poli: et pla.n polaire

La belle théorie des pôles et polaires relativement aux coniques, et qui est de l'invention de Desargues lui avait aussi fait concevoir qu'une théorie analogue existait pour l'espace, on le voit par cet article, où on y trouve, très-succinctement il est vrai, ses idées sur ce sujet.

De même, dit-il (en se servant d'autres mots) qu'on conçoit dans le plan la polaire d'un point, de même dans l'espacs, on voit que si on considère une sphère et un plan fixe, à ce plan correspondra relativement à la sphère, un point tel que toute droite passant par ce point sera coupée par la sphère et le plan polaire en trois points formant avec ce pôle, une involution de quatre points. ,

Réciprc'iuement le point ou pôle étant donné, la posiii jn du plan polaire est aussi connue.

ANALYSE Dr TRAITÉ DES CONIQUES. 291

Si on regarde divers points d'iin plan, comme les sommets de cônes tangents à la sphère les plans des cercles de contact passent par un même point qui est le pôle du plan.

Et semblables proprif lés se trouvent à l'égard d'autres solides qui sont relalivement à la sphère, ce que les coniques sont au cercle. »

19. PROPOSITION SUR UNE CONIQUE ET UNI: DROITE SITUÉE DANS i.i MÉ>IE PIAN.

Cette proposition est curieuse et d'autant plus intéressante, que rje la crois inconnue actuellement, et 2" qu'elle conduit à trouver les foyers par le moyen du cône sur laquelle cette courbe est tracée.

Voici comment ou peut l'exprimer en se servant delà tigure (19) :

Étant donnée, dans le plan d'une section conique, une droite quelconque AV. On détermine, par rapport à la section, le pple F de cette droite.

Par ce point V on trace une transversale quelconque FA, rencontrant la droite donnée au point A.

Sur cette droite FA, on prend deux points X et 0

292 ANVLYSi: DU TRAITJÎ DtS COMQUlS.

conjugues hariii0îru[uc's par rapport aux deux points F et A. Ces deux points seront tous les deux intérieurs à lacourbe, ou extérieurs, ou sur la courbe. Prenons les comme dans la figure 19, intérieurs à la courbe, c'est à-dire du côté du concave.

Sur cette droite FA, sur laquelle se trouventdéjà les quatre points F, A, X, Q, prenons deux autres points Z et R conjugués harmoniques des deux points Xet Q.

Par le point Z menons la tangente ZG à la courbe et joignons, par une droite, le point de tangence G au point R conjugué de Z.

Les deux droites GZ, GR étant prolongées rencontreront la droite donnée AV aux points B et E.

Si on prend sur AV d'autres couples de points tels que Z et R, sa proposition consiste en ce que :

1° Les couples de points tels que B et E formeront sur la droite donnée un involution.

2* — Si on joint le centre 7 de la conique et le point P milieu du segment XQ, cette droite 7 P rencontrera celle AV au point C qui sera le centre de l'involution.

On voit, par cette construction, que si le point Z est en A sur AV, la tangente sera AH et la droiîe IIF polaire du point A sera la seconde droite, de sorte

ANALYSi: DU TRAITÉ Dl'S CONlQUrS. 293

que A et D seront un couple de ces points eu iuvolution.

A chaque point de iangencc tel que H on peut concevoir quatie droites, HX, HF, HQ, HA formant une involution.

20. DÉTIRMINATION , DA>S LE CONi: , DES FOYtRS , DES DTVMÈTRrS ETC. DE LA COURBE QUI RÉSULTE , SON DE INTERSECTION AVEC UN PLAN.

Cette proposition fait suite à la précédente, et eu devient une très belle application. Voici en quoi elle consiste :

Si on considère la conique donnée, comme la base d'un cône dont le sommet serait sur une droite élevée au point c, perpendiculairement à la droite AV, et à une distance de c égale à la moyenne des segments conjugués de l'involution, et cette perpendiculaire C5 étant avec la droite AV dans un plan ayant une inclinaison quelconque sur celui de la base, il arrivera que tout plan sécant parallèle à ce dernier plan, coupera le cône suivant une conique, dont les foyers seront sur les droites qui joignent ce sommet 6 et les points X et Q.

Ce résultat tient à ce que : aux quatre droites

HX, H F, HQ, HÂ correspond dans le plan ôAV des .

droites Cy , ôD , oh , ^A dont les deux ôD et «A , sont rectangulaires et comme ces quatre dioites sont en involution ces deux droites 6D. ô\ divisent donc en deux parties é^^^ales, les angles des deux autres; or par la construction, on voit que dans la conique qui résulte de la section du cône par un pian paralèlle à celui de ces droites, aux quatre droites HX, HF, HQ, HA. correspondront quatre droites paralèlles à celles , ôD, 6b, ôA, et dont celle correspondante à HA sera une tangente ; d'où il résultera-que celles correspondantes à HX, HQ feront avec la tangente des angies égaux, cette propriété étant la même, quel que soit le point de tangence sur la courbe il faut que les points correspondants à ceux X et Q soient les foyers de cette courbe.

H en résulte, dit Desargues que :

Étant donnée, une conique quelconque pour base d'un cône, et en son plan, une trans\ersale regardée comme la trace d'un plan passant par le sommet du cône et faisant avec celui de la base, un angle donné, et de plus étant donné, sur cette droit -, le point central c de l'involuticn, ou bien deux couples de points conjugués ; ou bien encore

ANAi.YSK DU TRAITÉ D' S CONIQUES. 295

hors de cette droite le point tel (jue P, ou un des points tels que X et Q, ou bien deux couples de points conjugués sur cette droite XQ, alors il résuite que :

r Le sommet du cône est donné de position.

T Le cône est donné d'espace et de position,

3° Tous les diamètres conjup:ués de la seution, les axes, le paramètre, etc., sont donnés.

4° Et enfin les foyers y sont connus.

Si on donne le sommet du cône, la base, et la transversale et le plan coupant, alors tout le reste est donné semblabiement de génération, d'espèce et de position.

On voit l'importance de ces iÏQwx propositions qui demanderaient plus de développement qu'en a donné l'auteur.