I. Voir la figure i3, supra p. i

TRAITS DBS TRILIGNES RBCTANQLIS 19

chacune des portions AE, EE, etc., soit égale à chacun des arcs El, II, etc., soient des points E menées des perpendiculaires EG, qui rencontrent les sinus IH sur Taxe (prolongez s*il le faut) aux points G ; de sorte que chacune des droites EG soit égale à chacun des sinus IL sur la base, et que par tous les points B, G, G, G, soit entendue passer une ligne courbe, dont les droites EG seront les ordonnées à la base, cl les droites GR en seront les contre-ordonnées: La nature de cette ligne sera telle que, quelque point qu'on y prenne G, d'où on mené les droites GE, GI\I, paraleles à l'axe et à la base, il arrivera tousjours que la portion AE, ou la droite HG, sera égale à Tare BI, et la portion restante EC à Tare restant IP : et par ce moyen les ordonnées DO à Taxe estant prolongées, et la coupant, en F, chacune des droites DF sera égale à chacun des arcs BO compris entre l'ordonnée mesme DF et le sommet. Cela posé, la démonstration des propositions 6, 7. 8, 9, 10, II, 12, i3, lit i5, qui viennent d'estre énoncées sera facile.

Démonstration de la proposition 6.

Je dis que la somme de tous les arcs BO est égale à la somme des sinus IL.

Car tous les arcs BO sont les mesmes que toutes les ordonnées DF à l'axe, dont la somme est égale à celle des ordonnées EG, par la i. prop., c'est à dire à la somme des sinus IL.

Démonstration de la proposition 7.

Je dis que la somme des arcs BO quarré est double de la somme triangulaire des sinus IL, à commencer par A, ou que la somme des DF quarré est double de la somme triangulaire des ordonnées EG, à commencer par A : ce qui est demonstré par le Corollaire de la 2. prop.

Démonstration de la proposition 8.

Je dis que la somme des arcs BO cube est égale à six fois la somme pyramidale des mesmes sinus IL, à commencer par A, ou que la somme de tous les DF cube est égale à six fois la somme pyramidale de toutes les EG, à commencer par A : ce qui a esté demonstré par la troisième.

Démonstration de la proposition g.

Je dis que la somme triangulaire des arcs BO , à commencer par A, est égale à la moitié de la somme des quarrez des sinus IL, ou que la somme triangulaire des ordonnées DF, à commencer par A, est égale à la moitié de la somme des quarrez des ordonnées EG : ce qui est demonstré par le mesme Corollaire de la 2.

Démonstration de la proposition 10.

Je dis que la somme pyramidale des arcs BO, à commencer par A, est égale à la sixième partie de

TRAITÉ DES TRILIGNES RECTANGLES tl

la somme des cubes des sinus IL, ou que la somme pyramidale des ordonnées DF, à commencor |)ar A, est égale à la sixième partie de la somme des cubes dos ordonnées EG : ce qui a esté demonslré par le corollaire de la 3.

Démonstration de la proposition 1 1 .

Je dis que la somme triangulaire des arcs BO quarré est égale à la somme triangulaire des sinus IL quarré, à commencer tousjours par A, ou que la ^oinme triangulaire des ordonnées DF quarré est o^mIo à la somme triangulaire des ordonnées EG quarré, à commencer tousjours par A : ce qui a esté demonstré par la 5.

Démonstration de la proposition 1 2 .

Je dis que la somme des rectangles BO en OD, ou FI) en DO, est égale à la somme des portions IRA P.

C'est la mesme chose que ce qui a esté démontré dans le Lemme gênerai. Car en considérant le trilignc BAP comme estant la figure adjointe du triligne BAC, il s'ensuit (par ce qui a esté demonstré dans ce Lemme) que la somme des rectangles FD en DO (compris de chaque ordonnée DF du triligne BAC, cl de chaque ordonnée DO du triligne BAP), est égale à la somme des portions ARIP de la figure adjointe (comprises entre chaque contr'ordonnée III et la droite AP), et que les unes et les autres composent un mesme solide.

Démonstration de la proposition i3.

Je dis que la somme de tous les BO quarréenOD, ou FD quarré en DO, est double de la somme triangulaire des mesmes portions ARIP, à commencer du costé de B : ou que cette somme triangulaire des portions ARIP est égale à la somme des solides QD en FD en DO (qui sont la moitié des FD quarré en DO, chaque FD estant divisée par la moitié en Q).

Car soit entendue la figure adjointe BAP relevée perpendiculairement au plan du triligne BAC, et former le solide dont il a esté parlé dans le lemme gênerai, qui soit coupé par deux ordres de plans perpendiculaires au triligne, les uns passans par les droites EG, et les autres par les droites DF ; les uns donnans pour sections des figures pareilles aux espaces ARIP, elles autres donnans pour sections les rectangles FD en DO, comme cela a esté dit dans le lemme gênerai. Et ainsi ce solide sera composé de la somme des espaces ARIP, et le mesme solide est aussi composé de la somme des rectangles FD en DO : d'où il s'ensuit que la somme des portions ARIP, élevées perpendiculairement au plan ABC sur les droites EG, et la somme des rectangles FDO, élevez aussi perpendiculairement au mesme plan ABC, ne sont qu'une mesme chose, tant entr'elles qu'avec le sohde ; et, par conséquent, que la somme triangulaire des portions du solide comprises entre tous

les plans EG, à commencer du costé de AB, est la mesmc chose que la somme triangulaire des espaces AI\1P ; t»l que c'est aussi la mesme chose que la somme triangulaire des portions de chaque rectangle FD en DO, comprises entre tous les mesmes plans EG.

Mais (par la méthode générale des centres de gra- >4té) la somme triangulaire des portions de chacun de ces rectangles comprises entre les plans EG, à commencer du costé de AB, est esgale à chaque rectangle multiplié par son bras QD sur AB ; donc aussi la somme des rectangles FDO, muUipHez chacun par son bras QD, est esgale à la somme triangulaire des portions ARIP, à commencer par B;ce qu'il faloit demonstrer.

Démonstration cfe [la] proposition li.

Je dis que la somme triangulaire de tous les BO en OD, ou FD en DO, à commencer par A, est esgale à la somme de ces espaces IRAP, multipliez chacun par son bras sur la base AP.

Car en relevant le triligne adjoint BAP, qui formera le solide coupé par les deux ordres de plans (comme en l'article précèdent), desquels les uns forment pour sections les espaces pareils à ARIP, elles autres les rectangles FD en DO, la somme de chacun, c'est à dire tant des espaces ARIP que des rectangles FD en DO, ne sont qu'une mesme chose que le solide. D'où il est évident que la somme

triangulaire des portions du solide comprises entre tous les plans FD est la mesme chose que la somme triangulaire de tous les rectangles FD en DO ; et que c'est aussi la mesme chose que la somme triangulaire des portions des espaces ARIP, comprises entre tous les mesmes plans FD.

Mais la somme triangulaire de chaque espace ARIP, compris entre les plans FD, à commencer du costé de AP, est esgale (par la méthode générale des centres de gravité) à chaque espace ARIP, multiplia par son bras sur AP : donc aussi la somme de ces espaces ARIP, multipliez chacun par son bras sur AP, est esgale à la somme triangulaire des rectangles FDO, à commencer par A; ce qu'il faloit demonstrer.

Démonstration de la proposition i5.

Je dis que la somme de tous les DO quarré en OB, ou de tous les FD en DO quarré, est double de la somme des portions ARIP, multipliées chacune par son bras sur Taxe BA; ou que la somme des solides FD en DO en DS, qui est la moitié des FD en DO quarré (chaque DO estant divisée par la moitié en S) est esgale à la somme des espaces ARIP multipliez chacun par son bras sur l'axe AB.

Car soit relevé de mesme le triligne adjoint BAP, qui formera un solide coupé par les deux ordres de plans sur EG et DF, qui donnent pour sections dans le solide les rectangles FDO, et les espaces

TRAITÉ DES TIllLIG.NES RECTANGLES S5

AiUl\ qui sont tels que la somme dos rectangles FDO et la somme des espaces ARIP ne sont i]u*une mesme chose, tant entr'elles qu'avec le solide.

Soit maintenant entendu un 3. ordre de plans, parallèles à celuy du triligne et élevez au dessus du plan du triligne, et tous en distances égales l'un de l'autre; en sorte qu'ils divisent la droite AP (relevée perpendiculairement au plan du triligne) en un nombre indeBny de parties esgales : et qu'ainsi ils coupent le solide en un nombre indcfiny do parties comprises chacune entre deux quelconques plans voisins.

Donc, puis que ces trois choses ne sont qu'une mesme, sçavoir la somme des rectangles FDO relevez sur les droites FD, la somme des espaces ARIP relevez sur les droites EG, et le solide : il s'ensuit que la somme triangulaire de toutes les portions des espaces ARIP, comprises entre tous les plans voisins de ce troisième ordre, est la mesme que la somme triangulaire de toutes les portions des rectangles FD en DO, comprises entre les mesmes plans voisins de ce mesme troisième ordre, à commencer tousjours du costé dembas, c'est k dire du costé du triUgne ABC, qui sert de base au solide.

Mais la somme triangulaire des portions de chaque espace ARIP, comprises entre les plans voisins du troisième ordre, est égale à chaque espace ARIP, multiphé par son bras sur l'axe AB : et de mesme la somme triangulaire des portions de chaque roc-

tangle FDO, comprises entre les mesmes plans du 3. ordre, est égale à chaque rectangle FDO, multiplié par son bras sur l'axe, ou à chaque rectangle FDO, multiplié par SD, car SD est le bras sur Taxe, c'est à dire à chaque solide FD en DO en DS.

Donc la somme de tous les FD en DO en DS est égale à la somme des espaces ARIP, multipliez chacun par son bras sur l'axe AB ; ce qu'il faloit demonstrer.