A M. DE LA. CHAMBRE,. TOUCHANT LA DIOPTRIQUE

(LetUre 5i. ) • ■

A Tonloate, le i*' jour de faii i66si.

MoNStBttll,

11 est juste de vous obéir et de terminer enfin ^ar votre entremise vieux démêlé qid a été depuis si long-temps entrtf M. Descartes et moi, sur le sujet de la réfraction, et peut-être serai -je assez heureux pour vous proposer une paix que vous trouverez avantageuse à tous les deux partis.

486 L£TTK£S.

Je vous ai dit autrefois % dans ma première lettre,

que M. Descartes na jamais démontré souiprincipe; qu^outre que les comparaisons ne séttent guère à fonder des dêlnonstrations, il emploie la sienne à coutre-sens y et suppose même que le passage de la lumière est plus aisé par les corps denses que par les rares , ce qui est apparemment faux. Je ne yous dis rieq du défaut de la démonstration en elle-même, quand bien' la comparaisonrdont 11 se sert seroit bonne et admissible en cette mat ière, pourceque j'ai traité tout cela bien au long dans mes lettres à M. Descartes pendant sa vie , ou dans celles que j'ai écrites à M. Qerselier depuis sa mort; j'ajoute seulement qu'ayant yn le même ptiàcipe de M. Descartes dans plusieurs auteurs qui ont écrit après lui , leurs démonstrations > non plus que la sienne, ne me paroissent point recevables, et ne méritent point de porter ce nom. Hérigone se sert pour le démontrer des^équipondérants , et de la raison des poids sur les plans inclinés ; le P. Maiguan y veut parvenir d'une autre u^ière : mais il est aisé de voir qu^ls ne démontrent ni l'un ni foutre , et qu'après avoir lu et exajuiné avec soin leurs dé^ROJOi^trations, nous sommes aussi incertains àm la v^té du principe qu'après avoir Iti M. riescartes.

Pour sortir de cet embarras, ët tàcber de décou-

' Voyes U lettre précédenle.

LETTRC9. 4^7

vrir la vérita]»le raison de la réfraction , je vous indiquai dans ma lettre que , si nous vonlions emiployer dans cette reaherciiece principe si commua et Sh établi, que la nature agit- iaujâun par ($$ voies les plus courtes nous poin i ions y trouver facilement notre compte. Mais paraeque nous doutâmes d*abord que la nature, en condnisant la lumière par les deux cotés d'un triangle ^puisse jamais agir par une voie aussi courte que si elle k cooduisoit pat la base , ou par la sous-tendante , je m'en vas tous faire voir le contraire de votre sentiment, our plutôt de votrerdmie, par un exemple aisé. Soit, en la figure ci-jointe, le cercle ACBG% duquel le diamètre soit AOB, le centre O, et un autre diamètre GOC : des points G et G, soient tÎFées'Ies perpendiculaires sur le prt^nier dianièlrc , - GH, CD. Supposons que le premier diamètre AOfi sépare deux nlf lieux différents , dopt Tun , qui est celui de dessous AGB, 6oit le piii6 dense, et celui de dessus AGB soit le plus rare-, en telle sorte, par exemple, que le passage par le plus rare soit plus aisé que celui par le plus d^nse en raison double : il suit de cette , supposition que le temps qu'emploie le mobile, ou la lumière de G en O, est moindre cjue celui qui les conduit d'O^ G ; et que le. temps du mouvement de C en O , qui se (ait dans le milieu le .plus rare, n'est que la moitié du temps du muuve-

• Fieute 4(».

ment d'O en G ; et par conséquent la mesure du mouTement entier par les deux droites CO et OG

[)eut être représentée par la somme de moitié de CO , et de la totale OG. De même, si vous prenez un autre point, comm^-F^ie temps du mouvement par les deux droites CF et FG peut être reprc^ senté par la somme xle la moitié de CF et de la»to<tale FG. Supposons maintenant que le rayon^ CO soit 10, et par conséquent le diamètre total COG sera 20 ; que la droite HQ soit 8, ladroit» CD smt aussi 8 ; et qu'enfin la droite OF ne soit que 1 : je dis qu'en ce cas .le mouvement qui se fait par la droite COG se fera en un temps plus long que celui qui se fait par les deux côtés du triangle CF, FGf

Çar isi nous promvons que la moitié de CO, jointe à la totale OG, contiént plus que la moitié de jCF jointe à la totale FG, la conclbsion sera manifeste, puisque ces deuxjK>mmes soi^t justement la m^esure du temps de ces deux mouvements ; or la somme de la «noitié de CO et de la totale OG fait justement 1 5, et il est évident par la construction que la droite CF est égale à la racine carrée de 1 1 7, (»t que la droite FG est égale à la racine carrée de 85 , mais la moitié ^e la première racine, joiiite à la seconde tsàt moins que et ~ sont encore moindres que i5. Donc la somme de la moitié de CF et de la totale FG est moindre que la somme de

U moitié de GO et de la totale OG , et partant le mouyemeiit par les deux dooites CF, FG, se &it

plus tôt et en moins de temps que par la base ou sous-tendante GOG. •

Je sais venu jusque là sans beaucoup de peine, mais il a fallu porter la recherche phis loin et parceque, pour satisfaire à mon principe,' il ne suffit pas d'avoir trouvé un point, comme F, par où le mouvement naturel se fait pli^tit^, pltfô aisément et en moias de «temps que par «la droite OCG , mais qu'il Êiut encore trouver le point qui fait la conduite en ipoins de temps que quelque autre que ce soit , pris des deux côtés , il m'a ét^ nécessaire d'avoir en cette occasion recours à ma. méthode de maximis et mmtniê, .qui expédie ces sortes de questions avec assez de succès.

Dès que j'ai voulu entreprendre cette analyse, j'ai eu deux obstacles à surmonter : le«premier, que, biea que je fusse assuré de la vérité de mon principe , et ^u'il n'y ait rien dç %\ probable ni de si apparent que cette supposition , que la nature agi|: toujours par les moyens les plus aisés, c'est-à-dire, ou^ar les lignes les plus courtes , Ipisqu'elles n'emportent pas plus de temps, ou en tout cas par le temps plus court , afin d'aocourcir sou travail , et de venir plus tôt à bout de son opération ( ce c^ue le préseul calcul confirme, d'autant plus qu'il l>aroit par là que la lumière a plus de difficulté à

traverser le$ milieux denses que lés rares, puisque vous voyez cpie la réfractiqn vise vers la perpendiculaire dans mon exemple , ainsi que Texpéi ience le couârme, ce qui poùrtant est contraire à la supposition de M. Descartes) , néanmoins j'ai été av^ti de tous cotés, et principalement par M. Petit, que f estime infiniment, que les expériences s'accordent exactement avec la proportion que M, Descertes a donnée aux réfractions ; et que, bien que sa démonstration solt*fautive^ H est à craindre que ^ je tenterai inutilement d'intro^duire une proportioi^difiSèrente de la sienne, et que les expériences qid se féront après que j'aurai publié mon inven- «tion la pourront détruire sur l'heure. Le second obstacle ^ui s'est opposé à ma recherche a été la longueur et ia difficulté du calcul, qui, dans la résolution du probléOfie dont je vous parlai dans ma lettre', et que je vous témoignois n'être pâs des plus aisés, présente d'abord quatre lignes par leur rdcines carréés, et togage par conséquent en de^ asymétries qui aboutissent à une tràs grande longueur.

Je me suis défait du premier obstacle par.* la

coiHioissance que j'ai qu'il y a infinies proportions , différentes de la véritable , qui approchent d'elle si insensiblement qu'elles peuvent tromper les plus habiles et les plus exacts observateurs. Ainsi n'y

* Voycs b lettre précédenle.

ayant que le deuxième obstacle à vaincre, je inétois résolu trè» souvent d'employer la bien -aimée géométrie , c est ainsi que Piutarqiie rapj>elle , pour vou» satis£sdre , et pour me satisfaire moi-même ; mais rappféhension de trouver, après tiae longue et pénible opéi atioti , quelque proportion irrégulière et fantasque, et la pente naturelle que j'ai vers b^paresse , ont laissé la chose «n cet état , j usqu'à la dernière semonce que ^L le président de * Miremont vient de me faire dé votre part que je prends pour une loi , plus forte que ni mon appréhension ni ma paresse ; si bien que je me suis résolu de vous obâr sans autre retardement. *

J'ai donc procédé sans remise, en vertu de l'obédience, comme parlent les mojoes, à l'exécution de vos oidres ; et j'ai tait l'entière analyse en fo)rme , dans laquelle le désir passionné que j'ai eu de vous satis£anre m'a inspiré ùne route qui a abrégé la moitié de mon tr^h^il-, et qui a réduit les quatre asymétnes que j'avois eues en vue k première fois, à deux seulement, ce qui «l'à iimaUement soùlagé.

Mais le prix de mon travail a été le plus extraordinaire, le plus imprévu, et le plus heureux qui fut jamais; car, après» avoir eoum par toutes les équations, multiplications , antithèses , et autres opérations de ma Méthode, et avoir enfin conclu le problème que vou^ verrez clans tm feuillet séparé, j'ai trouvé que mon principe donnoit juste-

ment et précisénicut la inéme proportion aux réfractions 4)ae M. Descaries a établie, .

J'aî étk si i^urpris d^n^événement si peu attendu, que j*ai peine. à revenir de mon étonnement^ j'ai réitéré mes opéraUons algébikpies diverses fois , et t<9ujour8 le succès a été4e iâéi|ie , quoique ma démonstration suppose que le pa«^ge de la la» ioière,par les corps densas scât plus malaisé que par les rares , ce. que je crois très vrai et indisjuitabie, et que néanmoins M. Descartes suppose le contraire.

- Que devon|-nouâ conclure, de tout ceci ? Ne suffirsHt-il p<u 9 monsieur, atix amis deJMI» Descartes que je lui laisse la possession libre de son théorèmet* N'aurart-ii assea^ck gloire d'avoir connu les déhiftrches de la nature dan^^la première .inne, et sans laide d'aucune démonstration ? Je lui cède donc la victoire et le champ de l^ataiUe ; et' je me contente que M. Glerseli^ ihe làf&se entrer du moins dans la société de la -preuve de cette véiité si importante, «t-q^ doit produire des conséquences si admirables.' •

J'ajoute même , en £aveur de son^ ami , qu'il semble que cette grande vérité naturelle n*'a pas osé tenir devant ce grand génûe, et qu'elle s'est rendue et découverte à lui sans s'y laisser forcer par la démonstration, à F^si^emple de ces places qui , quoique bonnes d ailleurs , et de diÛicile

L£TTK£S. ^Qô

prise, ne laissent pas, sur la seule répulatiuii de celui qui les attaque, de se rendre à lui sans attendre le canon.

Je vous annonce donc, monsieur, j'annonce a M. Clerselier » et k tous les amis de M. Descartes , qu'il ne tiendra plus à Pincrédulité des géomètres qu'on ne doive attendre cesmerveiiks que M. Descartes a fait espérer avec raison de ses lunettes elliptique» et hyperboliques, pourvu qu'on puisse trouver des ouvriers assez habiles pour les faire et pour les ajuster. '

Il resteroit encore une petite difficulté que la comparaison de M. Descartes semble produire, c*est qth'il ne paroît pas encore pourquoi b balle qui est poussée dans Ve^n n'approche pas de la perpendiculaire , ainsi que la lumière ; mais outre qu'on pourroit soupçonner que la réflexfon se mêle dans cet exemple à 1^ réfraction , et que la figure ou la pesanteur peuvent contribuer à la différence de ce mouvement , je n'ai garde d'entrer dans une matière purement physique : ce seroit entreprendre sur vous, monsieur, qui en êtes le maître, et faire irruptiocidans votre domaine. Je finb donc , après vous avoir déclaré que je consens , si vous le trouvez à propos , que l'accommodement entre les cartésiens et moi soit publié dans les académies ; et après vous avoir conjuré de recevoir au moins l'effet de ma prompte obéis-

494 L£TTR£S.

sancc pour un^ preuve certaine et plus démonstrative de la passiai^ avec laquelle j<| suis , t^^c.

Si vous persistez toujours à n'accorder pas un mouvement siK:cessif à la huui^re , et à soutenir qu*il se fait en un instant , vous nVvez.qu'à comparer ou la fjp^ilité, ou la fuite et réi^istance plus ou moins grande, à mesure que les^milieuiL dmpgent ; car cette fiioilité ou cette résistance étant plus ou uloins grande eu différents ipilieux , et ce en une proportion diverse , à mesui^e que les milieux diffèrent davantage, elles pourront être considérées en une raison certaine, et par conséquent tomber d^nsle calcul, aussi bien que le temps du laouvenieiit , e^ ma démoustration y s^yira toujours ^uDie même manière.

Je n'ai* pas étendu njipn opératicm tout entière: il n'a pas été nécessaire, puisque ma méthode est imprimée tout an long dans le sixième tome du Ck)ur8 mathématique dHérigone , et que j'en ai assez dit pour être entendu. Si vous m'ordonnez • de parcourir tous les détours de l'analyse en forme, je le ferai ; et je n'aurai pas même beaucoup de pei^e à Êdre la démonstration par la composition, c est-à-dire en parlant le langage d'EucUde.