Correspondance d'une série de milieuk successifs
i°. — Rapportons les deux espaces à des axes de coordonnées trirectangles parallèles. Prenons pour axe Ox, OV, commun Taxe de révolution, et pour origines O et O' deux points conjugués.
Pour la correspondance générale ci-dessus définie, nous venons de trouver entre les coordonnées x, y, z ; x\ y', z' de deux points conjugués quelconques, les relations :
bz
ax + cï 1
y ax + d'
ax-\-d'
Enfin le grossissement g défini au § 93 n'est pas autre chose que le rapport :
Le lecteur vérifiera immédiatement qu'il est proportionnel au rapport x' : x.
Fig. 131. '
Les formules (1) résolues par rapport à#,y, z, conservent la même forme : c'est l'expression analytique du principe du retour des rayons.
Les relations (1) sont ce que deviennent pour un système de révolution les relations générales caractéristiques de l'homographie dans l'espace : f
Ax + By + Cz+D ' , A*x + B â y + C 2 z + D 2
y Ax + By + Cz + D '
140 OFTiqVE GÉOMÉTRIQUE ÉLÉMENTAIRE
> A 3 x + B 8t y + C 3 5 + Dj Az+By + Cz + D '
Sur ces expressions on Térifie qu'à un plan correspond un plan, que par sufte à une droite correspond une droite.
Résolues par rapport à x, y, z, elles conservent la même forme.
2°. — Démontrons le théorème fondamental : Si les points A et A' d'une part. A' et A" de l'autre, sont reliés homo graphiquement, les points A et A" sont reliés homographiquement.
Pour simplifier l'écriture, bornons-nous aux systèmes de révolution qui seuls interviennent en Optique.
Dire que A et A' sont reliés homographiquement, revient à écrire :
ax + d'* * ojc^rd'* ax-\-d'
Dire que A" et A' sont reliés homographiquement, revient à écrire :
, A r r" ,, By" , Bz"
x ~Ajf + D' y ~Ax" + D J Z ~Ax"-\-D s
On a donc :
ax + d A.*;" + D' qui peut se mettre sous la forme :
D'autre part, on a :
HJ+rf = ÂZ+D' c'est-à-dire: ty = g* By",
relation de même forme que celle dont nous sommes partis.
De même pour z et z"\ ce qui démontre le théorème.
De ce théorème résulte que nous pouvons placer les uns après les autres sur le même axe de révolution autant d'appareils centrés que nous voulons. Si séparément ils conjuguent les points homographiquement, l'appareil résultant jouit de la même propriété : conséquemment il est défini par ses plans principaux et par ses foyers.
