AU LECTEUR

« Apres que nous avions veu et reveu le Dixiesme livre d'Euclide, traictant des Incommensurables Grandeurs; aussi leu et releu plusieurs commentateurs sur le mesme, desquels aucuns le jugeoient pour la plus profonde et incompréhensible matière de la Mathématique, les autres que ce sont propositions trop obscures, et la crois des Mathématiciens ; Et qu'outre cela je me persuadois (quelle follie ne faict l'opinion commettre aux hommes ?) d'entendre ceste matière par ses causes, et qu'elle n'a en soy telles difficultez comme Ton estime vulgairement, je me suis addonné d'en descrire ce traicté.

» Mais à fin que nous disions premièrement, d'où

les hommes sont venuz à la cognoissance et exercice de ces Incommensurables Grandeurs, faut sçavoir, que comme beaucoup des théorèmes des nombres se describent souvent par la cognoissance des grandeurs, lesquels théorèmes nous seroyent difficiles, voire aucune fois impossible de trouver par les simples nombres ; ainsi se trouvent au contraire souvent

propositions des grandeurs par le moyen des nombres, lesquelles propositions ne se pourroyent inventer par les seules grandeurs. Par exemple nous sçavons que i est incommensurable à y^a, mais comme i à y^a, ainsi le costé du quarré à sa diagonale, parquoy le costé du quarré est incommensurable à sa diagonale, ce qui nous seroit impossible de sçavoir sans les nombres. Doncques comme il y a des nombres entre eux incommensurables, ainsi il y a des lignes entre elles incommensurables. Mais il y a en la nature douze certaines espèces de nombres incommensurables, qui s'appellent binomies, desquelles Ton extraict douze racines de diverses qualitez : il y a donc aussi dans la nature douze telles espèces de lignes avec semblables racines, de la construction et propriété desquelles Euclide a descript son dixiesme livre. Laquelle raison d'où les hommes sont venuz à la cognoissance et exercice des incommensurables grandeurs, nous avions proposé de déclarer. Mais vefu que tout cest affaire est facile et sans difficulté aux experts en la nature des nombres radicaux (la cognoissance desquels est nécessaire, veu que sans la mesure Ton se tourmente en vain en ceste matière) il reste encore de dire quelle est la cause de l'obscurité dudict dixiesme livre. Il faut doncques sçavoir qi:e les inventeurs des propositions du mesme se proposoyent nombre binomiaux, et par les qualitez qu'ilz trouvoyent en leurs noms ... ils ont descript des

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lignes de semblable qualité. Outre ce, parles opérations

des extractions des racines des nombres binomiaux

ils ont coUigé semblables extractions de racines d'irelles binomies lignes, et par les qualitez des racines de ceux-là, aussi descript semblables qualitez de ceux-cy. Par exemple ils se proposoyent v^6 + 2, qui est binomîe cincquiesme ...., d'où ils voyoient que la ligne longue de y^6 + 2 pieds estoit binomie ligne cincquiesme de s?mblable qualité. Puis extrayant racine dudict binomie nombre .... la trouvoyent de (i)

sibino. V/ ô H h \bino.K/ ^ »

d'où ils cogneurent que la ligne de telle longueur estoit aussi racine de ladicte binomie ligne, et pour les qualitez qu'ils voyoient en icelle racine de binomie nombre (qui sont que le produit de ses parties, comme

/ . /3 I / . /3 I \bino,i/ ^ -\ — par ^bino.K/ ^ est nombre arithmétique, à sçavoir i ; item que la somme des deux quarrez desdictes deux parties est racine de simple

npm à son quarré incommensurable, à sçavoir y^6)

ils concluoyent semj;)lables qualitez en ceste sa respondante racine de binomie ligne. Or cecy leur estant ainsi notoire en toutes les douze espèces de binomies lignes et de leurs racines, ils en ont descript diverses propositions. Mais ils en ont détenu les nombres qui leur avoyent esté guide asseurée pour comprendre parfaictement la propriété d'icelles lignes, sans lesquels nombres ils ne pouvoient rien effectuer, et nous ont ainsi laissé ces lignes imparfaictes : je di imparfaictes, parce que les multinomies nombres sont inséparables

(i) Le résultat donné par Stevin était inexact.

SIMON STEVINy ALBERT GIRARD 189

de multinomies lignes, veu que nulle ligne n'est par soy multinomie, mais en respect de quelque multinomie nombre explicant sa quantité, car une mesme ligne se peut dire en quelque ville de 5 pieds, laquelle sera en une autre peut estre de 4 + V^ pieds. De sorte qu'il leur estoit beaucoup plus facile d'inventer et descrire ces lignes, qu'à autres entendre leurs propositions. De laquelle imparfection s'est ensuivi que l'on n*a sceu opérer en ces lignes selon ce qui estoit le but de leur description, comme couper lignes proportionellement selon la raison donnée, non seulement de laquelle les termes sont nombres arithmétiques, comme veullent les exemples de la 9 proposition du 6 livre d'Euclide, ne point satisfaisans à la proposition, mais de nombres radicaux et multinomies quelconques, et puis claire et parfaicte extraction de toutes racines des multinomies lignes, comme des nombres... »

Stevin continue en disant que les quantités irrationnelles ne sont pas grandeurs inexplicables, et qu'il en existe beaucoup d'autres que les douze binomies. « Mais (me dira quelcun) quelle peut estre l'utilité de ceste matière ? veu que les choses qui sont à mesurer ou partir aux négoces des hommes n'ont point de mestier de ceste extrême perfection, selon la raison des nombres radicaux proposez, par ce que nous trouvons en leur lieu nombres arithmétiques si peu différeris d'iceux radicaux, qu'il ne pourra monter partie visible, voire es maiéures matières corporelles données. Nous luy respondons que l'on pourroit dire pareillement pourquoy les opérations de la Géométrie, comme les élémens d'Euclide, sont faictes par l'extrême perfection? Mais comme cela ne semble pas digne de responce, à cause des absurditez suivantes d« son con-