FAlt^CEAU DE QUATRE DROITES EN INVOLUTION

(page 147).

Lorsque quatre droites d'un faisceau sont en involution, tome parallèle à un des rayons du faisceau coupe les Irois autres en trois points, et le

rayon conjugué à celui parallèle, mipartit le segment formé par les deux autres.

Réciproquement si l'un des rayons mipartit un segment pris sur une droite, cette droite est parallèle au quatrième rayon d'une involution.

Il donne deux démonstrations de cette proposition.

Voici encore d'autres conséquences qu'il tire de cette involution de quatre droites.

1° Lorsque deux des rayons conjugés ou correS' pondant entreux sont perpendiculaires entr'eux, ils mipartissent chacun un des angles formés par les deux autres rayons conjugués.

2° Lorsqu'un de ces rayons mipartit un des angles d'entre deux de ces rayons correspondants^ ce rayon est perpendiculaire à son conjugué.

3° Lorsque parmi quatre droites d'un faisceau, deux sont perpendiculaires entr'elles et mipartissent les angles formés par les deux autres, toute transversale coupe ces quatre droites en quatre points disposés en involution.

-1" Lorsqu'on un plan une droite F K (fig. 12), mipartit en /"un des côtés G h d'un triangle B G h, et (ju'au point K où elle rencontre un des deux autres côtés de ce triangle, passe une droite parai-

2G0 ANALYSE DU TllAITÉ DES CONIQCES.

lèle à celle qui est iniparlie, les qualie points B, D, G, V que cette construclioii donne au troisième côté B G du même triangle, wul en involution.

0° Si par le sommet B de l'angle qui est opposé au côté Gh mipaili, passe une droite parallèle à ce côté mipaili G!i, les qnatre poinis F,f, K, p que donnent en celte droite FK les trois côlés du triangle et la droite Bp parallèle, sont en involution.

G' Lorsqu'une droite FGB passe par un des points G du côté fh du triangle hfk, tel que Gh = 2.h.f. et qu'au point B qu'elle donne à un quelconque des deux autres côtés du même triangle passe une droite Bp parallèle au coté double hf, cette construction donne au troisième côté K/* quatre points F, f, K, p en involution.

7° Et quand par l'angle K opposé au côté doublé fif. passe une dioile Kï) parallèle au côté doublé A/", cette construction donne en la droite Goublinte F'B' quatre poinis F, G, D, B en invc-

lulion.

Toutes ces propositions sont certainement trèsint.TCSsanles, surtout pour l'époque où elles ont été émises. Desargues termine ce sujet en disant :

€ Cette matière foisonne en semblables moyens pour conclure qncn une même droite, quatre points ou bien trois couples de nœuds sent en involution^ mais ceci peut suffire pour en ouvrir la minière avec ce qui suit. »

0. GÉNÉRATION DES CONES ET CYLINDRES, ET INDICA- TIONS DF.S DlVi RS! S SORTES DE COURBES QUI RÉ- SULTi.NT DE l'iNTIRSIXTION DE CES SURFACES PAR

UN PLAN (page J5T).

Desargues commence par (!'Uoncer ainsi la génération des cônes et des cylindres; on remarque la généralité de ce mode;

« Lorsqu'une droite, ayant un point immobile, se meut, en touchant tous les points d'une circonférence de cercle, ii peut arriver :

« 1° (jue le point immobile est au plan du cercle et il peut se trouver à dislance finie ou infinie, et dans ces deux cas, cette droite en se mouvant au p!an de ce cercle, donne un faisceau ou ordonnance de droites qui rencontrent le cercle et dont le sommet ou but est à distance finie ou infinie.

« 2° Le point immobile de cetic droilcpeut être au-dchors du cercle et à dislance finie ou infinie.

262 ANALYS!; DU TRAITÉ DES COXIQTJrS.

Dans le premier cas elle engendre un'cone et dans le second un cylindre, d'où il conclut que ces deux surfaces sont des sous- genres d'un même genre de surface. »

11 donne les noms rouleau, cornet, colonne, à ces diverses surfaces.

Il fait ici remarquer que le cône est formé de deux narties rt^unies au sommet.

Considérant ensuite un plan coupant le cône, il fait voir que si le plan de coupe passe par le sommet, on peut avoir pour intersection , un point, une droite, ou deux droites, et si le sommet du cône est à l'infini, dit- il, la section est inimaginable.

Si le plan de coupe ne passe pas par le sommet, on obtieni une courbe.

< Si cette courbe à distance finie rentre et repasse sur elle-même, on aura une ellipse,

« Si la ligne courbe repasse sur elle-même à distance, ce sera une parabole.

< Et quand la courbe à distance infinie se mipartit en deux moitiés opposées dos à dos, la figure est nommée hyperbole.

« Lorsqu'une droite dans le plan de la courbe rencontre la courbe, elle le fait en deux points qui

parfois sont réunis, et dans ce cas elle touche la courbe. »