ROTATIONS D'APRÈS LA LOI DE LISTING

a est l'angle que forment entre elles la première et la seconde position de la ligne de regard, et

9 est l'angle que forme avec le plan des xy un plan mené par la première et la seconde position de la ligne de regard.

Ces deux angles définissent la position de la ligne de regard.

Condition imposée 'po.r la loi de Listing, — Pour saisir la signification de l'angle w relativement a l'œil, demandons-nous comment cet angle doit être choisi pour que le mouvement s'eff'ectue conformément à la loi de Listing, la position initiale où les systèmes xyz et coïncidaient éiant prise comme position primaire. Il faudrait alors, pour satisfaire à la loi en question, que la nouvelle position fût la même que celle qui résulterait d'une rotation autour de la ligne d'intersection des plans des ^"C, et des yz. Gomme les points de cet axe de rotation restent immobiles par rapport aux JuC, comme par rapport aux xyz, ils sont soumis aux conditions

Ces trois conditions nous permettent de trouver, dans tous les cas, la position de l'axe de rotation. De plus, la loi de Listing exige que l'axe de rotation soit compris dans le plan des xxC,, c'est-à-dire qu'on ait ? = 0 pour tous ses points. Substituant ces valeurs dans les équations le), il vient

0 — u cos o) sin oc — C sin w sin a

u rrr u (cos a cos 0 COS w — sin 9 sin w) -j- ^ (cos a cos ô sin w -f- sin 9 cos w) ^ — — u (cos a sin 9 cos o) + cos 9 sin w) — ^ (cos « sin ô sin w — cos 6 cos w).

De la première de ces équations, il résulte

u cos w -f- C sin co = 0,

relation qui est satisfaite en posant

u = /i sin to , = — A cos to ,

la valeur de h restant indéterminée. Alors les deux autres équations se réduisent aux conditions

sin o) = — sin 9 — cos w = — cos 9,

qui sont satisfaites en posant

Telle est donc la condition pour que les rotations relatives aux équations le) soient conformes à la loi de Listing. Alors les valeurs x^ y et z deviennent

= § cos a — u cos 9 sin a -|- sin 9 sin a \

y = ^ s'm a cos 9 4" « (cos a cos- 9 -|- sin'^ 0) i

+ C (1 — (-OS a) sin 9 cos 9 > 2b).

z = — ^ sin u. sin 9 — v (cos a — 1 ) sin 6 cos 9 \

+ C (cos a sin^ 9 -f cos^ 9) ]

63Zi (491) TROISIÈME PARTIE. - DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27.

Il faut remarquer d'ailleurs que, même indépendamment de la loi de Listing, la somme w + ô doit être infiniment petite pour des valeurs très-petites de «, si des déplacements infiniment petits de la ligne de regard ne donnent pas des déplacements finis de l'œil.

Passons maintenant d'une position secondaire à une antre. — Dans les équations 2b), X étant la distance d'un point au plan des yz, la distance de ce même point au plan des est ces deux distances étant prises positivement quand elles sont situées en avant de ces plans. Or si nous posons

05 = — Ç OU œ ^ = 0} 2c),

nous avons l'équation de tous les points situés à égale distance du côté antérieur du plan a: = 0 et du côté postérieur du plan 5 = 0, propriété qui appartient aux points du plan bissecteur de l'angle 0 que forment entre eux les plans x:=0 et 5r=0. L'équation 2c) est donc celle de ce plan bissecteur. En y substituant la valeur de x tirée de 2b), cette équation devient

0 = 5(1 -|~ cos a) — - u cos 0 sin a -j- sin 9 sin a. j . . . 2fi)

1 — COS a , . , .

Multipliant par — — — , cette équation devient

sin a

0 = 5 sin a — u cos 0 (1 — cos a) + ^ sin 0 (1 — cos a) ) . . , 2 e); multipliant encore par cos 0, il vient

0 = 5 sin a cos 0 -f- y (cos a cos^ 0 — cos^ 0) + ^ cos 0 sin 0 (1 — cos a), équation qui, comparée avec la valeur de y prise dans 2b), se réduit à

De même, en multipfiant 2e) par sin 0, on obtient une équation analogue qui se réduit à

Nous avons donc, pour les points du plan bissecteur de l'angle 0 que forment entre eux les plans x = 0 et 5 = 0,

Prenons maintenant une deuxième position secondaire du globe, pour laquelle nous désignerons respectivement par Xq, y^, z^, a^, Qq les valeurs correspondantes de X, ?/, s, a, 0 ; pour le plan bissecteur de l'angle 0^ que font entre eux les plans = 0 et 5 = 0, on a également

^3^0 = — 5, ?yo -^0 =

Si donc le point ÇuÇ appartient à la fois aux deux plans bissecteurs, c'est-à-dire s'il se trouve sur leur intersection, on a pour ce point

x = Xq, y ^Vo, z r= Zq, Les points de cette intersection occupent donc la même position dans l'espace

§ 27. ROTATIONS D'APRÈS LA LOÏ DE LISTÎNG. (492) 635

pour les deux positions successives de l'œil, et il en résulte que pour amener l'œil d'une position secondaire à une autre en le faisant tourner autour d'un axe constant, il faut prendre pour axe la ligne d^ intersection des plans bissecteurs des angles formés par le plan primaire des axes de rotation avec les plans perpendiculaires aux deux positions secondaires de la ligne de regard. La position de cet axe est donnée par l'équation 2c) et par l'équation analogue relative à la seconde position, à savoir

a; 4- ^ =z 0 et + 0.

L'angle dont le globe tourne autour de cet axe résultant, en passant de la première à la deuxième position secondaire, est double de l'angle que font entre eux les deux plans bissecteurs considérés a? -f- Ç = 0 et + 5 = 0.

Remarque. — La règle d'après laquelle nous venons d'obtenir, par une seule rotation, le résultat de deux rotations successives, peut s'appliquer, tout à fait indépendamment de la loi de Listing, à un corps quelconque mobile autour d'un point fixe. — Supposons que l'on connaisse la position qu'occupe chacun des axes au moment de la rotation autour de cet axe, ou bien, ce qui est la même chose, la position de ces deux axes au moment qui précède la deuxième rotation ; nommons A le plan qui passe alors par ces deux axes, et soient respectivement A ^ et A ^ les positions de ce plan avant la première et après la seconde rotation. Comme les axes sont respectivement les intersections de avec A et de A avec A^, cette construction est facile à exécuter dès que l'on connaît la valeur des angles de rotation AqA et AjA. Menant les plans bissecteurs de ces deux angles, leur intersection est l'axe de rotation résultant, et l'angle de rotation est le double de l'angle que comprennent entre eux les deux plans bissecteurs (il est indifférent de prendre l'un ou l'autre des deux angles qu'ils forment).

Quand les rotations sont infiniment petites, l'axe de rotation résultant est infiniment près du plan des deux autres axes, et, à la limite, il se confond avec la diagonale du parallélogramme dont les côtés coïncident en direction avec les deux axes de rotation et sont proportionnels aux grandeurs des angles de rotation.

Ligne atrope. — Revenons aux conséquences de la loi de Listing relativement aux mouvements du globe. — Comme l'axe de rotation autour duquel il faut faire tourner l'œil pour l'amener de la position des équations 2b) à une autre position quelconque Xq est compris dans le plan x -\-^—0, quelle que soit d'ailleurs cette seconde position, if en résulte que toutes les fois qu'on veut passer d'une position déterminée à d'autres positions quelconques par rotation autour d'axes fixes, ces axes sont tous compris dans un certain plan dont la position ne dépend que de la position initiale et nullement de la seconde position à atteindre ; il en résulte aussi que toute rotation, d'une amplitude quelconque, autour d'un axe situé dans ce plan, amène toujours l'œil dans une position conforme aux exigences de la loi de Listing.

On voit donc que la position primaire de la ligne de regard présente cette seule particularité que la position du plan des axes de rotation qui lui sont relatifs os t perpendiculaire à cette ligne.

On voit également que, pour une position quelconque de la ligne de regard, la

position de la normale au plan des axes de rotation s'obtient en prenant la bissectrice des directions primaire et actuelle de la ligne de regard. On peut donner à cette normale le nom de ligne atrope instantanée relative à la position considérée.

Pour toute rotation exécutée d'une manière continue autour d'un axe, en suivant la loi de Listing, la ligne atrope instantanée, relative à la position primitive, décrit évidemment un grand cercle sur le champ visuel sphérique. Quant à la ligne de regard, n'étant en général pas perpendiculaire à l'axe de rotation, elle ne décrit pas un grand cercle, mais bien un cercla parallèle au grand cercle décrit par la ligne atrope en question.

Point occipital — Cercles de direction. — Soit 0 (fig. 163) le centre de rotation de l'œil, OA la position primaire de la ligne de regard, OB une seconde

égaux entre eux comme compléments des angles égaux BOC et GO F, Il en résulte aussi que si nous nommons OE un axe quelconque mené dans le plan des axes qui passe par OD, les angles BOE et FOE sont nécessairement égaux entre eux.

S'il était donc possible de faire tourner complètement le globe autour de l'axe OE, la ligne OB viendrait prendre la position OF, Donc tous les cercles que la ligne de regard peut décrire dans le champ visuel sphérique, en partant de la position OB et tournant autour d'un axe fixe conformément à la loi de Listing, passent nécessairement par le point or la position du point F est absolument indépendante de la position OB et ne dépend que de la position primaire OA. Nous pouvons donner à ce point i^^le nom de point occipital du champ de regard. On voit que :

Les prolongemmts de tous les arcs de cercle que la ligne de regard décrit dans le champ visuel sphérique, en tournant autour d'un axe fixe, conformément à la loi de Listing, passent par le point occipital du champ de regard.

Et inversement : Quand la ligne de regard décrit dans le champ visuel sphérique, conformément à la loi de Listing, un arc de cercle dont le prolongement passe par le point occipital, elle se déplace en tournant autour d'un axe fixe, perpendiculaire au plan de ce cercle.

Nous nommerons cercles de direction ces cercles du champ de regard sphérique qui passent par le point occipital. Leur importance, relativement à l'orientation, ressortira davantage dans les paragraphes suivants. On voit que les cercles de

Fig. 163.

position de cette ligne, ACBDF la section du champ de regard sphérique; la bissectrice GOC de l'angle AOB est la Hgne atrope relative à la position OB de la ligne de regard, et un plan mené perpendiculairement au plan de la figure par la ligne OD, perpendiculaire à OC, est le plan des axes de rotation relatifs à OB. Il est facile de voir que si l'on prolonge jusqu'en F, les angles BOD et FOB sont