ROTATIONS D'APRÈS LA LOI DE LISTING
direction ne sont des grands cercles du champ visuel que lorsqu'ils passent par la position primaire de la ligne de regard, c'est-à-dire par le point du champ de regard que nous nommerons point de regard principal.
On voit facilement maintenant que s'il s'est développé dans l'œil une image accidentelle linéaire qui se projette dans le champ de regard sur un cercle de direction de la position de la ligne de regard, lorsque l'œil se déplace suivant ce cercle de direction^ l'image accidentelle conserve sa position apparente sur ce cercle et ne se déplace que sur son propre prolongement. — De même, une image accidentelle, développée sur la perpendiculaire menée par le point de regard à l'un des cercles de direction correspondants, reste perpendiculaire à ce cercle pendant les mouvements effectués suivant ce cercle. — Enfin, il est facile de voir que l'image accidentelle sera constamment dirigée parallèlement à tous ceux des cercles de direction qui ont, au point occipital, la même tangente que celui des cercles de direction sur lequel elle se trouvait d'abord.
L'équation des cercles de direction qui passent par une position déterminée de la ligne de regard, telle que celle donnée parles équations 2b), s'obtient facilement par cette condition qu'ils sont les traces d'un plan mené par le point occipital, sur le champ visuel sphérique dont le centre est le centre de rotation de l'œil, origine de nos coordonnées. Écrivons l'équation du champ visuel sphérique
X' -{-rf z~ir'] 3)
et l'équation générale d'un plan
ax by -\- cz = A.
Les coordonnées du point occipital sont
œ = — iî, !/ = 0, ^ 0.
Ces valeurs devant satisfaire à l'équation du plan, il vient
~ aR = A,
ce qui détermine la quantité inconnue A. L'équation d'un plan quelconque, passant par le point occipital, est donc
ax by cz ^ ~ aR ] 3a).
Les équations 3) et 3a) sont donc celles d'un cercle de direction quelconque. Écrivaîit ces deux équations sous la forme
et
et divisant membre à membre, il vient
ce qui est l'équation d'un cône dont le sommet est à l'origine des coordonnées et
qui s'appuie sur le cercle de direction. Pour s'assurer, en effet, que cette surface contient le cercle de direction, il suffit de remarquer que l'équation 3b) est déduite des équations 3) et 3a), dans lesquelles x, y, z représentent les coordonnées d'un point quelconque du cercle de direction ; pour voir que c'est un cône, il suffit de remarquer que si son équation est satisfaite pour les coordonnées d'un point y, elle l'est aussi pour celles de tous les points pour lesquels les rapports y '.xciz'. X sont les mêmes que pour celui-là. En effet, les équations y \ x-=C^^ et z x= Cl représentent une ligne droite qui passe par l'origine des coordonnées, et comme tous les points d'une ligne droite qui passe par l'origine et par un point de la surface, sont compris dans cette surface, l'équation 3b) représente un cône.
Les génératrices rectilignes de ce cône sont les positions que prend la ligne de regard en parcourant le cercle de direction correspondant.
Projection sur un champ visuel plan. — Quand une image accidentelle linéaire se projette suivant un cercle de direction, nous avons fait remarquer qu'elle reste sur ce cercle quand l'œil en parcourt les différents points. Précédemment, nous avions projeté les images accidentelles sur un plan perpendiculaire à la position primaire de l'œil, et dont l'équation est, par conséquent,
Faisant x constant dans l'équation 3b), nous obtenons l'équation d'une hyperbole qui est la projection du cercle de direction sur le plan considéré. Cette équation est
0 = {b'-' — a'')if + {c^ —a^) 'i.bcyz 2abxy -\- 2acxz]. . . 3c).
Sous cette forme générale, elle donne toutes les hyperboles le long desquelles peuvent se déplacer des images accidenteiles linéaires dirigées d'une manière quelconque.
Bornons-nous aux images accidentelles qui étaient d'abord parallèles à une direction déterminée, celle de l'axe des 2, par exemple, il faut poser c=0 dans l'équation 3a) du cercle de direction. Posons, de plus.
a = — - sin —
6 — -j- COS — *
réquation 3c) devient
0 = cos a
sin
œy sin a
ou bien
cos a [y —
X^ cos a tg^ a.
Posant
ROTATIONS D'APRÈS LA LOI DE LîSTÏNG.
/ tang oc
et V " "a
2 tang —
l'équation de l'hyperbole devient
(y - fY î: ^ ^
On voit que f est l'axe réel, g l'axe imaginaire, et que le centre de l'iiypri bole est éloigné delà ligne z = 0 d'une distance égale à la longueur de l'axe réel. L'un des sommets de toutes ces hyperboles est situé sur l'axe des x, au point z=0, y = 0, mais celles des branches des hyperboles qui passent par ce point ne sont pas des projections optiques des cercles de direction : ce sont seulement des projections géométriques de la partie postérieure et non visible de ces cercles. On a vu plus haut (fig. p. 60^) la représentation d'hyperboles de ce genre.
Il nous reste à déterminer la rotation que l'œil subit par rapport à la ligne de visée conformément à la loi de Listing. — Soit u — 0 l'horizon rétinien de l'œil, ?/ = 0 étant sa position primaire et en même temps la position primaire du plan de visée. L'axe des y est alors la ligne qui réunit les centres de rotation des deux yeux. Le plan de visée passe donc toujours par l'axe des y. L'équation générale de ces plans est
ax bz — 0.
Pour la ligne de regard, ou a u — 0 ; on a donc, d'après 2b),
a? = I cos a , y = g sin a cos 9 , z = — ^ sia a sia 9 ,
et comme la ligne de regard est nécessairement dans le plan de visée, ces valeurs de X et z doivent satisfaire l'équation générale du plan de visée ; on a donc
a Ç cos ot — 6 J sin a sin 9 — 0.
Cette équation est satisfaite si l'on pose
a ï= sin a sin 9, 6 ~ cos a. '
L'équation du plan de visée devient donc
X sin a sin 9 + 5 cos a = 0,
ou bien, en y transportant les valeurs tirées de 2b),
0 = u cos 9 sin 9 (1 — cos a) — ^ (sin ^ 9 + cos « cos^ 9)} . . . 4).
On sait que l'angle k que forment entre eux deux plans représentés par les équations
ax -\' by cz -\- d = 0 a» -f- -f -f ^ = 0 ,
6i0 {496) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27. est donné par la formule
ria + + Cy
cos k
V/cc^ + 5^ + v/oc' + j32 ^
Jl en résulte que l'angle formé par le plan de visée de l'équation U) avec l'horizon rétinien, dont l'équation est
0 =Tj }. . . . 4a).
est donné par l'équation
cos 9 sin 9 (1 — cos «) cos /*; = — =
V sin- 9 + cos- a cos-9
ou
cos 9 sin 9 (I — cos a) ) , .
cotang k = } 4b).
^ sin- 0 -I- cos a cos^ 9 j
ce qui définit l'angle compris entre l'horizon rétinien et le plan de visée au moment considéré.
De même, pour l'angle k' que forme le plan du méridien qui était vertical dans la position initiale C = 0 avec un plan mené par l'axe des et la hgne de regard, plan dont l'équation est
X sin a cos 9 — y cos « = 0
on trouve l'expression
cos 9 sin 9 (i — cos a) )
tang k' = ^ 4 c).
cos- 9 -\- sin^ 9 cos a ;
Autres notations. — Au lieu des angles « et 9, on a souvent eu recours, pour déterminer la position de la ligne du regard, à d'autres éléments, tels que V angle ascensionnel X et V angle latéral ix, tels qu'ils ont été définis plus haut (p. 600), ou bien les angles que Fick a nommés longitude et latitude et que nous désignerons par les lettres / et m. Il nous faut introduire ces éléments dans les formules ^b) et ^c) pour les rendres propres à l'utilisation d'expériences ainsi disposées.
Vangle ascensionnel 1 est l'angle compris entre le plan de visée
X sin a sin 9 -j- s cos « = 0
et le plan x — 0; sa tangente est donc
tang 1 = — = — . tang a sin 0.
Vangle latéral est égal à l'angle compris entre le plan équatorial de l'œil, Ç = 0, et le plan mené perpendiculairement au plan de visée, par l'axe des ?j, et dont l'équation est
a? cos a — z sin a sin 9 = 0
ou, après substitution des valeurs tirées de 2b),
0 = ^ [cos^ a + sin^ a sin^ 9] — - u sin « cos 9 [sin^ 9 + cos a cos^ 9] -j- ^ sin a sin 9 cos- 9 [cos a — 4 ] ,
§ 27. ROTATIONS D'APRÈS LA LOI DE LISTING. (4-97) 6a
d'où il résulte, d'après les mêmes règles que plus haut, pour l'angle ^ compris entre ce plan et le plan 5 = 0,
cos p = \/cos- a -|- sin- « sin^ ô.
On a donc, pour déterminer a et ô, les deux équations
tang 1 ^ — tang a sia 0
cos' ij. — cos^ a + siii^ a sin^ 0 ,
d'où
cos a = cos fi cos 1 cos p. sin A
sin 0 = rp
^ 1 — cos' |ui cos' À ou bien
tang 0 — sin )t cotang fi.
Substituant ces valeurs dans k b) et Uc), nous obtenons
sin a sin X ) ,
tang k = 4 d
cos |u + cos A ;
sin a cos IX sin 1 (\ — cos u. cos X)
tang k' = . — — -^^ — — ^- ^ .
sin^ jui + cos-^ p sin-- X cos X
D'une manière analogue on trouve
sin m cos m sin / (1 — cos m cos /)
tang k = — ■ ,
sm- m -|- cos"* m sin^ l cos l
, sin m sin l
tang ¥ = 4 e).
cos m -|- cos i
On a vu plus haut quand les angles employés ici doivent être pris positivement ou négativement.
En substituant aux angles k, ^x, X et k\ m et / leurs moitiés dans les équations ^d) et lie), elles obtiennent la forme plus aisément calculable par logarithmes
tang — = tang M- . tang — 4 f )
MANIËRE DE DÉDUIRE LA LOI DES ROTATIONS EN PARTANT DU PRINCIPE DE LA PLUS FACILE ORIENTATION.
Nous avons d'abord à calculer les différences qui résultent, pour les torsions, de rotations autour d'axes qui ne soient pas perpendiculaires à la ligne atrope.
6Zi2 {498) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27. Soit ab (fig. 16^) la ligne visuelle, ad l'axe d'une rotation pour laquelle la ligne
visuelle ab décrive l'arc infiniment petit às perpendiculaire au plan du dessin, la rotation autour de ad, dont nous appellerons A la grandeur angulaire, peut être considérée comme résultant d'une rotation autour de l'axe ac, perpendiculaire à ab^ et d'une autre autour de la ligne ab elle-même. La valeur de cetie dernière rotation est A cos X', si nous désignons par X' l'angle dab de la figure. Mais la valeur de A est déterminée par cette condition que ab doit se déplacer de l'angle às; or, dans ce mouvement du point b, la perpendiculaire On a donc
FiG. 16/i.
bf abaissée de b sur l'axe est le rayon vecteur
ou
ab , ds — fb . A
ds = A sin X',
Donc, dans ce mouvement, la torsion autour de la ligne ab est
ds cotang X'.
Menons maintenant par ab des plans suivant différentes directions ; l'élément ds peut être supposé contenu dans chacun de ces plans, et si les mouvements de l'œil doivent être continus dans tous les sens en partant de ab, les axes de rotation correspondants doivent tous être contenus dans un même plan. L'un des plans menés par ab est nécessairement perpendiciilaire au plan des axes de rotation, qui contient ad> Nommons X la valeur que l'angle X' prend pour ce plan, et e l'angle que le plan mené par l'élément ds et la ligne visuelle ab fait avec ce plan de l'angle X. Dans l'angle trièdre rectangle formé par le plan des axes de rotation et les plans des angles X et X', on a, d'après une formule connue de trigonométrie sphérique,
cotg X' = cofg X . cos e
îa rotation autour de la ligne ab est donc
ds cotg X' = ds . cotg > . cos e.
Nommons, d'autre part^ p l'angle que la ligne de regard ab forme, dans la même position, avec le plan perpendiculaire à la ligne atrope, et x l'angle que forment en ab les plans des angles ^ et X ; un calcul analogue au précédent donnerait, pour la rotation autour de la ligne visuelle,
ds cotg ^ cos (e — x),
pour les cas où lés l*otations seraient partout conformes au pirincipe de la plus facile orientation, ce qui exigerait que les axes de rotation fussent constamment perpendiculaires à la ligne atrope*
§ 27. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA LOI DES ROTATIONS. (499) 6Zi3
Le carré de la différence entre l'angle exigé et l'angle véritable est
p2 = (Js^ {cotg X cos € — cotg fx cos (e — ^) y.
L'exigence du principe de la plus facile orientation revient donc à demander que la somme de toutes les valeurs de relatives à tous les mouvements jmsibles infiniment petits de la ligne visuelle^ d'étendue ds, soit un minimum.
Prenons d'abord la somme de toutes les valeurs de p'^ pour des déplacements ds qui, partant d'une seule et même position de la ligne de regard, se dirigent dans différents sens, c'est-à-dire répondent à des valeurs différentes de l'angle e. Nous avons
J^p^àt = irds'^ {cotg^ X + cotg^ ^ — 2 cotg X . cotg ^ . cos x } . . . 5).
Il faut maintenant faire la somme des valeurs de cette expression relatives aux différentes positions de la ligne de regard, définies par les angles a et 9. On a donc à former l'intégrale.
2rr a„ ârr
J'^^J^ ^oj^^t . sin a ~ iR . . , . 5a).
où «0 représente les valeurs qui répondent à la limite du champ de regard.
Pour exécuter cette intégration, il faut trouver les valeurs de X et de x qui répondent aux différentes valeurs de a et 9. A cet effet, différencions l'équation le) par rapport à « et à 9, en considérant l'angle w comme une fonction de ces deux- là, et u, Ç comme des constantes. Pour les points de l'axe de rotation, il faut qu'on ait
da; — dy = — 0
Tirons de là les équations suivantes, relatives également aux points de l'axe de rotation :
aàx 4" 0^/ dy + a^^ ds = 0 \
fedic -f ô^dy + 6^,ds = 0 1 .... 6),
c àx -\- dy + <^t, àz = 0 )
et où les lettres a, b, etc., représentent les coefficients des équations 1 c) :
a = cos ce = sin a cos 9 a^i — — sin a sin 9
b — — cos w sin a b^ = cos a COS 9 cos w — sin 9 sin w b^i ~ — cos a sin 9 cos w — ■ cos 9 sin w
c = — sin (0 sin a
:= cos a cos 9 sin co + sin 9 cos w c^^ — cos a sin 9 sin oa + cos 9 cos a>.
6Mi {500) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27.
On sait qu'entre ces quantités il existe un système d'équations de l'espèce suivante :
\ zrz: -j- a? + al ab + a^b, + a^fi^, = 0 \
1 = + + cf, bc + b,c, + b^fi,, = 0 j
0 = aàa -f- a^dctj -]- a^fia^^
aàb + a^cl&^ a^^àb^, = — (6da + ^/d^, + ^//da-/^) 0 :=r &d6 + ^^d6^ + b^fib^^
aàc + a^dc, -|- a^jdc^^ — — (cda + ~]~ ^/j^^)/) 0 — cdc + Cjdc^ + c^^dc^,
6dc + bfic^ + 6^jdCj^ == — (càb + c^d6, + ^'/i'^^n)
Si l'on remplace maintenant, dans les éf^uations 6). dx, dy, dz, par leurs valeurs :
dx = Çda + udb + 'Cdc d^ = gda.^^ + -Jdô^;-!- ^dc^^,
on obtient :
0 r= u {adb 4- cifib, + «;;d5^j) 4- ^(ctdc + a^dc^ -|- «n^^ii) )
0 = ? (6da + b^da,+ b,fia,,) + J:(6dc + bfic^ + &,,dc,,) ... 6a).
0 = 5 {cda + c^da, + c^^da^^) + .j(cd6 + cfib^ + c^^db^) )
Ces trois dernières équations (1 ) donnent chacune des coordonnées de l'axe de rotation exprimées en fonction de chacune des autres.
Soit — X l'angle que forme avec l'axe des ? (ligne de regard) une ligne
perpendiculaire au plan des axes de rotation, et soit x l'angle que le plan de l'angle X fait avec celui des ug , nous conformant aux notations de, l'équation 5) et admettant que le plan des soit mené par la ligne atrope, il vient, pour le plan des axes de rotation,
5 sin X -{^ u cos X cos X + C sin X siii x — 0,
(1) Il est facile de voir, en tenant compte des équations B)^ que la dernière de ces trois équations est comprise dans les deux autres. Or si l'u des équations le) est une fonction continue de a et 0, c'est-à-dire qu'on ait
1 dû) d(u
dû) ==— — c/a + -TTT
da dQ
les diffépfentielles da, d6, de, etc., deviennent toutes de la forme
da , , da ,^ da = r- «a + «0.
da ~ d0
Si l'on élimine maintenant le rapport ^ entre deux des équations 6a), on obtient une équation divisible par et qui, après cette division, devient linéaire par rapport à |, u, Ç : c'est l'équation d'un plan qui doit contenir tous les axes de rotation pour des rotations infiniment petites commençant à la position donnée de l'œil. — Ceci démontre le lemme dont nous avons fait usage, que pour des mouvements continus de l'œil et des rotations infiniment petites, à chaque position répond un plan des axes de rotation.
§ 27. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA LOI DES ROTATIONS. (501) 6/i5
ou bien, substituant les valeurs de u et ^ tirées des deux dernières des équations 6a), et multipliant le tout par
{bàc + bfic^ + b,,dc^) = — (càb + cfib, + c^^d6^,)
il vient
0 = sin X {bàc + bfic, -j- b^fic,,) cos X cos x (cda + c^àa, + c^fia,) |
-f cos X sin X (&da 6^da^ 4~ ^/i^^/i) / "
Cette équation en donne deux, si da et d9 sont indépendants l'un de l'autre, car chacune des différentielles a la forme
da . da ,^
Si Ton effectue donc, d'abord par rapport à «, puis par rapport à 6, les différentielles que contient 6b), on obtient les deux équations
. dcj . . , ^ .
0 = sm X cos X cos % sm w + cos X sm x cos w
da
0 = sin 4- cos a"^ + cos X cos x sin a cos w + cos X sin x sin a sin o. \^d9 /
Par élimination de cos x ou de sin x, les deux dernières équations donnent . , . . do) do)
sin X sin a sm w -; cos w •— — cos w cos a ) = cos X cos x sm a
. , / . do) dw \ ^ • .
sm X sm a cos w 1- sm w — ■ + sm w cos « = — cos X sm x sm «.
\ da dG /
Divisant les deux équations par sin X sin «, la première donne la valeur de cotg X cos X que nous avons à substituer dans 5) ; élevées au carré et ajoutées membre h membre, elles donnent
. , r^^Y , ^ /Cleo , y et nous obtenons enfin, pour l'intégrale B dont il nous faut chercher le minimum
R = u:diS^J"à0jàoi I sin a
-I 1- cos a ) — 2 cotg sm a sin w cos w ( — + cos a )
^ sin a Vd0^ / ^ ^ L d« \àQ J\
cotg- p. sin a j j Dans cette expression, w et p sont variables. Pour que R devienne minimum.
6UQ (502) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27. il faut égaler h 0 les dérivées prises par rapport à ces deux quantités, ce qui donne
2rr
et
r r { dw dfîw 1 /dw , \ d(îw
0 /de/da sin a . — + -: + « ] ^JS:
J J \ da da sma Vd6 / rfO
sin a cos to ^ + sin w j^— -j- cos a J I 6w
d^o) d^col )
+ Sin a sm 03 cos w - >
^ da de J ) ;
fx^dG^sin ad a 0 0
-J\^J\c/. sin a sin 0) ^ — cos m + cos a
cots:
2lT C£„
On peut, par intégration partielle, faire disparaître de l'équation 6d) les quantités
~r" obtient alors deux intégrales, relatives à la circonférence et
à la surface du champ visuel, et qui ne contiennent plus chacune en facteur que sous le signe d'intégration. Mais avant d'exécuter ce calcul, il est nécessaire de s'assurer que la fonction à intégrer ne présente pas de valeurs multiples et ne devienne pas discontinue dans l'intérieur du champ visuel. Or, nous avons déjà remarqué plus haut qu'il est nécessaire que, pour de très-petites valeurs de a tout autour de la position initiale de l'œil, la quantité w + 0 soit nulle. Gomme 0 varie entre 0 et 2ir quand on fait décrire à la ligne de regard toute la circonférence d'un cercle infiniment petit autour de la position initiale, il faut que w varie en même temps de 0 à — 2^, et que, par suite, sa valeur soit discontinue aux environs de la position initiale. Il est donc mieux d'introduire une autre variable
qui puisse être continue dans toute Tétendue du champ de regard. Ou a alors
dw dyî dw dyj
"(k di ^ dë ~ d0 ~
Si nous exécutons, après cette substitution, l'intégration partielle de l'équation
6d), pour faire disparaître — - — et —rr-, nous devons, conformément aux prin-
da d0
cipes du calcul différentiel, annuler ensuite dans les deux intégrales, celle relative à la périphérie comme celle relative à la surface, les facteurs qui sont multipliés par (ÎTj, et nous obtenons :
§ 27. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA LOI DES ROTATIONS. (503) 6Zi7
l'' Pour la périphérie, en la supposant parcourue dans le sens où croissent les 0,
0 = sm a T- d9 — -rr — 1 + COS a -:
da Vd9 * y sin a
— cotg fx j^sin a . sin (>7 — G) dQ 4- cos (yi — 0) daj 2° Pour la surface du champ de regard,
d / . dy7\ , 1 d% )
0 = — sm « - + — 7a).
da \ da/ sm a dGM
Il faut ajouter enfin l'équation 6 e), qui peut également s'intégrer une fois,
cotg f^y^ ;i — cos a) d9 =^y^ sin a cos (vj — 9) d0 + sin (yî--0) d«]|.... 7b)
ces deux intégrales étant relatives à toute la périphérie. L'intégrale du premier membre, qui est multipliée par cot |m, est, comme on sait, l'expression de la surface du champ de regard. Pour simplifier ces équations^ introduisons à la place de a une autre variable
ce qui donne
p = log nat. tang — ,
da 1—6^13
np = = cos a
Sin a 1 e^p
et si -J^ est une fonction quelconque de «, on a
d(3 da
Substituant ces valeurs dans 7a), on obtient, pour l'intérieur du champ, l'équation
et l'on déduit de 7), pour la périphérie :
dp \d9 1 + 6^/3/ j
^^^^^i^ • ^ 4, I sin(y?--9)d9 V . . . . 7d)
+ cos(y,~9)d9j
6Zi8 [504) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27, et enfin, de 7b,
'=°'g''yr+^''®=y HT^? r ^"-^^ -^"^ (.-6)d9jj.. . 7e).
On sait que toutes les intégrales réelles de l'équation 7c) peuvent être reproduites par la partie réelle d'une fonction quelconque de la quantité complexe (3 + e 1. Si l'on pose
où et sont réels et i — ^—i , <p et y peuvent être également l'intégrale de l'équation 7c).
Pour que soit une intégrale appropriée à notre but, il faut d'abord qu'elle soit finie et déterminée pour tous les points de l'intérieur du champ de regard, même pour a = 0 ou pour j3 = — - cxd. Il faut, de plus, qu'elle satisfasse, le long du bord du champ de regard, aux équations 7d) et 7e).
Si nous nommons -^t' la dérivée de \|/ par rapport à la variable complexe (3 + 9 il résulte de l'équation 8) :
ii , r ^ , .
dp ^ d|3^ d|3
et en éfiminant \f>', oti bien
m ^ de^ d9
d|3 dp d9 d9
dp ^ de 1^
^—.^ = 0 dG dp Posons de plus
F= + iY^ =eX-T' + lb + Q/, cette quantité est également une fonction de p + 9/^ et l'on a :
de ^ dp
dF, dF,
dp
et
= ^^^^ cos((p— .9) \ Y, ^ —e-^e^^m (cp — 9) j ' * ^•
Substituant maintenant à dans l'équation 7d) et multipliant par en posant
é z= log nat. (1 4-6^/3),
§ 27. ÉTUDE THÉORIQUE DE LA LOI DES ROTATIONS. {505) 6Zi9
il vient, en tenant compte des équations 8a) et 8c),
0 = d6 + .X il d[3 + 2 cotg ^ [r, d9 - Yjf^ . . 8d).
Cette équation est une différentielle complète, car, d'après 8b),
dp de V v*
Effectivement, si nous intégrons la fonction Fpar rapport h la variable complexe j3 + ô ï, et que l'intégrale soit
nous obtenons ou
d(3 dp " ^0 + d$„ d$.
donc
^ dp de
Y = ^^^^ ' d8 de *
Intégrée, l'équation 8d) donne donc pour la périphérie du champ
C = e^ — 2cotg ,u . ^0 } 8e)
ou
ç = + log nat. (1 + e'-(^) = log nat. + 2 cotg p . } . . . 8f).
Mais'les constantes C et fx doivent finalement satisfaire aussi à l'équation 7e), si l'angle ^ est celui qui répond le mieux aux exigences du principe de la plus facile orientation.
Or, on peut montrer que la valeur cotg p = 0 satisfait simultanément aux équations 8 f) et 7e). En effet, on a pour l'intégrale prise pour toute la périphérie du champ
/r„d9+K. d(3=/^d9 + !|dp=0,
si, ainsi que cela résulte de l'hypothèse faite sur <p, la valeur ^^ est partout finie et déterminée ; car cette intégrale est égale à la différence des valeurs que prend ^^ au même point delà périphérie, avant et après en avoir fait le tour complet. Substituant aux quantités et leurs valeurs tirées de 8c), il vient
' ^ \ \ % If^^ (^•-^) d9 — (cp — e) dpj .
Or, si l'on pose cotg |ui = 0, il résulte de 8f) que la quantité a devient constante
650 {506) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27. pour toute la périphérie, et qu'on peut, par conséquent, faire sortir le facteur du signe d'intégration. Nous avons donc, en posant cotg fx = 0,
^ = y rp?? ['^' ~ ^^""^^ ^^'] '
d'où il résulte que l'équation 7e) est satisfaite dans notre hypothèse.
Je ne vois pas encore le moyen de résoudre, pour une forme quelconque du champ de regard, la question de savoir si des valeurs autres que cotg ix = 0 pourraient satisfaire aux conditions de la question. Mais comme, en réalité, le champ de regard se rapproche assez de la forme circulaire, il nous suffira de démontrer que, pour une forme circulaire, il n'existe pas d'autre valeur réelle que ix = 0.
Loi des rotations pour un champ de 7^egard circulaire. — Gomme la fonction v) que nous cherchons doit être la partie réelle d'une fonction arbitraire de (3 -j- 9z qui ne devienne ni infinie, ni indéterminée pour aucun point du champ de regard, y compris (3 = — oo, elle est, en général, de la forme
y? = ^0 + cos (9 + c,) + A^e^^ cos (29 + c,) \
+ A^e^ cos (39+C3) + etc. j. • . • )
où les lettres A et c désignent des constantes arbitraires. Le ^ correspondant sera alors
^ = A,e^ sin (9 + c,) + A^e^& sin (29 + c^) + ^36^/3 sin (39 + C3) + etc.
et si l'on a cotg /ut = 0, l'équation de la périphérie devient
La quantité e^ que l'on rencontre dans toutes ces questions est égaie à tang 1 /2 a. La question est donc résolue si l'on peut mettre sous la forme 9b) l'équation entre a et 9 qui détermine le contour, car, en partant de -^^ on peut toujours facilement trouver l'angle 73 qui mesure l'écart de la loi de Listing.
Nous allons rechercher maintenant quelle forme prend le champ pour l'hypothèse d'une valeur constante de yj, ou bien, comme la valeur absolue de cette quantité est indilférente, pour
En revanche, nous laisserons indéterminée la valeur de cotg ^,
De cette hypothèse 10) il résulte également ^ = 0, et les quantités F des équations 8c) deviennent :
= e|3 cos 9 = e,3 sin 9 Y,~{-Y,i==e^ + Bi^^^^^^i,
L'équation 8f ) de la périphérie devient donc
1 + e«i3 := C 2e3 cos 0 . cotg fx.
