SECTIONS d'un CONE PAR UN PLAN (page

Voici la proposition capitale de l'ouvrage de Desargues et qui est, comme il le dit, « un assemblage abrégé de tout ce qui précède. »

<( Etant donné, de grandeur et position, une section conique quelconque pour base dun cône, dont

278 ANALYSE DU JIIAITÉ DrS COMQUi S.

le sommet est aussi donné de position, et qtinn autre plan, en (jmlque posilion aussi donnée, coupe ce cône et que l'intei section de ce plan coupant avec la buse du coiic sait aussi donnée de position ; la figure qui vient de cette construction, en ce plan coupant est donnée d espèce, de position, chacune de ses diamétrales, avec leur distinction, de conjuguées et d'aaes; comme encore chacune des espèces de leurs ordonnées et des tangentes à la figure et la nature de chacune, leurs transversales à un même sommet, avec II s distinctions possibles sont données toutes de g n/ ration et de position , «

Celle admirable proposition mériterait certainement, en recevant quelques développements, d'enlrer dans l'instruction puliliquo. Elle est la base de la méthode fondée sur la perspective, et elle conduit aux propriétés des sections coniques, parla simple comparaison avec celles connues d'un cercle qui servirait de base au cône.

Voici comment Desaigues procède :

r Par le sommet du cône, il mène un plan parallèle au plan de la section et détermine sa trace sur le plan de la base, trace qui est nécessairement parallèle à celle du plan coupant.

T 11 détermine le pôle de cette droite par rap-

port à la section conique, qui sert de base au cône.

3" Par ce pôle, on conc^^oit diverses transversales qui sont chacune coupées par la courbe et la polaire en trois poinis formant une involution de quatre points avec le pôle.

Il est évident, d'après cela :

r Que les arêtes du cône, el plus *Tc'ii6ralement toutes les droites qui se trouvent dans le plan parallèle au plan de la section, passant par le sommet du cône, ne rencontreront pas le plan de la section, d'où lésulte que tous les points qui sont dans ce premier plan, auront pour correspondants respectils dans le second, des poinis silurs à l'infini. 11 en ri^sulte ainsi :

2° Si la trace du premier plan rencontre la base du cône en deux poinis, la courbe résullantc aura deux points à l'inlhii, sera une hyperbole; si elle est tangente, ce cera une parabole, et enfin si elle ne rencontre pas la courbe, on aura une ellipse.

3° Si par la droite qui joint le sommet du cône, au pôle de la trace ci-dessus, on fait passer des plans quelconques, ils donneront, par leurs intersections avec le plan de ia section, des diamètres de la courbe; car on voit qu'aux quatre points en

involution qui sont sur la tiace d'un de ces plans, correspondent les quatre droites en involution, qui joignent le sommet du cône à ces qpiatre points, et que le plan de la section est parallèle à une de ces droites, de sorte qu'on obtiendra seulement trois points, dont celui correspondant au pôle, partagera, en deux parties égales, la distance comprise entre les deux autres.

4° Si sur la trace du plan passant par le sommet, on prend deux points conjugués, c'est-à-dire tels que la polaire de l'une passe par l'autre, il résulte évidemment que les plans qui passeront par deux de ces points et par la droite qui joint le sommet au pôle, donneront deux diamètres conjugués, parallèles respectivement aux droites qui joignent le sommet du cône et ces deux points.

5° Si par chacune de ces deux dernières droites, on fait passer un faisceau de plan, il donnera un faisceau de droites parallèles au diamètre conjugué, etc.

6° Si par le pôle ci-dessus on peut mener deux tanpenles à la hase du cône, elles donneront les asymptotes de l'hyperbole, et il remarque aussi que chaque asymptote peut être considérée comme elant deux diamètres conjugués réunis en un seul.

T Enfin, on obtiendrait les diverses tangentes à la courbe par des moyens évidents.

On pourrait encore, dit Desargues, en tirer diverses propositions d'Euclide concernant les intersections du cercle, par une transversale, une tangente, etc.

« De ce gui est ici, on voit dpjà bien évidemment plusieurs propriétés communes à toutes les différentes sections coniques comme en outre :

« r Que sur une section conique peut être construit un cône qui sera coupé selon quelconque espèce de section conique. »

Cette proposition est évidente s'il ne s'agit que de l'espèce de la courbe, mais si on demandait que la courbe fût, par exemple un cercle, la proposition ne conduirait pas à ce résultat.

«2° Si aux deux extrémités d'un diamètre, on mène les tangentes, le produit des parties de ces deux tangentes comprises entre leur point de langence et une autre droiie tangente à la courbe, est constant. (( 3° Que les rectangles des deux segments des ordonnées à un diamètre d'iiyperbole contenus entre l'un des points de la courbe et chacun des points qui donnent ses asymptotes, sont aussi d'une même grandeur. »>

282 ANALYSE DU TRAITÉ DKS COMQULS.

13. DEIX C!nC0NTÉUE.\Ci:S IT DEUX COMQC: S DANS U^ MÊME PLAN , SOUCHE COMMl.NE A Pi USIEIRS DROITES.

Desargues donne ici plusieurs propositions sur deux cercles et deux coniques, nous pouvons les énoncer ainsi :

r Sur une droite (llg. 16), supposons deux couples de points C.G — B,I1 tels que AC . AG = AB. AH. Si sur les segments GG, BU comme diamèlres, on décrit des circcnférences, toute transversale menée par la touche A coupera les deux circonféreucesendeux semblables couples de points conjugués, ayant ce même point A pour souche.

2° A ne demeurant pas souche, au lieu de circonférences il peut y a\oir sur les m«^'mes segments quelques autres sections coniques disposées en certaine façon que les courbes opèrent la mcmc chose que deux cercles, évident au moyen d'un faisceau de dioiles passant par ces points.

3" Si les quatre points H, G, B, F (fig. 17) sur une droite, sont en involulion, et que les deux segments GF, BH correspourlants, sont chacun diamètre d'un cercle; si par une des souches réci-

ANALYSE DD TRAITlî DKS COMQlJi:S. 283

proques L et A on mène nne transversale, ses inlerseclions avec les deux cercles détermineront quatre points en involution qui auront pour souche le même point L ou A.

4° Le point A ne demeurant pas souche^ si au lieu de deux cercles, il y a deux sections coniques disposées en certaine position, leurs courbes opèrent les semblables, comme les cercles (cela veut dire quelque chose d'analogue).

5" Lorsque (fig. 17) sur une droite BU, quatre points H, G, li, F sont en involution et que le segment FG est diamètre d'un cercle, et que le quelconque segment AH ou AB est aussi diamètre d'un autre cercle, et qu au quatrième point restant B ou H, on mène la tangente au cercle, cette tangente donne en une transversale quelconque menée par la souclie A un point conjugué a à celui que donne cette transversale avec le deuxième cercle et en involulion avec ceux b,b^ donnés par le premier, et ayant le point A pour souche; on a en effet

AH.AB=:= AFrr= A6, et à cause des deux trian-

AH S.(i

des semblables AH« et ABC on a — := '> d'où