ETUDE GÉOMÉTRIQUE GÉNÉRALE DES ROTATIOINS

Systèmes de coordonnées. — Qu'on se figure une sphère terrestre ordinaire, mobile autour d'un axe dont les extrémités se trouvent sur un cercle de cuivre; ce cercle méridien peut se déplacer à son tour dans les entailles du support de bois; le pied, placé sur une table horizontale, peut tourner lui-même autour d'un axe vertical : ces divers mouvements suffisent pour pouvoir amener le globe dans une position déterminée quelconque. Cette sphère représentera le globe oculaire, et la ligne des pôles correspondra à la ligne de regard.

Plaçons d'abord la ligne des pôles verticalement, et amenons le premier méridien, celui de l'île de Fer, dans le plan de l'anneau de cuivre. Prenons les x vcnicaiement (parallèlement à la position initiale de la ligne de regard) ; prenons pour plan des xy celui du premier méridien et du cercle de cuivre : on voit que l'axe des y est horizontal et compris dans ce plan, et que celui des z, également horizontal, lui est perpendiculaire. Plaçons au centre de la sphère l'origine commune de ces axes. Gomme nous sommes maîtres de placer arbitrairement dans l'œil les axes des x et des y, nous admettrons que, dans sa position initiale, la ligne atrope soit située dans le plan des xy. Il en résultera une simplification trèsnotable dans les calculs, sans nuire à leur généralité. Ainsi, dans le globe qui nous représente l'œil, la ligne atrope se trouverait quelque part dans le méridien de l'île de Fer,

Il nous faut concevoir quatre systèmes de coordonnées rectangulaires qui coïncident tous, dans la position initiale de la splière. Le premier, xyz, sera absolument immobile dans l'espace. Le second, x^y^z^, mobile avec le support, sera invariablement lié à ce support. Le troisième, x^y^z^ sera invariablement lié au

§ 27. ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE GÉNÉRALE DES ROTATIONS. (488) G31 cercle méridien de cuivre. Le quatrième enfin, 5'^^, sera invariablement lié à la sphère.

Quand on fait tourner le pied sur la table, le système des x^y^^z^ se déplace par rapport à celui des xyz ; mais comme cette rotation se fait autour de l'axe des X, l'axe des x^ continue à coïncider avec celui des x, et le plan des y^z^ avec celui des yz. Donc, après la rotation, la distance x.^ d'im point quelconque au plan des y^z^ est égale à la distance x de ce point au plan des yz. Dans la figure 162, le plan du papier est celui des plans des

et des y^z^. Soient OA l'axe des y et OH l'axe des OD celui des ?/^, et OE celui des ; soit C la projection du point dont on cherche les coordonnées. Du point C, abaissons les perpendiculaires CA, CB, CD, CE, respectivement sur les quatre axes

de coordonnées; abaissons, de plus, du point E, sur OA et sur OB, les perpendiculaires EG et EH, qui se coupent en K; nous avons

FiG. 462.

OA = CB = y

on ^ AC =^ z

OD = CE y, OE ^ CD == z,

Nommons 0 l'angle E OH dont le système des x^y^z^ a tourné par rapporta celui des xyz, nous avons

y = OA T=^ OG + GA := OG -f- KC

Or, comme nous avons l'angle

on a

donc

De même, nous avons donc

GEO = ECK = EOÏÏ 9, OG OE sin {GEO) ^ z^ûnÇ^ KG — CE cos {ECK) ^ y^ cos 0,

y = COS 0 -j~ :rj sin 0.

z on

OE cos {EOU) = z. cos 0

KE = EC sin {ECK) r= y^ sin 0,

z = z, cos 0

sin 0.

Nous avons donc après la rotation, pour les valeurs des coordonnées xyz du point donné par les coordonnées x^y^z^.

y — y^ cos 0 + ( sin 0 5 = — î/i sin 0 -f- ^1 cos

Faisons tourner, de plus, dans les entailles du support, le cercle méridien de cuivre ; nous déplaçons alors le système des x.,y^z., par rapport à celui des x^y^z^.

632 {â89) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27. mais sans que le plan des œç,y^ cesse de coïncider avec celui des x^y^, et, par suite, l'axe des ^2 avec celui des z^. Soit a l'angle delà rotation effectuée ; on trouve, en procédant comme tout à l'heure, que les coordonnées x^y^z,^, exprimé s dans le système xjj,,z^,, donnent

— cos a — sin a \ jy^ == a;^ sin a -j- î/o cos a > la).

Enfin, faisons tourner le globe autour de son axe polaire; le système des ^^J^ se déplace alors par rapport à celui des x^y^j.^^ sans que les axes ^ et x,, cessent de coïncider. Désignant par w l'angle de la rotation effectuée, il vient, pour les valeurs des a?2?/ 2^2-,

u cos w -]- sin w ^ 1b).

— u sin w + ^ cos o) )

Transportant maintenant dans les équations 1) les valeurs de x^y^z^ de la), il vient

X = a;., cos a — sin «

y — sin a cos 6 -{- y., cos « cos 0 + sin Ô

5 ~ — x^ sin oc sin 0 — cos oc sin 0 -|" ^2 ^^

Enfin, dans ces équations, remplaçons x^y^^z^ par leurs valeurs prises dans les équations Ib), il vient

£c =: Ç COS a — U COS w sin a — C sin w sin a y = ^ sin a cos 0 + u (cos a cos 0 cos w — sin 0 sin w) -j- ^ (cos oc cos 0 sin w + sin 0 cos co) s r=: — J sin ot sin 0 — v (cos a sin 0 cos w -f" <^os 0 sin w) — C (cos a sin 0 sin w — cos 0 cos w)

Ces équations donnent les coordonnées dans l'espace, xyz, de tout point donné par ses coordonnées J u ^ sur ou dans la sphère.

Equations de la ligne de regard. — Cette ligne, qui est l'axe polaire de notre sphère, étant l'axe des ^, on a pour tous ses points u — ^=0. Il en résulte, pour un point de cette ligne situé à une distance ^ du centre de rotation,

X = ^ cos oc y — J sin oc cos 0 = — 5 sin oc sin 0.

L'angle de l'axe polaire avec sa position initiale est donc a, sa projection sur le plan horizontal est ^ sin oc, et cette projection fait un angle 0 avec le plan des xy. Mais cette projection est l'intersection, avec le plan horizontal, d'un plan mené par l'axe vertical des x et par l'axe polaire Ç. Nous reportant à l'œil,