D*UNE FAULSE POSITION

« Estant proposée question guise solve par une faulse position en nombres arithmeticques^ la solver par une faulse position.

» Explication du donné et requis, — On veult sçavoir quel nombre avec sa moitié fera 18. Construction, On posera quelque nombre ainsi qu'il aviendra, comme s'il fust le vray nombre requis, soit 2 : le mesme avec sa moitié qui est i, faict 3. Or ce n'est pas 3 que nous voulons; mais 18. Donc la position de 2 estoit faulse, parquoy à fin d'avoir le vray requis, on dira 3 viennent de 2, d'où viendront 18? faict pour solution 12.

» Mais à fin que démonstrons aussi la disposition et ordre que nous tiendrons en la reigle des faux de quantité/, qui est en l'opération algebraique, nous donnerons icy semblable construction en ces nombres arithmeticques.

)) Aultre construction en forme algebraique.

Soit le nombre requis nombre arithmélique

quelconque comme 4

Sa moitié 2

Leur somme 6

Egal en valeur à • • • 18

» Or 6 vallent 18, ergo l'unité vault 3 (car disant, 6 vault ou donne 18, combien i ? faict 3). C'est à dire que chascune unité des nombres 4. 2. 6. vault 3. D'où s'ensuit que le 4 vauldra 12 (car disant, i vault 3, combien 4? faict 12). Et pour mesme raison 2 vauldra 6, et le 6 vauldra 18, lesquels 12. 6. 18. on mettera derrière la ligne joignant leurs membres respondans, comme cy

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dessus. Or comme l'on cherchoit icy la valeur de l'unité, par lequel on vient à la cognoissance des nombres requis, ainsi cherchera on tousiours en

l'algèbre la valeur de i ( * ) , par laquelle on viendra

de mesme sorte à la cognoissance des autres nombres requis, et ne différera Talgebraique disposition en rien de ceste cy : car là où nous aurons icy nombres arithmeticques, 4- 2, 6. 18, nous aurons en l'algèbre des quantitez algebraiques, comme le tout sera plus clair en son lieu par les exemples.

» Laquelle leur affinité avions proposé de déclairer. Je di doncquesque 12 est le nombre requis. Démonstra^ tion. 12, avec sa moitié 6, faict 18, selon le requis; ce qu'il falloist démonstrer. Conclusion. Estant donc proposé question qui se solve par une fausse position en nombres arithmétiques, nous Tavons solvée par une fausse position, ce qu'il falloit faire, (i) »

(i) Suit la solution du même problème par deux fausses positions.

III. — L'idée de nombre incommensurable n'est pas absurde Le X^" livre d'Enclide et les douze binomies.

(Simon Stevin, pp. 9, 21 3.)

Simon Stevin,

« C'est chose très vulgaire entre les Autheurs

d'Arith. de Iraicter de nombres, comme y/S et semblables, qu'ils appellent absurds, irrationels, irréguliers, inexplicables, sourds, etc. Ce que nous nions, à quelque nombre avenir. Mais par quelle raison l'adversaire le pourra il prouver? Il me dict premièrement que racine de 8 est à nombre arithméticque (comme 3

ou 4) incommensurable, ergo y/8 est absurde, irrationnelle, etc. Mais la conclusion est absurde, veu que l'incommensurance ne cause pas absurdité des termes incommensurables, ce que s'esprouve par la ligne et superficie qui sont grandeurs incommensurables ; c'est à dire, qu'ils ne reçoivent point de commune mesure, toutesfois ny ligne ny superfice n'est quantité absurde ny inexplicable : car disant que celle la est ligne et ceste cy superficie, nous les expliquons. Et encore que ceste incommensurance procreast (ce que toutesfois ne peut estre, mais posons les cas) absurdité à l'une des quantitez comparées, nous trouverons le nombre arith-

SIMON STEVÎN, ALBERT GIRARD i85

méticque autant coulpable que le radical : car comme la sphère autant que le cube et le cube autant comme la sphère est cause de leur dissimilitude, ainsi.de ces nombres. Mais pour faire encore autre preuve par deux quantités d'un mesme genre de grandeur, prenons. le costé et diagonale d'un quarré, qui sont lignes entre elles (par la dernière proposition du lo. livre d'Euclide) incommensurables, toutesfois ny diagonale, ny costé (abstraict de nombre) n'est ligne absurde ni irrationelle. L'incommensurance doncques des quantitez n'est pas l'absurdité d'icelles, mais c'est plustost leur naturelle mutuelle habitude...

» Mais a fin que parlions aussi de l'utilité de.ceste matière, et que l'on n'estime que ce soit disputé de l'ombre de Tasne, faut sçavoir que ceste absurde opinion de nombres absurds, que ce ne seroyent pas pas nombres, etc., a tellement obscurci la doctrine des incommensurables grandeurs, que la difficulté du dixiesme livre d'Euclide (qui traite de ceste matière) est à plusieurs devenu en horreur, voire jusques à l'appeller la crois des mathématiciens, matière trop dure à digérer, et en laquelle n'apperçoivent aucune utilité. C'est aussi ce ferme fondement qui nous a avancé en la description d'icelles, qui s'ensuyvera en un traicté particulier, là où sont rendu faciles et claires (à mon avis), en 3 problèmes seulement, les difficiles et obscures propositions dudict Dixiesme, qui en contient selon Zambert 1 18. Voire non pas seulement ce qui est contenu audict dixiesme, mais encore un facile infini progrès des choses y commencées, lequel (infini progrès dis-je) semble incompréhensible par tel fondement. Et celuy qui donnera plus de lieu à la raison qu'à vaine opinion, plus de crédit aux défenseurs des parfaictes et divines Mathématiques qu'à ceux qui

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l'accusent d'imparfection et d'absurdité, ne trouvera pas moindre facilité en plusieurs opérations mathématiques qui semblent autrement fort difficiles.

» Nous concluons doncques qu'il n'y a aucuns nombres absurds, irrationels, inexplicables ou sourds ; mais qu'il y a en eux telle excellence et concordance, que nous avons matière de méditer nuict et jour en leur admirable parfection. Et s'il falloit dire d'absurdité, je la concéderois plustost en nostre entendement, lequel ne peut autant comprendre des décrets qui consistent en la nature, qu'il soit digne comparaison à ce qu'il ignore. Finalement ce que nous n'avons satisfaict en ceste matière par les argumens precedens, nous l'accomplirons contre tous adversaires par la 4® thèse de nos thèses mathématiques »

Simon Stevin