INVOLUTION DE QUATRE POINTS

Maintenant Fauteur examine le cas oii la souche étant dégagée d'entre les extrémités d'un même couple de segments, il y a deux points doubles, l'un étant d'un côté de la souche, et l'autre du côté opposé.

Ainsi le point b se confond avec b\ et celui c avec c'.

En outre des propriétés communes au cas où la souche est engagée, il y en a d'autres évidentes.

D'abord on en tire :

çV b^ c'a b'a *

Ainsi on arrive à ce qu'on appelle maintenant le rapport harmonique de 4 points.

Dans ce cas se trouve compris celui oii l'un des points se trouve réuni à la souche, et alors celui qui lui est couplé, estàl'infmi; alors les quatre points sont réduits à trois dont l'un mypartil le segment compris entre les deux autres.

Lorsque les quatre points a\ b\ a, c' forment une involution de quatre points, il faut remarquer que b' et c' étant des points doubles, la souche o mipartit le segment b'c'.

Mais de même les deux points «', a' sont deux points doubles dont les points b\ c sont deux points de l'autre couple, dont alors une nouvelle souche Oj, mi-partira le segment a' a.

Ainsi dans une involution de quatre points, chacun des points qui mipartit chacun des points correspondants est une souche de ces quatre points. Ces deux souches sont dites réciproques tntr'elles, d'où résulte que si trois points d'une telle involution sont donnés, le quatrième est connu.

Desargues fait voir ensuite que, dans cette involution de quatre points, on peut aussi considérer le point a comme souche des deux couples de points ou nœuds b\c' et a\o de sorte qu'on a ab'.ac'=^aa.ao a'b' ao

ou — r = — ; a a ac

Et de même celui a' comme souche des couples de points b\ c\a,o et on aura a' b'. a'c' = a'a.a' o a'b' a'o

ou -T- = -r-, aa ac

De cette involution, il eu tire ensuite plusieurs

252 AISALYSE DC TRAITÉ DES CO?ÇIQCES.

propositions que je vais simplement transcrire algébriquement,

àc' c'o.c'a ac ( ac' .ac'yl* , .

' * a cause de

a'b' b'o.b'a ab' \ab' ,ab' oc' =^ Ob'; d'où, etc. :

^ ac CD .ca . . , .. et -TT. = T' — î7-,etcequi s ensuit

ab' b'o.b'a a'b' b'o.b'a

co . ca co .ca

— r= j-, r avec ce qui s ensuit.

aà àc . a'b' a'c . a'b' , j t l»

— = ; rr = —r, 77 , à CaUSO CLQ oc z=zOO,

ao oc .ob ob ,ob

ob' . ob' j, , ..

-„ d où suit :

ao

oc .

ob

ac' .

ab'

c'a' co

ob'

ac ao

ac' . ab'

= -7^, et alternant :

ab

c'a' oc' ob' , . , ..

-y- = — = — , et ce qui s ensuit.

ca oa oa

Ainsi ca' . ao = co . c'a et ac' . ab' = c'o, aa'.

b'o ao a'b' . . • , . , , , ,

— , =: -7-; = -7-. Ainsi bo.ac = ac .ao , et

ac ac a a

b'o . aa = ac' . a'b',

ac' "^ co cb

— ; = ^^-TT-, = •T-TT-T, « ^' alternant, à l'envers,

aa 2.ba' 2.ba'

changeant, divisant, composant, et le reste. »

c'a c'a a'a a'c' . . . , ,, , , rr, = -T-. Ainsi ca.ao=co.a a,

aa . ao

aa .ao

aa

ob' . ob'

~~ Fd'

oc' . oc' ~

c'a j — ; donc :

co

' ao

^l^c'b' co a'b' a'o

etc'a.a'o=c'o.a'c', s et à l'envers, alternant,

changeant, composant, et le reste. »

aa . a' a ao . aà ab' . ac' oc' . oc' a'a

à a . ao oa .od ob' . ob' ob' ,ob' a'o^

et ce qui s'en déduit.

D'oti il suit que :

ab' ac' ab' . ac'

ao * oa' oa'.oa

... a'a ab' . ac'

Mais '- z=z -—, ;

û 0 ob . oc

ab' ac' b'a c'a a'a ^ . ,

— . — ; zzr r;- . -7- = -r-. « Qui VOUclra DOUr-

ao oc b 0 c 0 ao

suivre plus avant cette discussion y trouvera bien

encore du divertissement. >

Desargues ajoute encore les relations suivantes :

Puisque -rr, = -7-, aa .co = ab .ca ,ei(\uQ ^ ab co '

cb' c'a c'b' .^ . ^ 'u c,

-7- . -T- = -— = 2 , a cause de cb = 2 . co, ca co co

cb' a'a cb' c'a c'b' ona-7-.-rn = -r-.-7- = -r- = 2, ou:

ca ab ca co co

ab' * c'a

Semblablement, puisque

aa! c'a' , , ,1 > > *

-r, =z -r^ , aa.co = ab ,ca, et que ab co ^

c'b' c'a' ty

c'b' aa' c'b' c'a' c'b'

on a -7-^ . -7-, =: — . -7- = -r- = 2, ca ab ca co co

c'b' aa' -, a'a b'c' « et -jT .-—,=: 2, -^ . =z 5. ab ca ac ba

Des relations ci-dessus, il en conclut que quatre points sont en involution :

1° Lorsque sur une droite trois segments tels que oa, ob, oa jouissent de la relation

oa ob ob oa

et qu'on prend un (juatrième segment oc = ob les

quatre points a', b, a, c' sont en involution.

2' Lorsque sur une droite les quatre segments

, , aa' ac'

aa , ab , ac , ao sont tels qu'on a — -7 = — et que

^ ab ao ^

le point 0 mipartit le segment c'b', les quatre points û', 6', a, c' sont en involution.

3* Lorsque sur une droite, quatre segments a'b', a'a^ a'o, a'c' sont deux à deux proportionnels, c'està-dire si on a

a' a àc' et que le point o mipartit le segment c'b', les quatre points a' , b', a, c' sont évidemmment eninvolution.

— Et beaucoup d'autres que l'on pourrait en déduire, et qu'il serait beaucoup trop long de donner ici.

— Il résulte aussi, de plusieurs endroits, que trois points quelconques d'une involution étant donnés, le quatrième point de la même involution, correspondant au quelconque de ces trois, est aussi donné de position.

Desargues termine sa théorie de l 'involution par cette dernière proposition :

t Lorsque sur une droite, trois couples de points c,c' — b,b' — a,a' sont en involution, et que deux autres couples de points ou nœuds moyens unis, doubles ou simples PQ — XY font une involution de quatre points avec chacun de deux couples de points b,b' — a, a'; alors PQ, XY font encore une involution de quatre points avec le troisième de ces couples de nœuds ce', n

Et il ajoute cette phrase :

a Mais, pour ce brouillon, c'est assez remarquer de propriétés particulières de ce cas qui en four-

mille, et si cette façon de procéder en géométrie ne satisfait, il est plus aisé de la supprimer que de la parachever au net ».t lui donner sa forme complète. »

Nous n'ajouterons rien à l'exposition que nous venons de faire de cette belle théorie de l'invention, nous la regardons comme étant assez claire pour être comprise facilement. Nous observerons seulement que dans l'original , comme Desargues n'emploie jamais les expressions algébriques, mais que toutes ces propositions sont énoncées en langage parlé ou mieux écrit, il en résulte des longueurs et souvent de l'obscurité.

3. TRIANGLE COUPÉ PAR UNE TRANSVERSALE [Théorème de Ptolemée , mais ici énoncé autrement) , (page lU).

Le deuxième théorème fondamental de Desargues peut s'énoncer ainsi :

Si par trois points H, D, G d'une droite H D (j, passent trois autres droites quelconques, elles dé-

ANALYSE DU TRAITÉ DES CO.MQCES. 2o7

termineront snr chaque droite deux points dont les dislances aux points de départ H, D, G donneront deux segments, et on aura :

Le rapport de deux segments sur une même droite, est égal au produit des rapports entre les deux segments sur les deux autres.

«L'inverse de cette proposition bien énoncée concluant que trois points sont en une môme droite est aussi vraie. »

il n'y a rien à dire sur cette proposition anciennement connue, seulement Desargues ajoute :

'< -U va plusieurs choses à remarquer à cette énonciation. D'abord lorsque deux des trois rameaux sont parallèles entreux, et. ensuite lorsqu'il y a deux des points de dépai t II, D, G, unis entreux et ce qui en dépend; alors, dit-il, Ccutcndcmenl n'y voit ooitle. »