THÉORIE DES POLES ET POLAIRES \page
La belle théorie des pôles et polaires, attribuée quelquefois au géomètre de La Hire, est bien due encore au génie de Desargues, comme va le faire voir l'analyse suivante de cette partie de l'ouvrage.
Dans un plan, supposons un faisceau de droites, soit F son sommet. Par un point N du même plan, soient menées deux transversales quelconques coupant aussi les droites clu premier faisceau, de manière que sur chacun de ces rayons se trouvent trois points y compris le point commun F.
Si maintenant par le point N on mène une troisième droite coupant harmoniquement chaque trois points de chaque rayon, cette droite KG est la polaire du point F. Desargues lui donne le nom de trauersal.e.
Cette théorie lui donne occasion d'inventer un grand nombre de mots nouveaux; parmi lesquels, outre c(>lui de tiavermle, nous citerons celui d'ordonnées relatÏNes à la transversale, qui heit à
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exprimer, sur chaque rayon du faisceau, les divers scgnicnls.
Il ajoute : « Partant à ers mots de TRAvrnsALr, CRDONNÉiis. on eonccvra que les droites dont il est entendu parler, sont ainsi nommées à l'égard d'une seetion conique qui est au même plan que ces droites . » *
(( Un semblable événement de traversâtes et d'ordonnées est fréquent aux seclùms d'un cône par un p'.an. »
Ainsi, dit-il : « Lr bord de ta courbe, avec te but des ordonnées et leur Iraversule donnent en chacune des ordonnées^ toujours quatre points en involution »
C'est bien, comme on le voit, la propriété principale du pôle et de sa polaire dans les sections coniques.
11 lait observer que, de même que deux points conjugués, l'on peut se rrou\er réuni à la souche cl l'autre à l'infinie, on peut aussi les supposer réunis en un seul, mais il faut considérer qu'alors trois points sont alors réunis en un seul.
* Il y a beaucoup à dire an sujet des quatre points en invo.'ution d'une ordonnance de droites avec leur tramversalc et le bord de la figure^ mais
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en ce brouillon^ il suffira de dire quclqtie chose des espèce d'évcnemcnls trs plus gcncrmix qui peuvent en faire voir plus aisément le particulier. »
II fait ensuite les observations suivantes :
r Le sommet du faisceau peut être sur la courbe, ou bors la courbe, et en chacun des deux cas, à une distance finie, ou iulinie.
2° La polaire d'un point rencontre, ou ne rencontre pas la courbe et en chacune de ces positions elle est à distance finie, ou infinie,
Un peu plus avant, il a dit : « Quand en un plan, aucun des points d'une droite ny est à distance finie ^ cette droite y est à dislance infinie,
3° Si le sommet du faisceau est sur la courbe, sa polaire est la tan<;ente à la courlie en ce point.
4° Si le sommet du faisceau est hors du bord de la figure, à distance finie, ou infinie et que tous les rayons du faisceau rencontrent la courbe, alors la polaire ne les rencontre pas; et si tous ces rayons ne rencontrent pas la courbe, alors la polaire la rencontre.
5° Si les deux segments, sur chaque rayon, compris entre le sommet du faisceau et la courbe sont égaux, les deux autres le sont pareillement et au contraire, etc.
6" Et par contre lori-qu une polaire ne rencontre pas la courbe, toutes les ordonnées ou rayons du faisceau la rencontrent.
7° Si cette polaire rencontre la courbe en un seul point, ce point est le but des ordonnées, c'est-àdire le sommet du faisceau.
8" Si elle la rencontre en deux points, toutes ses ordonnées, ou rayons du faisceau ne la rencontrent pas.
9° De même, si les deux segments, sur chaque rayon, entre les polaires et la courbe sont éiraux ou inégaux, alors les deux autres segments de l'involution sont égaux ou inégaux.
