QUADRILATÈRE COUPÉ PAR UNE TRANSVERSALE

(page 171).

La proposition démontrée ici par Desargues est celle qui s'énonce actuellement ainsi :

Les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère sont coupés par une transversale quel^ conque en six points qui sont en involution.

11 s'appuie pour sa démonstration, sur la proposition (2) (lu triangle coupé par une transversale.

Il en résulte, dit-il, qu'un faisceau en involution.

AN41.YSE DU TRAITÉ DfS CONIQUES. 267

de six droites c'est-à-dire six droites passant par un même point, ou six droites formant les 4 côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère jouissent de cette même propriété que coupées par une transversale, elles donnent six points en involution.

11 examine ensuite le cas où deux des côtés du quadrilatère sont parallèles et il en conclut cette proposition intéressante :

Lorsque dans un quadrilatère deux côtés sont parallèles, une transversale quelconque coupe ces deux côtés en deux parties, telles que le produit des deux segments sur l'un de ces côtés parallèles est au produit des deux segments sur l'autre comme le rectangle formé par les distances mesurées sur la transversale entre le premier côté et les deux points où elle rencontre les deux autres côtés non parallèles est au rectangle formé de même entre le deuxième côté parallèle et les mêmes points.

9. QUADRILATÈRE INSCRIT DA^P UNE CONIQUE, COUPÉ PAR UNE TRANSVERSAiE (page 186).

Tout le monde connaît maintenant cette belle

208 Aî^ALYSi: DU TRAITÉ DIS CUMQUtS.

proposition due à Desargues et qui s'énonce ainsi :

Dans fout quadrilatère inscrit à une conique, toute transversale coupe la conique et les quatre côt(js du quadrilatère, en six points en involution.

Desargues donne deux démonstralions de cette proposition, l'une s'appliquant au cas où laconique est un cer(!lo. et l'autre quand la conique est quelcon(iue.

La première, dans le cercle, s'appuie sur la proposition précédente. La seconde repose sur la considération d'un cône ayant un cercle pour base, et duquel la ligure est une section ; alors, dit-il, les plans qui passent par le sommet du cône et par les côtés du quadrilatère, les droites qui joignent les divers points de ces droites et de la courbe avec ce sommet, donnent sur le plan de la base du cône des droites et des points correspondants piur lesquels les déraonstiations ci-dessus existent, et comme les droites d'un même plan forment des faisceaux, il en résulte que les involutions formées sur la base du cercle donnent aussi des involutions correspondantes sur le plan de la conique, etc.; donc, etc., et il ajoute :

« Cette démonstration bien entendue, s'applique en un j,nand nombre d'occasions et l'ait \oirIa semblable génération de chacune des droites et de points remarquables en cliaijue espèce de seclion du cône et rarement une quelconque droite, au plan d'une quelconque section, peut avoir une piopriété considérable à l'égard (!e celte section, qu'au plan d'une autre section, la position et les propriétés d'une droite correspondante à celle-là ne soient aussi données par une semblable constiuction de droites formant un faisceau dont le sommet Ct:t celui du cône. »

ÎO. PROPOSITIONS P>I{TICUUiiRES SUIl LE CHRCLi:

(page i79).

Les propositions dont il s'agit sont difficiles à exposer sans une ligure. Considérons donc la (fig. 15) donnée par Desargues ;

Soit un cercle et un de ses diamètres CIEIA rencontrant la circonférence aux points C et E et soit pris sur cctie droite deux points I et E conjugués relativement aux deux points C et E.

Joignons un point quelconque L de la circonfé-

270 analyse" DU TRAITÉ DES COMQUTS.

rence aux quatre points C,I,E,A qui sont en invo-

lution.

Du point C abaissons suj les droites LA, Ll, les perpendiculaires CP, CN et du point E sur les mêmes droites, les perpendiculaires ER, EO et du centre 7 les perpendiculaires 7B, 7D, On aura :

r Le segment ISO de la droite Ll compris entre les pieds N et 0 des perpendiculaires CN, EO est égal à la corde LM, et de même le segment PR de la droite LA compris entre les deux pieds P et R des perpendiculaires CP, ER est égal à la corde LS.

2" Le rectangle PC, RE des des deux perpendiculaires PC et RE, est égal an rectangle LP, LR des deux segments LP, LR compris entre le point L et les pieds P et R des deux perpendiculaires. Et de même le rectangle ISC. OE est égal au rectangle LN. LO.

Et la construction restant la même, on mène par Je point I la droite IZ perpendiculaire aussi à AL et si par le point P on mène la droite PKQ de manière que le rectangle ZK, ZR = Zf, ou aura:

^„ RP BR.BP BR.BP BR . BP " RQ " PC RE "■ ZI.B7 "~ MP.MR'

A cause que B mipartit le segment PR, il en résulte que

ÀNAI.YSR DU TRÂTTÉ DIS CONIQUES 271

4° BR.BP z= T KP, el par suite :