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Appelons /et f les distances focales principales, n et n' les indices dans les milieux extrêmes, on a (§ 116) :

z il— Cl— al

cp*~f*~n tm

D ou enfin : -= l — I .

Ainsi le rapport des éclats de limage et de l'objet est indépendant du système optique employé et de l'ouverture utile. Il ne dépend que du rapport des indices des milieux extrêmes. En particulier quand les milieux extrêmes sont identiques {l'air dans le cas général) £= t : les éclats sont les mêmes.

2°. — Ce théorème dérive immédiatement du théorème de Lagrange ^§ 116). On a (fig. 231) :

PHOTOMÊTRIE 295

Un cône circulaire de demi-angle au sommet u a pour angle solide :

co = 2^(l — cos u) = tm*i si u est petit.

D'où :

On tire de là

s au, \ l u / \n J

Ce résultat mérite d'être rapproché de ceux des paragraphes précédents. La quantité de lumière totale envoyée par Taire <j sur Taire conjuguée ?\ quantité qui mesure Teclairement de Timage, est proportionnelle à Taire découpée sur le plan principal H de Tespace objet -par le cône émis. Mais quand nous augmentons cette aire, nous augmentons dans le même rapport .(o et w'; nous n'augmentons donc pas la quantité de lumière contenue dans chaque cône élémentaire, ce en quoi consiste l'éclat de l'image; nous augmentons seulement le nombre des cônes qui contiennent de la lumière.

206. Vision directe et à travers un appareil d'optique : la pupille est entièrement couverte par le cône émis par l'élément considéré.

1°. — Regardons successivement avec la même ouverture S de pupille un objet, puis son image à travers un instrument; négligeons les pertes par absorption et réflexion et supposons que le cône émis recouvre entièrement la pupille.

C'est précisément dans cette hypothèse que nous raisonnons au S 202. L'éclairement de la rétine y duquel dépend la sensation lumi-

Il résulte de cette formule et nous savons déjà que, sans appareil, E est indépendant de la distance de Tobjet à Tœil. D'après le paragraphe précédent, z représente aussi bien Téclat de Tobjet que Téclat de son image : E est donc encore le même si nous regardons Timage donnée par un appareil quelconque, dans Thypothèse où la pupille est complètement couverte par les cônes émis par chacun des points de la portion d'image considérée.

2°. — Loupe.

C'est ce qui arrive pour la loupe.

Pour simplifier, supposons l'œil au contact du verre.

Soit/;' la distance à laquelle il s'accommode, p la distance de l'objet au verre, S la surface utile de la pupille.

Sans loupe chaque point de l'objet (qui par hypothèse est alors à la distance p' de l'œil) émet un flux utile dans un cône d'angle solide «'=S :// 2 . Quand on utilise la loupe, l'objet se trouve à une distance p du verre et, par hypothèse, de l'œil; chacun de ses points émet un ilux utile dans un cône d'angle solide w=S :p 2 .

Avec la loupe l'œil reçoit donc un flux {p':pf fois plus grand que sans la loupe; mais les surfaces éclairées de la rétine sans la loupe ou avec la loupe sont dans le même rapport : donc l'éclairement de la rétine n'a pas changé. Ce raisonnement, nécessaire pour convaincre, était inutile en toute rigueur : il suffisait de remarquer que le cône émis par chaque point de l'image est toujours suffisant pour couvrir complètement la pupille, à la condition évidente que l'ouverture de la loupe soit supérieure à celle de la pupille.

Conséquence importante de cette théorie : les lunettes ne peuvent en aucun cas augmenter Vé clairement de la rétine dû aux objets terrestres, au Soleil, à la Lune, aux planètes, c'est-à-dire à tous les corps dont les dimensions sont finies; en effet, ce qui peut arriver de mieux est que la pupille soit complètement^ recouverte par les cônes émis par chacun des points des images, et nous venons de voir que dans ce cas l'éclat apparent est le même que sans instrument.

Tant s'en faut d'ailleurs que cette circonstance, la plus favorable, soit toujours réalisée.

207. Vision avec un appareil d'optique : la pupille n'est pas entièrement recouverte par le cône émis par l'élément considéré.

Généralement, un objet lumineux par lui-même ou diffusant émet de la lumière dans un angle solide notable ; il n'en est pas de même pour les images. Le plus souvent l'éclat de celles-ci décroit très rapidement à partir d'une direction optima. Il arrive donc que le cône émis par l'élément d'image considéré ait un angle solide trop petit pour recouvrir la pupille.

D'où résulte que l'éclairement produit sur la rétine par l'image est plus petit que sans instrument : la pupille n'étant pas entièrement couverte par les cônes lumineux qui subsistent, tout se passe comme si elle était diaphragmer II en est généralement ainsi pour le microscope et la lunette astronomique. Ces instruments fournissent sur la rétine une image de l'objet considérablement grossie, mais beaucoup moins lumineuse que ne le serait l'image sur la rétine de l'objet vu directement (Voir mon Cours sur la Construction...).

On est donc conduite augmenter par un éclairage spécial l'éclat de l'objet regardé au microscope. Ne pouvant augmenter l'éclat des astres, on augmente l'ouverture de l'objectif des lunettes ,: d'après

PHOTOMETRIE

ce que nous avons montré, on n'augmente pas ainsi l'éclat de l'image pour les cônes déjà pleins de lumière quand l'objectif a une ouverture moindre; mais on augmente le nombre de cônes pleins de lumière, par conséquent l'angle solide dans lequel l'image envoie de la lumière. Chacun des points de celle-ci émet un cône qui recouvre une portion plus grande de pupille, à mesure que l'ouverture de l'objectif croît.

On appelle anneau oculaire l'image du trou circulaire couvert par l'objectif à travers l'appareil tout entier (§ 111). Considérons cette surface comme pupille d'entrée, l'anneau oculaire est par définition la pupille de sortie. Quand il est réel, c'est évidemment là qu'il faut placer l'œil, pour recevoir le mieux possible les rayons émergents.

Nous négligeons dans ce qui précède les pertes de lumière par réflexion sur les surfaces et par absorption dans les milieux.

Elles sont fort loin d'être insignifiantes. Elles peuvent atteindre 20 p. 100 dans un objectif photographique double.