tang^— cos (39 + Cg), etc

et où nous pouvons encore déplacer l'origine des coordonnées de manière à annuler le terme en tang 1 /2 a, il résulte que yj est à peu près constant pour de petites valeurs de a, et que ce n'est que vers la périphérie, où les valeurs de tang 1/2 a deviennent plus grandes, qu'il peut se présenter des écarts sensibles de la loi de Listing. Si donc les parties périphériques du champ visuel exercent en général peu d'influence^ les écarts que la forme non circulaire du champ peut produire par rapport à la loi de Listing doivent être encore moindres que si les parties périphériques étaient souvent parcourues.

De plus, il n'est sans doute pas absolument exact d'admettre que les mouvements des yeux se produisent, dans le champ visuel, avec une égale fréquence dans tous les sens. C'est ainsi que je remarque, chez moi-même, une tendance à éviter les mouvements dirigés parallèlement à la périphérie du champ visuel, parti cuHèrement lorsque je cherche à reconnaître exactement la forme et l'étendue de l'objet qui occupe mon attention. J'éprouve alors une tendance involontaire

' à tourner la tête de telle sorte que les mouvements du regard viennent se placer dans des méridiens du champ de regard qui passent par la position primaire. C'est ainsi que je puis suivre du regard, sur une grande longueur, une Mgne située verticalement, sans être tenté de déplacer la tête, tandis que pour parcourir une

I ligne horizontale placée en haut, il m'est plus naturel de lever la tête, pour amener la ligne dans la position primaire, que d'élever simplement le plan de visée.

Il me semble donc que, parmi les mouvements des yeux, ceux-là sont préférés qui parcourent dans le champ de regard des méridiens passant par la position primaire. Ces mouvements sont aussi ceux qui ne sont accompagnés d'aucune rotation apparente des objets, et c'est de là, sans doute, que vient leur prépondérance. De plus, quand la loi de Listing est devenue généralement apphcable aux

I mouvements d'un certain œil, la tendance à s'écarter de la loi, par suite dlrrégularités cpelconques du champ visuel, doit devenir moindre.

E. Hering (1) a encore insisté sur ce que, par suite de l'inspection fréquente d'objets rapprochés, l'œil se dirige relativement bien plus souvent en dedans qu'en dehors. Mais, ainsi que Volkmann l'a montré expérimentalement, et ainsi que

(1) Beitrage zur Physiologie, IV, 272.

65/1 (olO) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27. nous avons cherché à l'expliquer théoriquement, il est nécessaire et permis, — du moins pour les yeux myopes, — de séparer l'étude des mouvements en état de parallélisme d'avec celle des mouvements pendant la convergence ; par suite, cette circonstance n'est pas à considérer dans l'étude des mouvements de torsion qui se produisent pendant le ])arallélisme.

En revanche, il ne faut pas oublier que nous employons les positions parallèles principalement pour les parties supérieures du champ de regard, parce que ce n'est que dans ces régions que nous rencontrons ordinairement des objets trèséloignés ; nous ne faisons guère usage, au contraire, des positions convergentes que pour les parties inférieures du champ visuel, qui comprennent le sol, nos mains et les objets que nous manions. Quand on essaye de regarder avec des lignes visuelles parallèles deux points marqués sur un papier, à une distance égale à celle des yeux, la fusion de leurs images est bien plus difficile à obtenir pour une position abaissée que pour une position élevée du plan visuel ; inversement, la convergence sur un point voisin est bien plus difficile quand sa position exige que nous élevions les yeux que lorsqu'il nous faut regarder en bas : nous devons donc nous attendre , pour les positions convergentes , à voir les mouvements de torsion s'écarter de ce qu'ils seraient pour des positions parallèles, dans le même sens que si la position primaire relative à la convergence était située plus bas et plus en dedans que pour le parallélisme. Et les expériences paraissent jusqu'ici confirmer cette supposition.

Il me paraît vraisemblable, d'ailleurs, que des manières individuelles, particulières aux différentes personnes, puissent introduire^, par l'effet de l'habitude, des écarts de toute espèce dans les mouvements des yeux : cela ne doit pas nous étonner pour une loi qui n'est qu'un effet de l'exercice et qui peut être rompue à volonté. La myopie paraît exercer également une influence considérable, qu'il faut attribuer, soit à l'emploi plus fréquent des positions convergentes, soit à la difformité du bulbe, qui peut introduire des obstacles mécaniques. L'habitude de verres de lunettes inexactement centrés peut même exercer une influence de ce genre.

Une circonstance qui mérite peut-être de n'être pas oubliée, est la suivante. — La manière dont l'œil est rattaché à la conjonctive et même au tissu connectif et au coussin graisseux de l'orbite est telle, que les mouvements conformes à la loi de Listing produisent les moindres tractions sur ces parties. Toute torsion consi- 1 dérable, non conforme à la loi de Listing, entraînerait nécessairement un tiraillement et un plissement de certaines parties de la conjonctive. On voit donc que | sous ce rapport aussi, les mouvements conformes à la loi de Listing seraient j accompagnés du moindre effort et de la moindre gêne, ainsi que Fick et Meissner \ l'ont trouvé relativement aux muscles.

Je me permettrai de signaler encore une méthode qui simplifie extraordinairement les calculs compliqués relatifs aux positions des points d'un corps mobile autour d'un point fixe, et qui permet bien mieux d'en saisir l'ensemble, mais qui suppose que le lecteur soit familiarisé avec l'application des coordonnées complexes pour les points d'un plan. 1

K FiG. 166.

Pour transporter sur un plan les points d'une surface sphérique, j'emploierai la projection stéréographique^ généralement employée pour les cartes géographiques. — Soit AB (fig. 166) le plan de projection, C le centre de la sphère dont la surface est à projeter, CK la perpendiculaire abaissée de ce centre sur le plan AB, et dont le prolongement coupe la surface sphérique en D ; je me figure un œil situé en D et les points de la surface sphérique transportés au point du plan où ils se projetteraient pour l'œil situé en D, C'est ainsi que pour obtenir la projection du point jPde la sphère, je joins DF et je prolonge cette ligne droite jusqu'à son intersection A avec le plan AB.

On sait que, par ce procédé de projection, les petits éléments de surface du dessin sphérique se représentent par des éléments géométriquement semblables sur le plan, bien que la proportion de l'augmentation de ^ grandeur varie d'un point à l'autre du dessin plan. Tous les cercles de la sphère se représentent sur le plan suivant des cercles ou des lignes droites, lesquelles peuvent être considérées comme des cercles de rayon infini. Ce sont tous les cercles qui, sur la sphère, passent par le point D, qui se projettent ainsi suivant des lignes droites, ainsi qu'il est facile de le voir en se figurant les plans de ces cercles, qui coupent le plan AB suivant des hgnes droites qui sont précisément les projections de ces cercles.

Les grands cercles qui passent par le point />, et qui, pour ce motif, se projettent sur le plan suivant des lignes droites, passent nécessairement par le point D, diamétralement opposé à H\ leur projection passe donc par le pied de la perpendiculaire CK. Ainsi les hgnes droites qui passent par le point K, centre du dessin plan, correspondent à des grands cercles.

Pour les points de celui des grands cercles de la sphère qui est parallèle au plan AB, l'angle FDKq?X de degrés, et, par suite, la distance A Kesl égale à la distance DK, que nous prendrons pour unité de longueur. Ce cercle se projette donc sur le plan suivant un cercle de rayon 1 et dont le centre est en K.

Nous le nommerons cercle équatoriaL

Tous les autres grands cercles de ia sphère coupent chacun le cercle équatorial en deux points diamétralement opposés. A ces points correspondent aussi dans le plan deux points diamétralement opposés du cercle équatorial. Il en résulte que les cercles du plan qui coupent le cercle équatorial de ce plan en deux points diamétralement opposés correspondent à des grands cercles de la sphère.

Si le point G est diamétralement opposé au point FàQ la sphère, FDG est un angle droit, et B étant la projection de G, de la similitude des triangles AKD et DKB, il résulte

AK : DK = DK : KB,

656 (512) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27. ou bien, en prenant JDK pour unité de longueur, ainsi que nous en sommes convenus,

Les distances du centre K aux projections de points diamétralement opposés sur la sphère, sont donc inverses l'une de l'autre. Il est clair que ces deux projections sont situées de part et d'autre du centre ^du dessin, sur une droite qui passe par ce centre.

La projection du point B de la sphère, diamétralement opposé au point est à l'infini.

Nommons a l'angle au centre FCB, l'angle inscrit FDB, qui comprend le même arc, a pour mesure 1/2 «, et la distance de la projection A du point F au centre I{ est

AK = DK . tang ~ ou, comme nous avons pris A' pour unité,

AK = tang — .

Considérons, comme plus haut, le centre C de la sphère comme l'origine d'un système de coordonnées Ç, u, dont l'axe des g soit la normale CK, et dont le plan des soit, par conséquent, parallèle au plan AB. Soit t l'angle que le plan du dessin fait avec le plan des Çu, et soit r le rkyon de la sphère, les coordonnées du point F sont

^ = r cos a

tan^ — . cos i

xj — r sm a cos f = 2r

4 + tang^ y

tang ~ . sni t r = r sin a sin t ~ 2r •

1 + tang^ j

Et les coordonnées du point A, que nous nommerons v', sont

V = Ah . cos t = tang . cos t ^ r= AK , sin J = tang — . sin «

§ 27. PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE DES ROTATIONS- (5i5) 657

d'où il résulte

2r cos^ —

Réunissant et ^' en une seule variable complexe, on a

en posant

et à chaque valeur de x répond un point du plan, et par suite aussi un point de la surface sphérique.

Nommons / la valeur de x pour le point diamétralement opposé. Pour ce point, les valeurs de ^ sont les mêmes que pour le point A, au signe près. Nous avons donc

- = — cotg — . e'^.

Donc

Formons maintenant les expressions correspondantes relatives à la position de la sphère après rotation autour du point C, position pour laquelle nous avons les coordonnées x,y,z données par les équations le) (page 632). Nommons k la valeur de x après la rotation, nous avons, d'après l'équation 11),

^ . sin a + u (cos a . cos w — « . sin w) + C (cos a . sin w + * • cos w) r + 5 • cos a — u . cos w. sin a — ^ . sin co . sin a

En exprimant dans cette équation sin a et cos a en fonction de lang 1 /2 a, on peut l'amener sous la forme

ce ÛC

2Ç + ('J +-^'0 G—ifà cotg Y -— i^ — 'iQ tang —

k — e-iO — ^ ,

(r+g) cotg y + (r~-Ç) tang j — (u + ZQ e-io^ — (u—îQ c^"^

658 {514) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27. miilLipliant haut et bas par

on obtient, en tenant compte des équations lia),

x' + X + e-îw cotg ~ -|- eiw tang ^

k = e-iO

X cotg — -—X tang — X X e - ï« + e^w

I 5, | g,-., tang Il x' + eio^ tang j

A; = e-2'0 colg ! — î

j e2û) — y tang ~ j + ^o*^ j

ou bien, comme le numérateur et le dénominateur contiennent le facteur commun ^x' cotg -|- + eîco^ ,

X + ^^ng — à

k =z e-KO + ro) — S Ijb).

On voit donc que toute rotation de la sphère ne correspond qu'à une transformation linéaire de la variable x. Cependant toute transformation linéaire ne répond pas à un simple déplacement de la sphère. En effet, mettons cette transformation sous la forme générale

1 — xc'

il vient

k — 0 pour X = — b

k = pour X = —

X = 0 pour k == ab

X = oo pour k = " .

Mais 0 et oo sont des points diamétralement opposés de la sphère; il faut donc aussi que

— 6 et —

ah et

soient des points diamétralement opposés. Cela veut dire, d'après lia), que b et c,

ab et — doivent être des quantités complexes conjuguées. Si cela a lieu pour b

et c, il résulte de la relation entre ab et — que a doit avoir le module 1. La forme

générale d'une transformation de ce genre qui corresponde à un mouvemeiit de la sphère est donc

k = eivj ! lie).

Il est facile de voir que l'équation 11b) est de cette forme. La combinaison de cette équation avec la condition

remplace le système compliqué des équations Ib).

Pour trouver l'axe de rotation, il faut remarquer que les points de cet axe conservent leur position, ce qui donne pour eux la condition % = k. Introduisant cette condition dans 11c), on obtient une équation du second degré en % dont les deux racines sont les extrémités diamétralement opposées, x et x', de l'axe dt» rotation. Cette équation est

Il en résulte

eiri — \ a -}- 6^ .

0 = x^ A X H ei-n.

+ x' =: — , xx' = T.

a — hi a— '01

Comme x et x' sont de la forme

ett tang

^ — ei« cotg ^ ,

vient

X 4- x' = 2 eit cotg p; xx = — e2i«,

Si nous posons on a

eit — f/— xx' = eO^ + 'f))

1 r sm X -j- X

ce qui définit la position de l'axe de rotation.

Si l'on a r> = 0, on a aussi x + x' — cotg |3 = 0, et l'axe de rotation est alors parallèle au plan du dessin. Un semblable mouvement satisfait donc ia loi de Listing, si l'on considère la perpendiculaire abaissée du centre de ia sphère sur

G60 TROISIÈME PAUTiii. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 27.

ie plan comme étant la ligne de regard dans sa position primaire, ligne dont la position se trouve définie par la coordonnée x = 0.

Employons encore la méthode dont nous venons de faire usage pour calculer les angles d'écart n relatifs au cas où la position à partir de laquelle on a fait les mensurations n'était pas la position primaire, question qui nécessiterait des calculs excessivement longs si l'on voulait la résoudre en partant des équations Ib).

Soit a + bi l'ordonnée de la position primaire de la ligne de regard. Je la ramène à l'origine, au moyen d'une rotation conforme à la loi de Listing, par la transformation

^, ^ X--- (g + 60 1 -\- y.{a — hi)

Si je dirige maintenant, conformément encore à la loi de Listing, le regard vers un nouveau point pour lequel on ait - = c + di, et, par suite,

^ (C — O) -f (ri — b)i

1 4- (c-f-dO {a — bi) ' près cette transformation^ la nouvelle variable î devient

j ' 1 + (c + di) {a — bï) (c — a) — (rf — b) i

1 + (c — dî) {a+bi) Kemplaçant k par sa valeur ex])rimée en x, on obtient

(c -f di) 1 + (c — di) (a + bi)

1 + X (c — di) '1 -f (c + di) {a — bi) X — (c -[- di)

ci-o

+ X (c — di) '

en posant

4 L (a + bi) (c — di) ) ei-n = — ï— ^ L.-J-1 — L 11 d).

Cette dernière équation donne vj, en la décomposant en sa partie réelle et sa partie imaginaire, et posant

a ~\- bi ~ reit

c -\- dt — — tang — • . ei-r

1 + 2rp cos (t—r) + r- p- cos Î2(/ — t)]