ER.CP =ZI B7 = LP LR = MP MR = \ RP.RQ

A quoi si l'oa ajoute que la droite EL miparlit l'angle MLS et celle CM niipartit l'augle XML, alors on aura :

ES=EM et CX = CL,

et la droite EIG mipartit et l'un des angles que les droites IL, IM font entr'elles et que la droite IGY perpendiculaire à EIC mipartit l'autre.

Desargues termine eu ajoutant :

(( Ou v/rra bientôt en gros, quelles espèces de conséquences et de propositions inverses s en suivent pour le sujet de ce brouillon et qui renfleront trop pour les déduire au long. »

i 1 . SUITE DE LA THÉORIE DES POLES ET POLAIRES (6)

(page 18G).

Desargues complète ainsi sa théorie des pôles et polaires. Ne pouvant, si nous voulons être intelligible, noLisservirdes mots nouveaux qu'il emploie, nous emploierons ceux connus et nous résumerons ainsi ce sujet.

272 ANALYî^E DU TRAITÉ Dl-S COMQTTES.

Si dans un (|iuuliilatùr(', on mène les trois diafronales, c'est à-diie les droites ijiii joignc.'ut deux à deux l(!s points d'intersection des côtés opposés, CCS trois droites se coupent en trois points, et la droite qui joint (\('nx de ses points est la polaire du troisième. D'où résulte que toute droite parlant d'un de ces points est coupt'é par les deux côtés opposés du quadrilatère et la polaire de ce point en trois points, lesquels avec ce point luimême forment quatre points en involution.

De plus, si par les quatre sommets du quadrilatère passe une section conique quelconque, les droites menées par un de ces points seront coupées par la courbe et la polaire du point et son pôle qui est ce point, en quatre points en involution.

D'où il résulte la proposition déjà donnée, qu'une transversale coupe la courbe et les quatre côtés du quadrilatère en six points en involution. Deux de ces quatre côtés pouvant être deux diagonales.

la détermination de ces trois points, fort importante dans cette théorie, doit donc être attribuée à Desargues.

De cette théorie, il en déduit. Si un de ces trois points est à l'infini, sa polaire divisera en deux

ANALTSi; DU TRAITÉ DES CONIQXJES. 273

parties égales le segment de chacune des droites passant par ce point, compris entre les deux points d'intersection de la courbe, en deux parties égales et réciproquement et cette polaire sera donc un diamètre de la courbe.

D'où il suit, qu'au plan d'une section conique une droite quelcon([ue est la polaire relativement à cette courbe, d'un certain point ; cette droite, comme cas particulier , peut se trouvei être un diamètre de la courbe.

D'où résulte : Si par un point quelconque de la polaire d'un point, on mène une droite coupant la courbe en deux points, et (ju'on joigne ces deux points au [.ôle de cette polaire, les deux autres points d'intersection de ces deux droites avec la courbe seront sur une droite passant par le point pris sur la polaire. De sorte que si un de ses deux points était connu, il en résulterait l'autre, qui serait le sommet du quadrilatère inscrit à la courbe.

D'où il suit encore : Lorsque dans un plan, deux droites rencontrent une section conique, les droites qui joignent deux à deux ces quatre points, se coupent en deux points qui sont sur la polaire du point d'intersection des deux droites

274 ANALYSE nu TRAITÉ DES COMQUI S.

Oiî ^oil encore, que chacune tles droites d'un môme faisceau est la polaire d'un point situé sur la polaire du sommet du faisceau.

El réciproquement les polaires de points situés sur une même droite font partie d'un faisceau dont le sommet est le piMe de la droite.

D'oii il suit qu'étant donné le sommet d'un faisceau de droites la polaire de ce sommet est aussi donnée de position.

Et qu'étant donnée une transversale quelconque, sou pôle est aussi donné de position.

Ou voit en outre que les tangentes ne sont qu'un cas des sécantes.

D'où résulte que la droite menée d'un pôle au poiut où sa polaire coupe la courbe est une tangent-^.

Pour mener une tangente en un point d'une courbe, il suffit de mener par ce point une ordonnée à un diamètre de la courbe, la droite qui joindra le point de la courbe au point conjugué au pied de l'ordonnée, sera la tangente à la courbe.

Ou bien par le point menant une transversale quelconque, la tangente sera la droite qui joindra le point do la courbe au pôle de cette droite.

Si sur une transversale d'une section conique,

on prend des points quelconques et leurs conjugués, on aura des cou])Ies de points en invoîulion ; la souL'Iie de celte involntion sera le point conjugué de celui de cette droite qui est à l'infini.

Desargues ajoute ici cette remarque : Q li voudra sr donner (c (livcrlisscvicut, aind que M . Piirz, d'en faire une seule dcmonslralion en un plan grnérai de tontes espèces de cas, devancera le r.eltoyetnent de ce brouillon dont la plaspart des choses ont été dabord démontrées par le relief.

Il y a d'ailleurs, dit-il, deux manières de démontrer ces vérités : « r rtu plan du cercle, ou la . chose est évidente de la perpendicularité des diam> traies et de leurs ordonnées.

Et pour les autres coniques en rétablissant le cône sur sa base circulaire, cl se servant d s faisceaux ayant pour sommet celui du cône.

2° Ou bien de ce qnc dessus la chose est évidente en vn diamètre quelconque dont ensuite elle s^ conclt en quelqu autre droite.

iJesargues ajoute encore les deux propositions suivantes :

Soit un point et sa polaire relativement à une conique quelconque; par le point menant des transversales coupant la courbe, chacune eu deux points

276 ANALYSE DU TBAITÉ DFS CONIQUIS.

joignons un point quelconque de la courbe à ces couples de deux points, on aura des couples de droites qui couperont la polaire en des couples de points en involu^ion.

Réciproquement, si sur une transversale on a une suite de couples de points en involution, et qu'on joigne un point de la courbe à ces couples de points, les deux autres points, qui résulteront de l'intersection de la couibe par chaque couple de ces droites, détermineront des droites qui passeront toutes par le pôle de la transversale.

Desargues termine en disant :

« // serait trop long d^ assembler ici, non pas tou^ tes, mais seulemmt lespropriélés gui s'offrent à la foule, communes à toutes les espèces de sections coniques, il suffira d'en dire seulement quelques unes des plus évidentes et qui scrveni à en découvrir des moins, »

Desargues ajoute en remarque : Outre les involutions à souche engagée ou dégagée, il faut encore distinguer une autre, ce serait celle où chaque couple de points conjugués ne forment qu'un et sont réunis à la souche. Alors, Vcntendemeni demeure court de même qu'en plusieurs autres circonstances. >

Ainsi lorsquune transversale est à distance infinie, tout est inimaginable. L'auteur ne dit pas que dans ce cas le pôle de cette droite est le centre de la courbe, etc.

Lorsque la transversale est à dislance finie, elle rencontre, ou ne rencontre pas la courbe.

Lorsqu'elle la rencontre, c'est en deux points, si ces deux points sont unis en un seul, en ce cas elle est tangente;

Lorsqu'elle ne la rencontre pas, l'involution fornaée sur celte droite par les pôles et polaires réciproques est à souche engagée.

Si elle la rencontre en deux points, elle est à souche dégagée ; et si elle est tangente, ce sera le cas cité ci-dessus, où, dit-il, « Leutendemcnl ne peut comprendre comment sont tes propriétés que le raisonnement lui a fait conclure.