LETTRE DE M. DE BEAUCRAND

blables proportion de AD à DE, que de BD à DG, partant si on prend la somme ou la différence des antécédents et des conséquents il y aura mesme proportion de AB à CE que de AD à DE et que de BD à DC. Or est-il que de ce que nous auons cydessus demonstré, il s'ensuit que la raison de BC à AE est esgale à la raison, de DG à DE : par conséquent la raison de BD à DG plus la raison de DG à DE sera esgale à la raison de AB à GE, plus la raison de BC à AE. Mais les deux premières raisons sont esgales à celle de BD à DE, et les deux dernières à la raison du rectangle ADG au rectangle AEG. Doncques BD, est à DE comme le rectangle ABC est au rectangle AEG qui est la première partie de la proposition. La seconde se prouue ainsi. Puis que nous auons fait voir que la raison de \D à DE est esgale à la raison de BA à CE et la raison de DE à DC à la raison de AE à BC, il est euident que la raison de AD à DE, plus la raison de DE à DC, c'est à dire la raison de AD à DG est esgale à la raison de BA à GE, plus la raison de AE à BC, c'est à dire à la raison du rectangle BAE au rectangle BGE, doncques DA est à DC, comme le rectangle BAE au rectangle B(^E qui est tout ce qu'il falloit demonstrer. Obseruez qu'il y a trois cas seu-

'JCO l.ETTRi: DE M. DK BEAUGRAND.

lemcnt eu ceste proposition. Le premier est quanrl les points A, C, sont tous deux d'vue part du point D, et les points B, E tous deux de l'autre part du mesme poinct. Le second lors que le poinct D, est entre les poincts A, C, et qu'il est aussi entre les poincts B, E. Le troisiesme quand les poincts A, C, et les poincts B, E sont tout de mesme costé au regard du point D, car si les poincts A, C, et les poincts B, E estoient situez d'autre façon les \ns au regard des autres, ceste proposition n'auroit pas lieu. Or par le mesme raisonnement il est facile de prouuer que si les rectangles ABC, BDE, sont inesgaux, il n'y aura pas mesme raison de BD à DE que du rectangle ABC au rectangle BEC, n'y de AD à DC que du rectangle BAE au rectangle DEC, d'où il s'ensuit parce qu'Arïstote nomme consecution renuersi^e, que si BD est à DE, comme le rectangle ABC, au rectangle AEC, ou AD à DC, comme le rectangle BAE, (voyez la 1 1 figure). Au rectangle BCE les rectangles ADC, BDE seront esgaux, d'autant que s'ils estoient inesgaux il n"y auroit pas mesme raison de BD à ED, que du rectangle ABC, au rectangle AEC, n'y de AD à DC que du rectangle BAE, au rectangle BCE. Ce qui est contre l'hypothèse. De cette proposition de

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Pappus il est manifeste que si on prend vn troisiesme rectangle comme FDG esgal à chacun des deux premiers, à sçauoir ADC, BDE, il y aura mesme proportion du rectangle AFC au rectangle AGC que du rectangle BFE au rectangle BGE. Item du rectangle ABC au rectangle AEG que du rectangle FBG au rectangle FEG, et du rectangle FAG au rectangle FCG, que du rectangle BAE au rectangle BCE. Car d'autant que le rectangle FDG est esgal au rectangle ADC, FD est à DG comme le rectangle AFC au rectangle AGC et à cause de l'égalité des rectangles FDG, ADC, il y aura aussi mesme raison de FD à DG que du rectangle BFE au rectangle BGE, doncques le rectangle AFC est au rçctangle AGC comme le rectangle BFE au rectangle BGE. Les deux autres analogies se desmontrent de la mesme façon. Et voilà tout ce qui est contenu dans le tiers de ce grand broiiiUonprojcct. Car, pour ce qui est des différents cas et des conséquences qui se tirent lors que quelques-vus de ces poincts s'vnissent entr'eux, il n'est pas nécessaire de les particulariser, puis que cela peut estre aysement faict par ceux qui ont appris les premiers élémens d'Euclide. Tout ce qui reste à considérer, est que pour ne s'abuser

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point aux analogies préc(klentes, il faut distribuer les trois couples de poincts F, G, B, E, A, C, en sorte que l'vne d'entr'elles soit toujours au milieu des termes de ces analogies, et qu'il n'y ait vn mesme poinct au milieu des termes analogies, comme en la première ao^ilogie F. est au milieu des antecedens, et G, au milieu des conséquents. En la seconde analogie B, est au milieu des antecedens, et E, au milieu des conséquents et de mesme en la troisiesme. Après cela il faut mettre aux extremitez de la première raison l'vne des couples de poincts qui restent, et l'autre couple doit estre placé aux extremitez des termes do la dernière raison. Ainsi vous voyez qu'en la première analogie AC est aux extremitez des termes de la première raison, et BE aux extremitez des termes de la seconde, de mesme qu'en la seconde analogie AC est aux extremitez des termes de la première raison, et FG aux extrenlitez des termes de la seconde ; au reste, c'est en ces trois analogies que consiste ce que le S. D. nomme hors de propos inuokuion de six poincts^ laquelle se peut réduire à cinq, et quelquefois à quatre. Car, puis que inuolucre signifie entortiller, enuolopper, ou bien par translation obscurcir inuoluere diem nimbis, etc., il

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est certain que iniiolution signifie plustot vn embarras et vne confusion qu'vn ordre tel qu'il doit estre entre les poincts suiuans les lois cy-dessus prescrites. Peut-estre que le peu de différence qui est aux syllabes d'inuolution et d'euolution luy a faict prendre vn mot pour l'autre, bien que leur signification soit contraire, celuy-cy signifiant assez souuent expliquer et éclaircir vne 'chose obscure, ainsi que l'on voit par le tiltre que Lipse donne à l'vn de ses dialogues sur Polybe, oh il met pour faiie vne allusion inuoluta qiiœdam linij super ordine euoluta, etc. Quoy qu'il en soit, ou il s'est trompé au mot, ou il s'est abusé en la chose II semble plus raisonnable de dire que ces poincts font une euolution, que de dire qu'ils sont en inuolution, et cela auec d'autant plus de raison que le mot d'euolution est en vsage dans la partie des mathématiques que l'on nomme tactique, et que mesme il y a quelque peu do rapport de l'euolution Macedonique à ce que nous voulons icy exprimer, au lieu que le mot d'inuolution n'est point en vsage en Latin et qu'il y est fort peu en françois. Néantmoins, pour dire ce qui en est, on peut se passer de l'vn et de l'autre, et puis qu'il y a vne infinité de différentes analogies qui se peuuent former de