J3. PHÉNOMÈNES CAUSÉS PAR LA DISPERSION

On voit immédiatement sur la figure que si la rétine est en avant du plan ce, c'est-à-dire si l'œil est accommodé pour des objets plus éloignés que il, elle reçoit, sur le bord du cône, de la lumière rouge seulement, mais que, dans l'axe, elle reçoit de la lumière mélangée. Si la

Fia. 61.

rétine est dans le plan ce, l'œil est accommodé pour de la lumière de réfrangibilité moyenne, provenant de A, et la rétine reçoit partout de la lumière homogène. Enfin si la rétine est située en arrière du plan ce, si, par conséquent, l'œil est accommodé pour des objets plus rapprochés que A , la rétine ne reçoit, sur le bord du cône, que de la lumière violette, et, au milieu, de la lumière mélangée.

Si l'œil est accommodé pour A, la rétine étant, par suite, dans le plan ce, et qu'on vienne à boucher jusqu'en / la partie inférieure de l'ouverture bi 6, par laquelle pénètre le cône lumineux, les rayons violets compris entre btv et fv et leurs prolongements entre vw^ et vr sont arrêtés ; il en est de même des rayons rouges compris entre btr et fr. Dans le plan ce, la lumière violette disparaît donc au-dessus de l'axe, et la lumière rouge au-dessous de l'axe, et il se forme sur la rétine, au lieu de l'image du point A, un petit cercle de diffusion, rouge en haut et violet en bas.

S'il se trouve en A, au lieu d'un point lumineux unique, une surface dont tous les points émettent égalemen de la lumière rouge et de la lumière violette, la rétine reçoit en même temps une image rouge et une image violette de la surface, et l'une au moins de ces images est nécessairement une image de diffusion. Ainsi que nous l'avons dit plus haut (§11), les images de diffusion des surfaces ont en leur milieu, que n'atteignent pas les images de diffusion des bords, la même intensité qu'une image vue distinctement. Leurs bords, au contraire, sont vagues et se confondent avec les images des objets voisins, aussi loin que s'étendent les images de diffusion de ces bords. Si donc une image rouge et une image violette d'une même surface se recouvrent; on doit voir la couleur mixte au milieu, aussi loin que les deux images possèdent la clarté normale ; mais sur les bords on ne doit voir que la couleur dont les cercles de diffusion sont les plus grands, celle pour laquelle les bords de la surface s'étendent le plus loin sur les objets voisins.

Si l'image de la surface est reçue sur le plan ce, où les cercles de diffusion rouges et violets ont la même grandeur, les couleurs sont uniformément mélangées jusqu'au bord. Mais, ainsi que nous l'avons vu au § 11, les images de diffusion subissent un déplacement apparent quand on avance un écran au-devant de la pupille, et ces mouvements affectent des directions opposées si, comme cela a lieu pour le rouge et le violet de notre exemple, les images sont produites l'une par une accommodation trop rapprochée, l'autre par une accommodation trop éloignée. C'est pourquoi la coïncidence des images colorées cesse et les bords colorés se manifestent.

Relativement à la lumière rôuge, notre surface se comporte comme un objet qui serait trop rapproché de l'œil ; son mouvement apparent se fait donc à la rencontre de l'écran qu'on avance au-devant de la pupille. Pour la lumière violette, c'est le contraire qui a lieu. Si l'on couvre donc, par exemple, la pupille en montant, la surface rouge paraît descendre, la surface violette paraît monter, et l'on aperçoit en bas un bord rouge et en haut un bord violet. Si l'on examine une ligne rouge-violette à travers une fente étroite à laquelle on donne un mouvement de va-et-vient au-devant de la pupille, on réussit facilement à apercevoir l'image rouge complètement séparée de l'image violette.

Si le point lumineux A (fig. 61) ne donne pas uniquement de la lumière rouge et violette, mais bien de la lumière blanche, les autres couleurs s'interposent entre le rouge et le violet, et les effets de la dispersion sont moins frappants qu'avec deux couleurs seulement. Dans les conditions où nous apercevions tout à l'heure un champ pourpre bordé de violet, nous voyons maintenant le champ blanc bordé de bleu lavé de blanc, d'indigo et de violet, et comme les tons blanchâtres du bord intérieur de ce liséré ne se distinguent pas sensiblement du blanc du milieu, le liséré coloré paraît, en somme, plus étroit. Quand, avec deux couleurs, nous avions un champ pourpre bordé de rouge, nous aurons maintenant autour du champ blanc, du jaune blanchâtre, de l'orangé, du rouge, et, ici encore, le jaune blanchâtre ne se distingue presque pas du fond blanc central.

La dispersion de la lumière blanche mérite d'être examinée en particulier dans le cas où la rétine se trouve dans le plan ce, où le faisceat lumineux présente son plus petit diamètre. Le rouge et le violet formen dans ce plan des cercles de diffusion d'égale grandeur. Les autres couleurs ont des cercles de diffusion plus petits, et le vert moyen se réuni en totalité sur l'axe. Les bords du cercle de diffusion sur la rétine de vraient donc paraître de la couleur d'un mélange de rouge et de violet c'est-à-dire couleur de pourpre et le centre devrait être verdâtre. Cepen

§ 13. GRANDEUR DES CERCLES DE DIFFUSION CHROMATIQUES. (131) 179 dant on ne voit rien de semblable. En elïet, dans cette position de la rétine, les couleurs les plus intenses, le jaune et le vert, se trouvent réunies presque exactement en un point de sa surface, et le bord pourpre est trop étroit et relativement trop peu lumineux pour être perçu.

Du reste, on peut observer tous les phénomènes que nous avons décrits, analogues à ce qu'ils sont dans l'œil, mais exagérés de manière à devenir plus saisissants, en regardant dans une lunette non achromatisme, à laquelle on fait subir un grossissement plus fort que celui qui est compatible avec la netteté de l'image. Dans une semblable lunette on ne reçoit pas l'image formée par l'objectif sur un écran qui remplacerait la rétine, mais on l'examine à travers un oculaire grossissant. Ce grossissement de l'image formée par l'objectif est nécessaire pour la réussite de l'expérience, parce que les lisérés colorés sont généralement trop étroits pour être vus distinctement. Ici encore, on voit les surfaces blanches se border de rouge et de jaune, lorsque la lunette est disposée pour plus loin que l'objet examiné, et se border de bleu, si la lunette est disposée pour trop près. Avec la mise au point qui donne les images les plus nettes, on voit des bords pourprés très-étroits. Si l'on masque une moitié de l'objectif, on voit, sur les bords opposés, les surfaces blanches se border de bleu et de jaune, et ainsi du reste, comme dans l'œil.

Pour calculer la grandeur des cercles de diffusion produits dans l'œil par la dispersion, nous pouvons prendre pour base l'œil réduit de Listing, et l'eau comme liquide réfringent, puisque, d'après les mensurations de Fraunhofer, le pouvoir dispersif d'un pareil œil s'écarte peu de celui de l'œil humain. On a (fig. 61, p. 77) :

yy 8r $V

donc yy . fr = bi 63 . Sr

et yy . fv = 6j i>a . èv ;

ajoutant membre à membre, yy (fr fv) = 6, 62 (<Sr -f- $v)

== 6,5, (fr — fv) ;

fr — fv

donc enûn yy = bt b,

fr + A>

Si nous posons 6, = Umm, ce qui est le diamètre moyen de la pupille d'yeux normaux ; si nous posons de plus, conformément à ce que nous avons trouvé page 17û

fr •= 20mm,674 et fv = 20mnJ,140

H vient yy = 0°»m,0426

D'après le tableau donné § U, p. 137, pour la grandeur des cercles de diffusai d'objets auxquels l'œil n'est pas accommodé, le diamètre yy des cercles de diffuj sion produits par la dispersion serait aussi grand que celui que donne, dans un œil accommodé pour une distance infinie, un point lumineux placé à lm,5 (U 3/, pieds) de distance. Une telle aberration de l'accommodation suffit, lorsqu'on regarde dos objets délicats, pour causer une confusion très-sensible de l'image, ainsi qu'on peut facilement s'en assurer en faisant l'expérience. Pour expliquer comment, s grandeur égale des cercles de diffusion, la dispersion de la lumière blanche dans l'œil ne produit pas de confusion sensible dans l'image, il faut ne pas avoir égarj exclusivement à la grandeur des cercles de diffusion, mais tenir compte également de la distribution de la lumière sur leur surface.

Lorsqu'un cône de rayons provenant d'un point lumineux monochromatiqui pénètre dans l'œil, et que la rétine se trouve en avant ou en arrière du point di concours des rayons, il se forme un cercle de diffusion qui possède la mênl intensité dans tous ses points.

Si au contraire, l'œil reçoit un cône de lumière blanche, et que la rétine s trouve au point de concours des rayons verts-jaunes, qui sont les plus intense! ces rayons se réunissent en un seul point de sa surface, tandis que les autrj rayons" forment des cercles de diffusion d'autant plus grands que leur réfrang bilité diffère plus de celle des rayons moyens.

Ainsi tandis que le centre du cercle éclairé reçoit en même temps des rayon de toute sorte, et, en particulier, les rayons les plus intenses qui sont en mên: temps les plus concentrés, les points voisins du bord du cercle, ne reçoivent qi les rayons extrêmes du spectre, qui possèdent par eux-mêmes une intensl moindre que les rayons moyens, et qui s'affaiblissent davantage encore en d.s| minant leur lumière dans des cercles de diffusion d'un diamètre plus consufl rable. Le calcul démontre que, dans ces conditions, l'intensité au centrée cercle de diffusion doit être infinie par rapport à celle de tout autre point de ,

cercle. , ,

Comme nous ne possédons pas encore d'expression mathématique pour la 1 des intensités des couleurs spectrales, nous ferons le calcul en attribuant la mej intensité à toutes les couleurs du spectre. En opérant ainsi, nous trouvera certainement pour les bords des cercles de diffusion une intensité superieu à celle qu'ils possèdent réellement ; mais, malgré la condition défavorable ou no nous mettons en donnant a tous les rayons la même intensité, nous trouvera encore que les cercles de diffusion produits par la dispersion entraînent u perte de netteté de l'image bien moins considérable que ne font des cercles diffusion de même diamètre, produits par une accommodation inexacte.

Calcul de l'intensité dans le cercle de diffusion chromatique ahin pot

lumineux unique. .. c

Soit (fig. 62) bb le plan principal de l'œil réduit ; soit R le rayon de cet oeil, bu posons, comme c'est à peu près le cas dans l'œil, que le diaphragme qui lnn.le faisceau lumineux se trouve dans ce plan, de sorte, que bb est un diamètre! diaphragme dont nous désignerons, dans le calcul, le rayon par b. Faisons arrjj

g |3< TROUBLES CAUSÉS PAR LA DISPERSION. 181

à l'œil des rayons parallèles. Soient, de plus, v le foyer des rayons violets extrêmes, w celui des rayons rouges extrêmes. Ces #p rayons extrêmes se coupent en g, de sorte que gg est le diamètre du cercle de diffusion et h son centre. La rétine doit se t trouver dans le plan gg pour recevoir l'image la plus distincte. Désignons par N l'indice de réfraction relatif aux rayons l moyens qui se réunissent en //, et par F leur distance focale ah. Nous avons alors, d'après l'équation 3a) du § 9 (p. 62),

NR )

Soit n l'indice de réfraction de rayons quelconques qui ont leur foyer en x, et soit f la distance focale ax relative à ces rayons ; cette distance a pour expression

Fio. 62.

)ésignons par p le rayon hy du cercle de diffusion que produisent ces rayons. Sa valeur est donnée par l'équation

si /"> F, et, par suite, n < Ar, ou par l'équation

si f<^ et, par suite, n > iV. Introduisant dans ces deux équations les valeurs de F et de f déduites de la) et de lb), il vient, pour n < N,

et pour n > A',

L'intensité // avec laquelle la couleur, dont l'indice de réfraction est n, éclaire la rétine, est

si nous désignons par A l'intensité avec laquelle la lumière dont il s'agit éclaire la surface bb. Remplaçons dans 3) b : P par sa valeur déduite soit de 2a), soit de 2b), nous obtenons, dans les deux cas

L'intensité J d'un point quelconque du cercle de diffusion est

J =J"Hàn j '4),

l'intégrale s'étendant à toutes les valeurs de n appartenant à des couleurs qu| atteignent ce point.

' Dans l'expression de H le facteur A est, en réalité, une fonction de n. mais nous n'en connaissons pas l'expression mathématique. Le fadeur n3 varie trèspeu d'une extrémité du spectre à l'autre. Nous pouvons donc poser

et considérer le terme B comme constant, c'est-à-dire admettre que l'intensité des couleurs spectrales soit à peu près constante dans toute l'étendue du spectre et ne diminue que légèrement en allant de l'extrémité rouge à l'extrémité violette. Relativement à ce que nous voulons prouver, cette hypothèse est certainemen plus défavorable que la réalité. Il en résulte, d'après h),

1 = fBAn } 4a)

l'intégrale étant prise entre des limites convenables. Mais en chaque point di cercle de diffusion viennent des rayons de l'extrémité rouge et des rayons de l'ei trômité violette du spectre. Soient nt et na les limites de réfrangibilité des pre miers, n3 et nÀ celles des seconds, on a

et l'équation &a) devient

N — n4 iV — n3 ,

Soit, maintenant, Po la distance du centre du cercle de diffusion au point doi nous voulons déterminer l'intensité; ce point est atteint par toutes les couleu dont les cercles de diffusion ont un rayon plus grand que Po, et par conséquei compris entre Po et r. Pour les couleurs les moins réfrangibles, si nous voulon

de l'équation 2a) déduire les valeurs de et de — — , nous avons

d'où N{N — n) ~~ N {N — 1 ) ' P

ou N~n N " N(N— I) p

g 13< TROUBLES CAUSÉS PAU LA DISPERSION.

Pour n = n1 on a p = r, pour n = n3 on a P = Po, donc

JV — n, ~ ~W N (N — \ ) ' ~r 1 1 \ b

De même, pour les couleurs les plus réfrangibles, pour tirer rrr-

Hfi l'équation 2b), nous avons

N — n3 /V — nt

Pour n = n3 on a p = p0, et pour n = «4 onap = r, donc

N — n, 5=8 "ÏV ~~ A' (iV — 1) " T

Substituant dans kb) les valeurs déduites de ic) et de Zjd), nous obtenons enfin

Cette valeur de J est infiniment grande au cenlre du cercle de diffusion, pour p = 0, et au bord, pour p = î\ elle s'annule.

Calcul de l'intensité au bord d'une surface uniformément éclairée. Soit AB (fig. 63) la limite de la surface lumineuse, et admettons que chacun des poinls de cette surface, située à gauche de AB , donne un cercle de diffusion. Soient, de plus, p le point dont nous voulons déterminer l'intensité apparente, zlpq — r le rayon des cercles de diffusion. Le point p reçoit de la lumière de tous les points de la surface situés à l'intérieur du cercle tracé de p comme centre avec r pour rayon. Soit s un de ces points ; désignons par p la longueur sp, par w l'angle spq et par J l'intensité d'un élément du cercle de diffusion d'un point, situé à la dislance p du centre; l'intensité H au point p est

Fig. 63

H == JJ^ JP dw dp j .

cette intégrale s'étendant à tous les poinls do la surface situés à l'intérieur de la circonférence tracée dep comme centre.

i8U (135) PREMIÈRE PARTIE. - DIOPTRIQUE DE L'ŒIL. S 13.

Si le bord de la surface est une ligne droite, et que la distance du point s à ce bord soit égale à x, on a, pour les points de la surface situés sur le bord,

p cos o> = ce ;

intégrant d'abord l'expression de H par rapport à «, et déduisant de la dernière équation la valeur des limites de g>, il vient

H = j* ÎJ p arc cos dp j 6 a).

Lorsque les cercles de diffusion proviennent d'une accommodation inexacte, nous pouvons considérer J comme indépendant de p, et nous avons alors

H = J £ r2 arc cos Çj—^ — x — x% J j •

équation qui donne l'intensité au voisinage du bord de la surface, en fonction d( la distance du bord au point considéré. Pour x = r, on a H— 0 ; pour x — — r, on a /7=«/r2ir et sa valeur devient égale à l'intensité constante de la surface.

Lorsque les cercles de diffusion proviennent de la dispersion, nous pouvonj transporter, dans l'équation 6a), la valeur de J donnée par l'équation 5), et noui obtenons, en exécutant l'intégration

H r arc cos ( - M — ^r ~ x + x M , . — =, I

N{N— OL \rj r \r + fr2 — x1/ J )

Pour x — r on a H = 0, et pour x = — r on a

valeur se confondant ici avec l'intensité constante de la partie centrale de 1 surface.

Pour permettre de mieux saisir là marche de ces fonctions, j'ai construit (fig. 6/i les deux courbes qu'elles représentent. La courbe A est relative à l'équation 7), 1 courbe B, à l'équation 8). Dans les deux, les valeurs de x sont représentées par le abscisses, celles de H par les ordonnées. L'ordonnée ab correspond à l'intensit du milieu de la surface ; c désigne la position du bord, de sorte que la ligne aû représenterait l'intensité d'une image complètement nette. Les points b et g indi quent les limites du cercle de diffusion de c. La courbe B diffère de A en ce qu'ell est exactement verticale en son milieu /, qui correspond à la position du bor véritable. En effet, pour x= 0, la dérivée

àb iY (iV — 1)L»' \r + k-V — x VJj

est infinie. Cette décroissance subite de l'intensité, au bord de la surface, rend c