Distorsion du champ

i°. — Supposons l'appareil stigmatique et aplanétique pour un plan P normal à l'axe de révolution, c'est-à-dire pour un plan frontal P. Nous n'avons pas encore complètement défini la correspondance du point A objet et du point A' image.

Par raison de symétrie, au point A (0, p) du plan P correspond un point A' (0, p*) du plan P' ; la coordonnée azimutale est la même. Mais il existe une relation quelconque : ç'=f(z) y entre les rayons vecteurs.

Développons la fonction f en série ; limitons le développement aux deux premiers termes :

Si b 2 est nul, l'appareil est stigmatique, aplanétique (c'est-à-dire sans courbure) et sans distorsion pour le plan frontal P (fig. 125, I).

Si b* n'est pas nul, il y a distorsion du champ.

Une ligne droite AB servant d'objet, située dans le plan frontal P et ne passant pas par l'origine, n'a pour image une ligne droite que si 6* = 0. Sinon elle est transformée en une courbe C présentant vers Taxe de révolution :

sa convexité pour le signe '+ dans la formule (1), sa concavité pour le signe — : ce que nous allons démontrer.

2°. — Distorsion en coussinet, distorsion EN BARILLET.

Pour construire la courbe C, traçons des cercles p'= Constante correspondant à des valeurs de p croissant en progression arithmétique. A mesure que p croît, deux cercles consécutifs seront de plus, en plus distants pour le signe +, de moins en moins distants pour le signe — .

Dans le plan objet (et à une échelle différente dans le plan image quand b* = 0) nous obtenons la figure I.

Traçons dans les plans objet et image des droites OA\ OM, 06, faisant avec la droite de référence les mêmes angles 6. Les points conjugués se trouvent à l'intersection des cercles de même cote (p ou. p') et des droites de même azimut 0. La droite AB, ou la droite K'ab de la figure I qui sert également comme plan objet, se transforme donc en une courbe A'B' tournant sa convexité ou sa concavité vers Taxe de révolution du système.

La distorsion de la figure II est dite en coussinet; la distorsion de la figure III est dite en barillets

On cherche à réaliser le mieux possible des instruments centrés stigmatiques, aplanétiques et sans distorsion pour un certain plan frontal P.

On leur demande encore de posséder un champ et une ouverture suffisants.

pi.a'p*&'p 2

Fig. 125.

On entend par là qu'ils doivent utiliser :

CORRESPONDANCE HOMÇGRAPHIQUE 131

des rayons faisant avec Taxe de révolution des angles u assez grands : l'angle u mesure V inclinaison du rayon ; ^ des rayons traversant l'appareil à des distances assez grandes de Taxe de révolution; ces distances mesurent V ouverture.

Lorsque l'angle u est petit, les rayons sont dits par axiaux.

Lorsque l'ouverture est petite, les rayons sont dits centraux.

• 90. Première approximation de Gauss.

Du point de, vue purement géométrique, cherchons les propriétés d'une correspondance point par poiôt établie entre deux espaces (espace objet, espace image) de manière qu'une droite soit transformée en une droite, par suite un plan en un plan. Bornons-nous à deux espaces de révolution autour de la même droite. Ils ne sont distincts que par convention; en réalité, ils occupent chacun tout l'espace.

Les espaces étant de révolution (système centré), à un plan de front P de l'un correspond un plan de front P' de l'autre.

Le mode de correspondance dont nous considérons ici un cas particulier, est étudié sous le nom à 1 Homographie du § 356 au § 367 de mon Cours de Mathématiques générales. Aussi laisserai-je le mode d'exposition analytique et me bornerai-je aux constructions géométriques.

Les points, droites ou plans, qui se correspondent sont dits conjugués. Un plan peut être à lui-même son conjugué, sans que chaque point du plan soit à lui-même son conjugué. En particulier, un plan passant par l'axe (plan méridien) est son propre conjugué ; mais à un point de ce plan considéré dans l'espace objet, correspond généralement un autre point du même plan considéré dans* l'espace image

Même remarque pour une droite.