ITîYOLIITION DE SIX POLNTS

A la page 119, commence sa belle théorie de l'involution, théorie qui a reçu de nos jours de si nombreuses et importantes applications.

Nous croyons pouvoir résumer ainsi les idées de Desargues sur ce sujet .

Nota. (Les lettres en italiques exprimeront les mots dont se sert l'auteur) (i).

Sur une droite, à partir d'un point quelconque o nommé souche, on porte des couples de segments oa,oa' -^ob, ob" — oCyOc' iûs que le produit des sQ^mouXs couplés soit constant, c'est-à-dire que

oa, oa' = ob, ob' = oc. oc'

Si en outre la souche est également engagée entre les points a^a' — b.b' — c^c' ou dégagée de ces mêmes points, alors on a, entre les divers segments, les relations suivantes (page 120 et suivantes):

ob' b'a.b 'a' b'c. b'c'

"'ba.

ba'

bc.

oc'

~'cb.

cb'

ca.

ca'

oa'

de.

de'

ab.

ab'

ac.

Lorsque, sur une droite, six points jouissent des relations ci-dessus, ces six points sont dits en involution.

(1) Nous substituons aux lettres employées par Desargues celles mises respectivement ici en dessous des siennes : A, B, C, D, F, G, H, L - 0, 0, b, c, c\ b', a', — o„

II en conclut deux méthodes pour déterminer la souche 0 lorsque deux couples seulement de points ou nœuds, sont donnés. En passant, il donne une relation entre les solides qu'on peut exprimer ainsi :

ob'^ b'o . b'c . b'c'

ob^ bo .bc . bc'

Dans une involution, il distingue le cas où deux des segments couplés sont égaux, alors il leur donne le nom de nœuds moyens.

Lorsque la souche o est entre deux nœds moyens, alors ils sont nœuds moyens simples, mais si ces deux points sont d'un même côté de la souche, il y a un point double, et alors l'involution de six points se réduit à cinq.

Il peut y avoir de chaque côté de la souche un point double, et alors l'involution a lieu entre quatre points dont deux sont doubles.

Considérant un des couples a, a il feit observer que si le point a s'approche de la souche, celui a' s'en éloigne et réciproquement, d'où résulte que lorsqu'un de ces points est joint ou uni à la souche, alors son point couplé est à l'infini. Et voilà dit-il, < comme la souche et la distance infinie

sont un couple de nœuds d'une involution. » Ce qui réduit encore Tiiivolution à cinq points.

« Or C événement de semblables espèces de conformation d'involution est fréquent aux figures qui viennent de la rencontre d'un cône avec des plans en certaines dispositions entreux. n

Desargues examine ici (page 128), le cas particulier des six points, où le point b' est uni au point c, où par conséquent celui b est joint à celui c'. Alors on a :

ob = ob' = oc = oc' = {oa . oa) .

D'où résulte b'a . b'a' = ba , ba\ ow —-, =: —-,,

ba ba

C'est-à-dire : la somme des trois segments consécutifs est au segment moyen, comme un des segments extrêmes est à l'autre extrême.

Lorsque le point a est séparé de la souche o, le segment moyen est inégal à chacun des extrêmes, mais si le point a est réuni au point o, alors a est à l'infini, et on a :

ôa = b'a,

c'est-à-dire le segment moyen est égal à celui extrême du côté du point intérieur restant.

ii II y a nombre de propriétés particulières à ce

cas de cette espèce de conformation, ou chacun peut s'égayer à sa fantaisie ^ mais il n'est pas ici du nombre de ceux qui constituent une involution. »