II. — De rinvention du centre de gravité. — Un passage

de TAlmageste de Ptolémée.

(Simon Stevin, Albert Girard, p. 457).

Simon Stevin.

(( Si les figures. planes avoyent quelque pesanteur, ou si on vouloit faire demande particulière de concéder qu'elles en eussent à raison de leur grandeur, on pourroit proprement parler de leur centre de gravité, de leur diamètre de gravité, etc. Mais d'autant qu'elles n'en ont pas, il le faudra entendre Métaphoriquement, et prendre comme par hypothèse que la pesanteur des plans, est à raison de leurs grandeurs. Car Le faux est concédé^ afin (Rapprendre le vray puis après. »

Stevin explique ensuite que lorsqu'une figure plane possède un « centre de figure », celui-ci est en même temps le centre de gravité. Il donne comme exemples le triangle équilatéral, le rectangle, le parallélogramme, les polygones réguliers, le cercle, l'ellipse, etc.

Albert Girard.

« Que les cercles, ellipses, polygones rectilignes réguliers, et entre autres aussi toutes figures, qui ont un poinct dedans, lequel divise toutes les lignes qui y passent, en deux également, ayent un centre de figure,

voire que ce soit celuy-la, où les lignes susdites se coupent en deux également; ou bien que celuy aux polygones réguliers (voire mesme de nombre impair de costez) soit celuy du cercle mesme, qui les circonscrit, ou qui est inscrit dedans, cela est notoire, mesme aux plus ignorans de la Mathématique ; mais pour les figures irregulieres, autres que les susdites, quoy que termi-^ nées, cela a esté jusques icy nié, ou du moins tenu pour chose de difficile décision entre les plus relevez : mais il faut recognoistre que quand mesme nous ne sçaurions pas la définition du centre de figure ; que les réguliers, tant plans que solides, et quelques irreguliers mentionnez (où le parallélogramme est compris) nous monstrent assez que le centre de figure est en toute figure terminée, et que la nature par ces eschantillons nous veut conduire à la cognoissance du milieu, qui est le lieu, où elle cache ses secrets les plus exquis : Donc tout ce qui est terininé a son milieu, et centre est plus distingué que le milieu. Finalement j'estime que ce n'est pas mal dit, que le centre de gravité est aussi le centre de figure : et au contraire, il n'importe qu'il soit aucunefois sur le circuit, voire aucunefois dehors, comme de l'anneau qui ne fait que la moitié du circuit. Quant à Stevin il a estimé que les triangles irreguliers n'avoyent nul centre de figure, par la distinction qu'il fait de la proposition suivante d'avec la précédente : Faut aussi noter en passant, que le centre de génération n'est pas le centre de figure; comme on dit coustumierement que le centre d'un demi-cercle est où le centre du cercle entier estoit; mais c'est le centre de génération, et non pas celuy de la figure ny de gravité, lequel nous demonstrerons cy-apres estre dedans la superfice, et la manière de le trouver Mathématiquement en sa perfection, comme celuy aussi de l'hemi-

agg DU CENTRE DE GRA VITE

sphère, et d'autres figures, qui n'ont encor esté expliquées par personne cy-devant. »

Simon Stevin.

« Le centre de gravité des triangles^ est en la ligne menée d'un angle^ au milieu du costé opposite.

» Le donné. Soit ABC un triangle quelconque recti^ ligne, et menée la ligne AD, d'un angle A vers le milieu du costé opposite BC.

» Le requis. 11 faut demonstrer que le centre de gravité du triangle est en la ligne AD.

» Préparation. Soyent menées les parallèles à BC, comme EF, GH, IK, coupans AD en L, M, N ; puis les parallèles à AD, comme EO, GP, IQ, KR, HS, FT.

)) Démonstration. Les quàdrangles IR, G S, ET seront parallélogrammes , desquels les centres de gravité sont en AD; d'autant que BD estan!

égale a DC, leurs costez seront aussi parallèles à BC; voire le centre de gravité de la figure composée des trois parallélogrammes IT, sera dans AD : Or tout ainsi qu'on a inscrit icy trois parallélogrammes dans ABC, on en pourra faire aussi une infinité, lesquels auporit tous leurs centres de gravité dans AD, pour les mesmes raisons; et tant plus il y en a, tant moins differerait-ils du triangle, veu qi^e si on menoit des parallèles à BC par le milieu de AN, NM, ML et LD, achevant les parallélogrammes, ils ne diffe-

Fig. 21.

SIMON STEVJN, ALBERT GIRARD liyij

reront du triangle que de la moitié de la différence précédente : Parquoy on en peut tant inscrire, que la différence sera moindre qu'aucune superfice donnée tant petite soit-elle, d'où s'ensuit que prenant AD pour diamètre de gravité, la disposition de la pesanteur de Iti partie ADC différera moins de celle de l'autre partie ADB, qu'aucune quantité qu'on sçauroit donner si petite puisse-elle estre, d'où nous argumenterons ainsi.

» A. Lors que deux pesanteurs différent, on peut trouver une pesanteur moindre que leurs différences.

)) O. A ces deux pesanteurs ADC, ADB, on ne peut trouver de pesanteur moindre que leur différence.

» O. Ces deux pesanteurs donc ADC, ADB ne différent pas.

» Parquoy AD sera diamètre de gravité, et consequemment le centre de gravité du triangle y sera.

)) Conclusion, Le centre de gravité donc des triangles, est en la ligne menée d*un angle vers le milieu du costé opposite; ce qu'il falloit demonstrer. »

• *< Trouver le centre de gravité d\in triangle donne.

» Le donné. Soit ABC un triangle rectiiigne donné.

)> Le requis. Il faut trouver son centre de gravité.

» Construction. On mènera AD, de l'angle A vers D le milieu de BC, et de mesme CE, vers le milieu de AB : alors F sera le centre de gravité.

)) Démonstration. Car puis que le centre de gravité du ■triangle ABC est par la 2 proposition dans AD, et aussi •dans CE, par la mesme proposition il sera en F.

Conclusion. Nous avons donc trouvé le centre de gravité d'un triangle donné, selon le requis. »

« Le centre de gravité d^un triangle divise la ligne menée d!un angle vers le milieu du costé opposite en telle

raison de CDi à DAi (c'est à dire raison -, de raison -)

3oo DU CENTRE DE GHA VITE

sorte; que la partie de devers Vangle est double de Vautre^

» Le donné. Soit ABC un triangle, et de Tangle B est menée BD, vers le mi-»

£) lieu de AC ; et de mesme CE, de l'angle C vers le milieu de AB, tellement que F sera le centre de gravité.

» Le requis. Il faut demonstrer que CF est double de FE.

» Démonstration, Ostant la raison de EBi à BAa, de la

-, de raison -

restera raison -, c'est à dire que la raison de CF à FE

est de 2 à I : par la converse du 12 chap. du premier livre de YAlmageste de Ptoleniée,

y> Conclusion. Le centre de gravité donc d'un triangle, etc. »

Albert Girard.

ce Celuy qui n'entend pas ceste manière de démonstration doit recourir premièrement au lieu cité de Pto^ lemée^ puis à l'Arithmétique du présent Autheur vers la fin touchant l'addition et soustraction des raisons. Les anciens, comme Archimedes^ Euclides^ Apollone Per^ gée, Eutocius Ascalonite^ Pappus Alexandrin^ etc., ont leurs livres remplis de l'égalité d'une raison à deux autres, excepté que ce qu'en a escrit Euclides es Elemens vulgaires est /issez rare, comme en la 23 propo^» sition du sixiesme livre, et en la 5 proposition du huictiesme livre. Mais il est à estimer qu'il en a plus escrit en ses trois livres des Porismes qui sont perdus, lesquels. Dieu aidant, j'espère de mettre en lumière, les ayant inventez de nouveau, »

SIMON STEViy, ALBERT GIRARD 3oi

Voici le passage de VAlmageste auquel se rapporte cette démonstration. 11 se trouve au chap. XI, et non XII :

(c Si à deux droites AB et AG on en mène deux autres BE et GD qui s'entre-coupent au point Z, je dis que la raison de GA à AE est composée de la raison de GD à ZD, et de celle de ZB à BE.

» Car soit menée parle point E une droite EH parallèle à la droite GD, puisque ces deux droites sont parallèles,

Fig. 2'j.

la raison de GA à EA est la même que celle de GD à EH. Prenant auxiliairement ZD, la raison de GD à EH sera composée de la raison de GD à DZ et de celle de DZ à EH. Ainsi, la raison de GA à AE est composée de celle de GD à DZ et de celle de DZ à EH. Or la raison de DZ à EH est la même que celle de ZB à BE, à cause de EH et ZD, parallèles aussi. Donc la raison de GA à AE est composée de celle de GD à DZ et de celle de ZB à BE. C'est ce que j'avais à démontrer (fig. 23).

)) On démontre de même par décomposition (diérèse) que la raison de GE à EA est composée de celle de GZ à DZ et de celle de DB à BA, en menant une droite parallèlement à BE, et prolongeant GDH jusqu'à cette droite. Car, puisque AH est parallèle à EZ, GZ est à ZH comme GE est à EA. Prenant la droite ZD auxiliaire,

Ji.'jt SLH DES PROPOSITIOyS D'EVCUDE

la raison de GZ à ZH est composée de celle de GZ à ZD, et de celle de DZ à ZH. Mais la raison de DZ à ZH est la même que DB à BA, à cause des droite? HA, ZH menées à travers les parallèles AH, BZ: Donc la raison de GZ à ZH est composée de celle de GZ à ZD, et de celle de DB à BA. Mais la raison de GE à EAestla même que celle de GZ à ZH ; donc la raison de GE à EA est composée de celle de GZ à DZ, et de celle de DB à BA : ce que nous voulions aussi démontrer » (fig. 24)^

(Traduction /feZwûî, i8i3).

Voici d'autre part les énoncés des propositions d'jBwclide auxquelles il est fait allusion :

Lh\ F/, prop. XXIIl, — Les parallélogrammes équiangles ont entr'eux une raison composée des côtés.

Livre VIII ^ prop. V, — Les nombres plans ont entr'eux une raison composée des cotés.

(Traduction Peyrard^ 1819).

En somme le raisonnement d'Albert Girard revient à appliquer le théorème des transversales au triangle AEG coupé par la transversale BD (fig. 22).

III. — Centres de gravité des polygones, d'an croissant de cercle, d'un tronc de parabole, d'un tronc de pyramide, d'un conoîde parabolique, d'an tronc de conoide parabolique. — Un passage de Frédéric Gommandin.

(Simon Stèvix, Albert Girard, p, 459).

Stevin cherche le centre de gravité d'un quadrilatère ABCD : soient E et F les centres de gravité des triangles ABC et ADG, il suffit de déterminer un point N tel que

FN DGB