Problème

Un papier P est placé sur une table horizontale. On. demande à quelle hauteur il, faut placer une bougie [dont la distance horizontale est donnée) pour que l'éclairement soit maximum. Soit I l'intensité de la bougie, S l'aire du papier. La quantité de lumière reçue est :

~ IScosO IS A . lA

Q= = — — — rcosô.snr 6.

Q est maximum pour tgO = V^2.

D'où la condition : h = 0,707. e.

Fig. 224.

Si h est plus petit, l'éclairement diminue à cause de l'obliquité;

si h est plus grand, l'éclairement diminue à cause de la distance. L'éclairement passe de pour = ^:2, à pour = 0.

On peut représenter l'éclairement par le rayon vecteur d'une courbe, en coordonnées polaires.

Le calcul précédent ne convient pas à une bougie réçlle, parce qu'il suppose que l'intensité de la. bougie est la même dans toutes les directions. Comme l'intensité de la bougie est maxima pour la direction horizontale, en réalité, pour Téclairement maximum, la hauteur h doit être plus petite que l'indique la formule (1).

196. Ensemble des définitions. Eclat. Intensité moyenne sphérique.

Nous pouvons maintenant reprendre d'une manière systématique l'ensemble de nos définitions.

i°. — Intensité dans une direction donnée d'une source infiniment petite; éclat dans une direction donnée.

Soit d'abord une source émettant par une surface de très petites dimensions que nous traiterons comme un point.

Dans un cône d'angle solide tho donné, elle envoie un flux ou une quantité d'énergie :

d 4 Q = dI.rfû>;

PH0T0METRIE 283

d\ est l'intensité de la source dans la direction moyenne du cône considéré. Nous employons le symbole <Z 4 Q pour indiquer qu'il faut faire deux intégrations doubles avant d'avoir une quantité finie, ainsi qu'on le verra plus loin.

Explicitons Yaire de la sotrrce qui émet.

Dans le cône dco, supposé décrit à partir de chacun de ses points dans la même direction moyenne, Taire dà envoie le flux :

d i Q=dl.d(.ù = zd<j.d(ù, d\ = zds\

£ est l'éclat de la source pour l'élément considéré dç> dans la direction moyenne du cône infiniment petit considéré.

Portons dans chaque direction un vecteur proportionnel à l'éclat; nous décrivons ainsi une surface qu'on appelle indicatrice d'émission.

2°. — Intensité dans une direction donnée d'une source émettant par une surface finie; éclat moyen dans une direction donnée.

A la condition de placer Vêlement dS qui reçoit le flux, assez loin de la source pour que les droites qui vont de l'élément dS aux divers points de la surface lumineuse, supposée de dimensions finies, puis* sent être considérées comme parallèles, on peut intégrer par rapport à l'aire de la surface qui émet. Nous avons alors :

d*Q=dtùJ m J*dl = dafftda= hhù = zsdto.

I est l'intensité de la source finie dans la direction considérée; £ est l'éclat moyen de la source dans cette direction.

Ce sont ces quantités qui interviennent ordinairement.

Dans l'expression précédente, £ est une quantité éminemment variable. En effet, l'angle sous lequel les éléments rfsde la surface v émettent, a pour limites et t: : 2, les rayons émis traversant toujours le même élément rfS. Dans ces conditions, nous verrons que l'éclat vrai s passe généralement d'un maximum à une valeur nulle.

3°. — Flux total envoyé par une source finie; intensité moyenne sphérique.

D'un point O quelconque pris comme centre à l'intérieur de la surface <r qui émet, traçons une sphère de <£s grand rayon r sur laquelle sera l'élément dS (O'=0, fig. 225).

La quantité de lumière reçue par cet élément est :

d*Q=ldo) = — -

Fig. 225.

La quantité totale reçue par la sphère entière est :

Si la surface qui émet est une sphère identique dans toutes les directions, on a :

Par analogie, quand la surface qui émet le flux total Q n'est pas identique dans toutes les directions, on appelle intensité moyenne

sphérique le quotient : I g = ~-,

Y? éclat moyen sphérique est le quotien s s ==ï s : 7, de l'intensité moyenne sphérique par la surface totale de la source.

Ici la moyenne est prise et par rapport à la surface qui émet, et par rapport aux angles solides.

Quand on définit les quantités I et s pour une source finie, la moyenne n'est prise que par rapport à la surface qui émet.