L'unité abstraite de mesure. — Le nombre abstrait

— Dans les développements qui ont précédé, nous avons

(1) Saint Thomas a bien marqué cette distinction dans les lignes suivantes de son Commentaire à la Métaphysique d'Aristote :

" Uniim quod est principium numeri, aliud est ab eo quod cum ente convertitur. Unum enim quod cum ente convertitur, ipsum ens désignât, superaddens indivisionis rationem, quae, cum sit negatio vel privatio, non ponit aliquam naturam enti additam. Et sic in nullo differt ab ente secundum rem, sed solum ratione. Nam negatio vel privatio non est ens naturae sed rationis, sicut dictura est. Unum vero quod est principium numeri addit, supra substantiam, rationem mensurae, quae est propria passio quantitatis, et primo invenitur in unitate. Et dicitur per privationem vel negationem divisionis, quae est secundum quantitatem continuam. Nam numerus ex divisione continui causatur. Et ideo numerus ad scientiam mathematicam pertinet, cujus subjectum extra materiam esse non potest, quamvis sine materia sensibili consideretur. Hoc autem non esset, si unum quod est principium numeri, secundum esse a materia separaretur, in rébus immaterialibus existons, quasi cum ente conversum. „ In Met. IV, lect. 2.

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flistingué plusieurs unités de mesure : unité de longueur, unité de masse, unité de temps, etc., autant d'unités concrètes, respectivement applicables à des quantités déterminées.

De fait, pour mesurer une longueur, il faut prendre une longueur ; pour mesurer une masse, il faut une unité de masse ; pour mesurer le temps, il faut une unité de temps.

Mais l'esprit s'est élevé au-dessus de ces déterminations : des mesures particulières, il a détaché la notion de la mesure en général ; des unités de longueur, de temps, de masse, il a abstrait V unité, et, semblablement, des nombres de mètres, de secondes, de grammes, il a formé la notion abstraite de nombre en général.

L'unité, ainsi détachée de ses déterminations matérielles, fut symbolisée par le signe 1.

Elle représentera désormais une quantité quelconque, capable de servir de mesure k une autre quantité quelconque.

A son tour, le nombre exprimant la mesure de la quantité mesurée, s'exprimera par une somme d'unités : tels, par

exemple, les nombres (1 -]- Ij, (1 -f- 1 + 1)» (1 + 1 + 1 + M' et ainsi de suite.

Est-ce à dire que le nombre représente toujours la mesure d'une quantité ?

Non, le nombre se prend en deux acceptions bien distinctes.

87. Autre acception du nombre. — L'unité, dans la signification transcendantale du mot, n'est pas applicable aux quantités seulement, mais à tout : les genres, les espèces aussi bien que les individus ; les esprits aussi bien que les corps ont leur unité.

Des unités, distinctes les unes des autres, forment ensemble une multitude (64).

Or, des unités, distinctes les unes des autres, réunies en

un tout, forment une multitude nomhrée ou un nombre, dans l'acception générale du mot.

Pour former un pareil nombre, il n'est pas nécessaire de recourir à un procédé de mesure ; on ne mesure pas les unités de ce nombre, on les compte.

Une pluralité d'unités quelconques, réunies en un même total complet, forme donc un nombre.

Les unités, dont il est composé, ne doivent pas être des quantités égales, mais appartiennent indifféremment à n'importe quelle catégorie : ce sont des substances de même espèce, des êtres de qualité semblable, des relations de même ordre, il importe peu.

Les esprits eux-mêmes peuvent être nombres.

Aristote compte les substances séparées ; la théologie chrétienne compte les chœurs et les hiérarchies des esprits célestes (1).

Précisons ces notions provisoires ; à cet effet, examinons, de plus près, la comparaison entre le nombre et la multitude et distinguons, avec plus de rigueur, les deux acceptions du nombre.

(1) Les Averroïstes, désireux de conclure à l'existence d'une seule âme intellective pour l'humanité entière, soutenaient que le nombre ne peut avoir d'autre origine que la division de la matière. Au contraire, dit saint Thomas, dans sa réponse à Siger de Brabanl, chaque substance séparée est une unité et fait partie d'un nombre. " Relinquitur ergo quod quaelibet substantia separata sit unum numéro. Nec verum est quod omnis numerus causatur a materia : frustra enim Aristoteles quaesivisset numerum substantiarum separatarum. Ponit etiam Aristoteles in 5 Metaphysic. quod multum dividitur non solum numéro, sed etiam specie et génère. „ i)e unitate intelledus, contra Averroistas.

Ailleurs, saint Thomas écrit : " Cum divisio multitudinem causet, indi- Visio vero unitatem, oportet secundura rationem divisionis, de uno et multo judicium sumi. Est autem quaedam divisio quae omnino genus quantitatis excedit, quae scil. est per aliquara oppositionem formalem, quae nullam quantitatem concernit. Unde oportet quod multitudo banc divisionem consequens et unum quod hanc divisionem privât, sint raajoris communitatis et ambitus quam genus quantitatis. „ De Potentia, q. IX, a. 7, C. ,

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88. Le nombre et la multitude. — La multitude et le nombre sont l'une et l'autre un ensemble d'unités distinctes. Mais il j a entre la première et le second une double différence.

D'abord, il n'est pas essentiel à la multitude d'être close par une dernière unité, tandis que le nombre est un tout terminé et spécifié par une dernière unité.

En second lieu, les unités de la multitude n'ont pas nécessairement de relation entre elles, tandis qu'il est essentiel aux unités du nombre d'en avoir une, soit librement établie, soit même objectivement nécessaire.

Le signe I est le symbole de l'unité ; les expressions II, III, III I, etc., désignent une pluralité d'unités, une multitude d'unités distinctes. Le signe -f- indique leur union en un tout. Les expressions (1 -|- 1) ou 2, (1 + 1 -|- 1) ou 3, (1 -j- 1 + 1 + 1) ou 4 etc., symbolisent le total de chacun des nombres.

Les nombres sont rangés dans un ordre déterminé. Par sa position dans la série, l'unité exprime la première unité, le « principe du nombre « ; la place occupée en conséquence par le nombre 2, à la suite de 1 ; par le nombre 3, à la suite de 2 ; par le nombre 4, à la suite de 3, etc., détermine la relation d'ordre de chacun des nombres dans la série.

D'abord, disons-nous, il est essentiel au nombre, de réunir ses unités en un total dont les unités sont les parties, et d'avoir une dernière unité qui, totalisant le nombre, lui donne son caractère spécifique : ce sont là, en effet, les éléments de la définition du nombre, en tant qu'il est distinct d'une multitude. Le nombre six n'est pas formellement deux fois trois, observe Aristote, mais une fois six, « sex non est bis tria, sed semel sex. r Et saint Thomas écrit :

" Si unitas addatur ternario, surgit quaternarius, qui est ah'a species numeri : si vero abstrahatur ab eodem, reniauet biuarius,

qui est etiam alia species numeri. Et hoc ideo, quia illa ultima unitas dat speciem numéro „ (1).

En second lieu, les unités de la multitude n'ont pas nécessairement de relation entre elles, tandis qu'il est essentiel aux unités du nombre d'en avoir une, soit librement établie, soit même objectivement nécessaire.

Le nombre 2 présuppose essentiellement l'unité 1 ; il est formé, en effet, par l'addition d'une unité à l'unité élémentaire présupposée ; il n'est qu'un signe abréviatif de l'expression 1 -j- 1.

Le nombre 3 présuppose le nombre 2, car il équivaut au nombre 2 augmenté d'une unité, il signifie 2-)- 1 ; et, de même que 2 présupposait l'unité, de même, par une conséquence nécessaire, le nombre 3 ou 2 -}~ 1 présuppose l'unité.

A son tour, le nombre 4 ou (3 -[- 1) présuppose le nombre 3 et, par suite, le nombre 2, et se trouve relié, par l'intermédiaire des nombres 3 et 2, à l'unité primordiale.

Ainsi se compose progressivement la série des nombres, à partir de l'unité " principe du nombre « . Chaque terme de la série comprend le terme précédent, plus une unité ; tous les termes se font suite, à partir d'une première unité :

La série peut être continuée indéfiniment : après un nombre quelconque n, on peut concevoir un autre nombre formé de ^ augmenté d'une unité, n-f L

Mais, la relation d'ordre, essentielle au nombre considéré en opposition avec une multitude, varie, selon qu'il s'agit d'un nombre formé d'unités transcendantales, ou d'un nombre strictement dit, formé d'unités quantitatives.

Des êtres de même espèce ou de même qualité, des

(1) Metaph. lib. VIII, lect. 3. Cfr. 4 Sent. Dist. 8, q. % art. 3, ad 7.

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entités de n'importe quelle catégorie peuvent être réunis par la ])ensée en un tout, être rangés en un ordre déterminé et former ainsi un nombre, dans l'acception large du mot.

Les êtres spirituels eux-mêmes, on se les figure dans un espace ou dans un temps imaginaires, et l'esprit les énumère inévitablement suivant un certain ordre de succession.

Mais cet ordre est choisi arbitrairement, et la relation établie entre les diverses collections d'unités est toute subjective.

Il en va autrement, lorsqu'il s'agit de nombres qui expriment la mesure de quantités continues ou supposées continues. Dans ce cas, former un nombre, c'est prendre, pour unité de mesure, une quantité et compter combien de fois cette unité de mesure peut être portée successivement sur la quantité à mesurer.

Lorsqu'on veut exprimer en nombre la mesure d'une grandeur, on prend une unité conventionnelle, par exemple, le mètre étalon mesuré par Delambre et Borda et conservé à l'Etablissement international de Sèvres , et l'on compte combien de fois ce mètre étalon peut être porté sur la grandeur à mesurer. La placé de la première application du mètre étalon est fixée par la limité extrême du continu à mesurer, celle de la seconde application est ûxée par la place du premier mètre ; chacune des suivantes applications du mètre, sur la grandeur qu'il s'agit d'évaluer, est immédiatement déterminée par l'application précédente, et toutes sont fonction du premier mesurage.

Les unités successives, qui expriment les mètres compris dans le continu à mesurer, sont donc ici rangées en un ordre qui s'impose à l'esprit.

Les unités, symboles des quantités mesurées et égales, sont, a proprement parler, les unités de nombre ou unités rnathématiqiies .

La supputation d'unités, supposées égales et rangées dans un ordre déterminé de succession, forme les nombres proprement dits, objet de l'arithmétique.

U arithmétique y en effet, a pour objet direct le nombre entendu dans le sens strict, comme expression de la mesure d'une quantité (1).

La preuve en est que, l'arithmétique s'occupe, non seulement des nombres entiers, mais aussi des nombres fractionnaires et des nombres incommensurables. Or, il est manifeste que seules les quantités sont susceptibles de fractionnement et qu'à elles seules aussi il appartient d'avoir ou de n'avoir pas une commune mesure (2).

89. CoroUaipe : La notion de limite entre dans la définition du nombre, mais pas dans celle de la multitude. — Le nombre, dans l'acception stricte du mot, est l'expression de la mesure d'une quantité. Or, il est évident qu'une quantité, dont on parvient à exprimer la mesure, est finie, attendu que, prendre la mesure d'une quantité, c'est constater combien de fois elle contient une quantité finie connue, ou encore, combien de quantités finies il sufiit d'en soustraire pour l'épuiser.

Même, dans son acception la plus large, le nombre est nécessairement fini, attendu qu'il est un composé d'unités spécifié par une dernière unité.

(1) V arithmétique porte bien son nom. Le mot àptQaoç, d'où ^rjiBiJ.riTiY.r\^ a pour radical ar, qui forme directement le verbe àpco, arranger. 'A&t9p.ôç signifie donc ce qui est SiiTB.r\^é\V arithmétique est la science de VolÇjI^ij.Ôc,.

(2) " Numerus et unitas, secundum quod sunt in génère quantitatis, non inveniuntur nisi in quibus invenitur commensuratio quantitatis ; unde inveniuntur tantum in rébus habentibus quantitatem continuam. Unde Philosophus dicit quod numerum cognoscimus divisione continui; et hic tantum numerus est sub arithmetica, ut etiam Avieenna dicit. „ I Sent. dist. 24, q, 1, a. 3.

" Unitas et numerus quae considérât arithmeticus, non sunt illa unitas et multitude quae inveniuntur in omnibus entibus, sed solura secundum quod inveniuntur in rébus materialibus secundum quod pluralitas causatur ex divisione continui. In hoc enim possunt inveniri omnes illae passiones in numeris, quae arithmetici demonstrant, sicut multiplicatio, et aggregatio, et hujusmodi, quae fundantur super divisionem infinitam continui. Unde est infinitas in numéro. Et ideo etiam talis unitas est potentia omnis numerus. „ Ihid., art. 1, ad 2.

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Il n'est pas évident que toute multitude doive ainsi être terminée par une dernière unité.

Aristote, saint Thomas et plusieurs autres Docteurs de marque sont d'avis qu'une multitude infinie n'implique pas contradiction.

Que la question soit discutable, nous ne voulons pas le contester. Mais on ne peut la trancher par cette considération sommaire que, toute agglomération d'unités est essentiellement finie. Confondre la multitude et le nombre, ce serait résoudre une controverse par une pétition de principe.

L'unité prédicamentelle, dont on s'est occupé dans les pages précédentes, est- elle identique soit à l'unité numélique. soit à l'unité du continu ?

D'abord, qu'est-ce que les métaphysiciens appellent unité numérique ?

90. L'unité numérique. — A ne considérer que l'étymologie du mot, il semblerait que l'unité numérique dtit signifier toute unité faisant partie on pouvant faire partie d'un nombre. A ce compte, l'unité numérique devrait désigner proprement l'unité de mesure et improprement l'unité iranscendantale, commune à l'espèce et au genre aussi bien qu'à l'individu.

Mais, en fait, on emploie l'expression « unité numérique » de préférence pour désigner l'unité transcendantale propre <à l'individu.

L'essence générique se trouve en effet réalisée en chacune des espèces du genre ; l'espèce (matérielle) à son tour se trouve réalisée en chacun des individus de l'espèce ; l'individu, au contraire, est lui-même et n'est que lui-même. Aussi l'unité propre aux genres et aux espèces n'est que logique ; dès que l'essence générique ou spécifique se trouve réalisée ou même est conçue comme réalisée dans la nature, elle perd son unité et se multiplie avec les

individus qui la concrétisent. Seuls les individus gardent essentiellement leur unité, ils sont immultipliables. « Chaque homme compte pour un, disait spirituellement le moraliste anglais Bentham, pas un homme ne compte pour plus d'un. 5' L'unité numérique est donc propre à l'individu. Aussi les expressions unité individuelle et unité numérique sont-elles équivalentes.

Comme la multiplication du type spécifique a pour principe l'union de la forme spécifique avec la matière quantifiée, l'unité numérique de l'individu s'appelle aussi unité matérielle ; par contre, l'unité du genre et de l'espèce s'appelle formelle (72).

91. L'unité du continu. — L'unité de mesure, propre à la quantité, et principe du nombre, est-elle identique à l'unité du continu ?

Non. Elle présuppose et enveloppe dans son concept l'unité du continu, mais y ajoute la relation de mesure.

La continuité est Vindivision de l'étendue et, par conséquent, son unité ; elle est donc une des applications de l'unité transcendantale.

Celle-ci, en efifet, est l'indivision de l'être; applicable à tout être, substance ou accident, elle l'est aussi à la quantité. Or, la continuité est l'indivision propre à l'étendue. Donc l'unité transcendantale embrasse dans son extension l'unité du continu : celle-ci est une unité transcendantale accessoire qui s'ajoute à celle de la substance (1).

Or, la notion de mesure est postérieure à celle du continu ; elle présuppose plusieurs continus et les compare entre eux .

L'unité du continu a un caractère absolu ; l'unité de mesure, un caractère relatif, consécutif au premier.

(i) Sur la nature du composé qui résulte de l'union de la substance avec ses accidents, voir plus loin, 8^ Partie.

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La première unité convient à toute quantité continue ; la seconde ne convient qu'à tette quantité minimale indivisible ou du moins envisagée comme indivisible.

Donc l'unité du continu et l'unité principe du nombre ne peuvent être confondues.

92. Résumé et conclusion. — Nous devions parler, dans ce paragraphe (§ 3), de l'unité transcendantaJe . Celle-ci est un attribut absolu de l'être comme tel ; elle consiste dans l'indivision de l'être; peu importe, d'ailleurs, que cette indivision ne soit que la condition actuelle d'un être ou qu'elle exclue la possibilité même de sa division. Cette unité appartient donc à l'être, en tant qu'être; elle dépasse, en extension, tous les genres, et s'appelle, par conséquent, à bon droit, transcendantale (I).

Ni la composition métaphysique ni la composition physique ne sont incompatibles avec l'unité de l'être (11).

L'unité qui consiste dans l'indivision interne de tout être, ne peut être confondue avec l'unité qui sert de mesure à la quantité divisible et se trouve être ainsi le principe du nombre. La première unité est transcendantale, la seconde, prédicamen telle (III).