et qu'ainsi
