RÈGLES DE LA PROJECTION STÉRÉOSGOPIQUE

Supposons que le plan du papier (fig. 194) représente le plan de visée, dans lequel les points P et Q seront les centres des lignes de visée pour les deux yeux. Soit AB l'intersection, avec le plan de visée, d'un dessin stéréoscopique perpendiculaire à ce plan aussi bien qu'au plan médian de la tête, ce dessin se trouvant ainsi dans la position où l'on met généralement les dessins stéréoscopiques. Soit CD h ligne médiane du plan de visée, S un point à représenter, qui peut être situé en dehors du plan de visée, cas dans lequel S représente le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan de visée. Pour trouver la projection du point S dans les deux dessins, menons les lignes SP et SQ^ qui coupent

Fig. 19/j.

le plan du dessin en ^ et en T. Ces deux points sont ceux où il faut représenter respectivement pour l'œil P et pour l'œil Q. Pour désigner la position de ces points, nous nous servirons de coordonnées rectangulaires parallèles respectivement au plan de visée^, au plan médian et au plan du dessin à construire, et dont l'origine 0 soit le point d'intersection de ces trois plans. Soient d'ailleurs OA la direction des x positifs, OD celle des z positifs, celle des y étant perpendiculaire au plan du papier. Désignons, d'après cela, les coordonnées :

1° du point P, 2« du point Q,

par a; = + P^ï" x — a,

§ 30. CONSTRUCTION DES IMAGES STÉRÉOSCOPIQUES. (666) Sl\'ô

3° du point S, par X = a, y = p, z = y;

4° du point R, 5« du point T,

par X = '^Q, par 05 = ,

z = 0; z = 0; les conditions pour que les points P, B, S se trouvent en ligne droite, sont « — ^ P ^ y + ^

et celles pour que (>, 7 et S soient en ligne droite sont

On voit d'abord que

c'est-à-dire que, dans les deux images, les hauteurs des points correspondants au-dessus de la ligne horizontale AB doivent être égales. Les deux équations donnent, de plus,

y (a — a) ccb ya

y (oc + «) ab — ya

La différence c de ces deux valeurs,

2ya

est indépendante des valeurs de a et de (3 ; elle est donc la même pour tous les points situés à la même distance en arrière du plan du dessin; Cette différence (?o — ?i) désigne la grandeur du déplacement que subissent, à droite ou à gauche, les points de l'un des dessins par rapport à ceux de l'autre, en admettant qu'on superpose ces dessins en faisant coïncider les points supposés dans le plan même du dessin (le cadre, par exemple). Dans un grand nombre de cas il vaut mieux, au contraire, comparer les dessins en faisant coïncider les points infiniment, éloignés, tels que les points p , q que rencontrent les deux lignes de regard Pp et Qq, parallèles à CL. Si nous posons y =00, l'équation Ib) donne

et si nous posons et

il vient

Shk {667) TROISIÉAiE PARÏiE. — DblS PERCEPTIONS VISUELLES. § 30.

Dans cette équation, la désigne h distance des deux yeux, h la distance du dessin, p la distance de l'objet à un plan mené, par les centres des deux yeux, perpendiculairement au plan de visée. Pour tous les points réels, situés en avant des yeux, e est nécessairement toujours positif, puisque 2a, b et p sont toujours positifs ; on voit donc que, dans l'image destinée à l'œil droit, tout point plus rapproché se trouve plus à gauche que dans celle de l'œil gauche. L'équation le) montre en même temps que la différence stch^éoscopique, e, est très-petite pour de grandes distances, et ne devient grande que pour de petites valeurs de p.

Cette circonstance, que la valeur de e est la même pour tous les objets situés dans un même plan parallèle au plan du dessin, a été utilisée par O.-N. Rood (1), pour construire un instrument à l'aide duquel on peut tracer des images stéréoscopiques conjuguées en partant d'un dessin perspectif unique d'un objet quelconque. On fixe sur une lame de verre horizontale l'original rendu transparent avec de l'huile, on l'éclairé par en dessous, et l'on pose sur le dessin un cadre rectangulaire, sur la face inférieure duquel on a tendu une feuille de papier. On peut, h l'aide d'une vis, donner à ce cadre de légers mouvements vers la droite ou vers la gauche. On calque une première fois le dessin, sans changer la position du cadre; on fait ensuite le second dessin en commençant par la ligne la plus antérieure et passant successivement aux lignes les plus éloignées ; pendant la confection de cette seconde épreuve, toutes les fois qu'on passe à des points plus éloignés, on déplace le cadre de la faible quantité qui répond à la différence de profondeur- On obtient, de cette manière, deux dessins qui, combinés au stéréoscope, donnent l'effet du relief.

Lorsqu'on projette stéréoscopiquement deux points éloignés de distances différentes, et p^p si l'on désigne par et e,, les différences stéréoscopiques correspondantes, on a

\ P) Pli

Supposons que, dans cette équation, — e,, soit la plus petite distance perceptible dans le dessin, nous obtenons, pour les distances p^ et p^^ des valeurs correspondantes qui sont à la limite des différences perceptibles. Posant, pour abréger,

l'équation 2a) devient

f p; Pli '

ce qui est la formule donnée plus haut pour ce cas. Si nous désignons par r la moyenne géométrique de p et de p^^ cette dernière fornmle peut s'écrire encore

Pu Pi — f y

(1) American Journal of science and arts^ jan. 1861, XXXI^ p. 71.

§ 30. CONSTRUCTION DES IMAGES STÉRÉOSCOPIQUES. (668) 8Zi5

c'est-à-dire que les différences d'cloignmient perceptibles au stéréoscope^ augmentent comme le carré de la distance moyenne géométrique r.

Pour nous procurer un aperçu des modifications que subit le relief stéréoscopique pour différents déplacements des images, il faut exprimer les coordonnées apparentes du point a, (3, y en fonction de celles de ses deux images, ^g, u. Il résulte des équations 1) et 2) la relation

ou bien

de même

et

Cf. — a a -\- a a — ?o a — ^1

ou si, comme précédemment, nous posons la différence stéréoscopique

désignant par x la moyenne arithmétique de et g^, il vient

Si, pendant que nous fusionnons deux photographies stéréoscopiques conjuguées, nous les déplaçons horizontalement dans leur plan de manière à faire augmenter x sans faire varier e, 'jet b, les valeurs de «augmentent sans que celles de p et de p subissent aucun changement. L'augmentation de « 'est plus grande que celle de y, dans le rapport de la à e. Éliminant la différence stéréoscopique e entre la première et la troisième des équations 3a), il vient

Les accroissements de a sont donc aussi proportionnels à la distance apparente P du point de l'objet ; on voit donc que les points qui, avant le déplacement de l'épreuve stéréoscopique, paraissaient situés exactement les uns derrière les autres, c'est-à-dire pour lesquels la valeur de x était la même, se trouvent encore, après le déplacement, sur une même ligne droite qui passe par le milieu de la ligne de jonction des deux yeux.

8/i6 (669) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 30.

Si nous éloignons des yeux un couple d'images stéréoscopiques, ce qui revient à faire augmenter b sans faire varier x, u, e et a, les valeurs de a et de (3 restent inaltérées, tandis que la troisième dimension p augmente dans la même proportion que b. Il est facile d'observer qu'effectivement, lorsqu'on éloigne une épreuve stéréoscopique tout en maintenant le parallélisme des lignes visuelles nécessaire pour la fusion, le relief devient d'autant plus marqué qu'on augmente davantage la distance de l'épreuve.

Enfin, pour nous procurer un aperçu des changements qui surviennent lorsqu'on fait varier la distance qui sépare deux images stéréoscopiques, écrivons les équations 3a) sous la forme

et remarquons, en même temps, qu'on a 2x = 'io e = 2a + ?j — J^. Si

l'on rapproche les dessins en les déplaçant chacun de la quantité n, il en résulte que ^0 diminue et que augmente de la quantité v^; par suite, x (ainsi que u) reste invariable, tandis que la valeur de e augmente de 2v7. Nommons maintenant «1, Pl, Pl les valeurs c[ue prennent «, p, p, après ce déplacement : les équations 3b) deviennent

ai X pl y 1 e + 2^

Pl b ' Pj b ' Pl

Si, dans ces nouvelles équations, on remplace u et e par leurs valeurs tirées de 3b), on obtient

«1 a Pl P ^

Pl P Pl P 9i

Dans ces relations, a, p, p sont les coordonnées primitives du point de l'espace, prises par rapport à un système dont l'origine, à laquelle nous donnerons le nom àe point de vue, est située au milieu de la ligne qui joint les deux yeux; a^, p^, pi, sont, dans le même système, les coordonnées de la position que paraît prendre le point après le rapprochement des projections stéréoscopiques exactes. Les équations k) donnent, sans indétermination, la position que prend Timage de chaque point, après le déplacement des dessins. Les deux premières équations nous apprennent que la position apparente et la position vraie du point sont situées toutes deux sur une même ligne droite qui passe par l'origine des coordonnées. La troisième équation indique que sa distance au plan vertical mené par les deux yeux a changé, et que, pour des valeurs positives dey/, elle a diminué. Posant ab:Y)=p, cette dernière équation devient

Pl P P

§ 30. CONSTRUCTION DES IMAGES EN RELIEF. (670) 8/i7

ce qui est en même temps l'équation qui donnerait, pour une lentille concav e de distance focale la distance de l'objet p et de son image pj.

Pour les points infiniment éloignés, il vient ^ =og ci ^^ r=p.

La distance p est donc celle où se trouve le plan dans lequel se peignent tous les points infiniment éloignés de l'original; avec Breysig, nous lui donnerons le nom de plan principal.

Si le point a, p est un point quelconque d'un certain plan déterminé, c'està-dire s'il existe pour ce point une équation de la forme

.4oc + 5(3 + C^p + D = 0 5),

il résulte des équations k) et Zta) la relation

^«1 + ^Pi + - y] Pi + ^> = 0 5a).

On voit donc que les points de l'image sont également compris dans un plan ; et si l'on a A=B = c'est-à-dire si le plan de l'original est parallèle au plan vertical p = 0 mené par les deux yeux, l'image de ce plan est également parallèle à la position qu'occupe ce plan dans l'original. Si l'on a, de plus, D = 0, c'està-dire si le plan de l'original passe par l'origine des coordonnées, ou point de vue, le plan de l'image coïncide exactement avec le plan de l'objet.

Si nous avons, dans l'original, un groupe de plans parallèles dont les équations, données sous la forme 5) ne diffèrent entre elles que par la valeur de D, l'équation 5a) des images de ces plans, lorsqu'on y fait = p, se réduit à

A<x^ -\- Cp = 0 4c),

équation indépendante de B. Cela signifie que les images de tous ces plans parallèles coupent le plan ^^==p{\e pian principal) suivant une même ligne droite dont l'équation est ^c).

On voit donc que les images d'un groupe de plans parallèles ne se rencontrent pas et ne rencontrent pas le plan principal, à moins de se rencontrer toutes en une même ligne, leur ligne de fuite, qui est située également dans le plan principal. Comme, d'après une observation faite plus haut, dans notre groupe de plans parallèles, celui qui passe par l'origine des coordonnées coïncide nécessairement avec son image, ce plan de l'objet doit couper aussi le plan principal suivant la ligne de fuite. Par conséquent, pour trouver la ligne de fuite d'un groupe de plans parallèles, il suffit de mener par le point de vue un plan qui leur soit parallèle : la ligne de fuite demandée est l'intersection de ce plan avec le plan principal.

Mettons maintenant les équations a) sous la forme

p P a6 -j- py,

ponr p = 0, il faut qu'on ait

Pj = p = 0, «1 = a, Pi =

8^8 {611) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 30. et, par conséquent, pour chaque point du plan p = 0, l'image coïncide avec l'original.

Nommons plan de congruehce {plan d'image de Breysig), ce plan p = 0|; il suffit, pour construire l'image d'un plan quelconque A de l'original, de faire passer un plan par l'intersection de A avec le plan de congruence et par la ligne de fuite relative à A .

On peut considérer les lignes droites de l'original comme étant les intersections de plans deux à deux. Leurs images, devant être les intersections des images de deux plans, sont donc nécessairement des lignes droites. On peut considérer un groupe de droites parallèles comme formé par les intersections de deux groupes de plans parallèles. Les images de ces plans coupent respectivement le plan principal suivant leurs deux lignes de fuite respectives ; par conséquent leurs intersections, c'est à-dire les images des lignes parallèles de l'original, passent nécessairement par le point d'intersection des deux lignes de fuite, si toutefois ces deux lignes de fuite se rencontrent, ce qui n'aurait pas lieu si les lignes parallèles données étaient parallèles au plan principal et au plan du visage.

Ainsi, les images de lignes droites parallèles qui ne sont pas parallèles au plan principal, coupent ce plan en un point, le point de fuite.

Pour une ligne droite de l'original, qui ne soit pas parallèle au plan principal, on trouve le point de fuite en menant par le point de vue une parallèle à cette droite: l'intersection de celte parallèle avec le plan principal est le point de fuite.

Pour trouver l'image d'une ligne droite de l'original, il suffit de mener une ligne droite par l'intersection de la droite donnée avec le plan de congruence et par le point de fuite.

On voit que ces règles de construction sont absolument les mêmes que celles qui ont été indiquées pour les reliefs^ avec cette seule différence que, pour les reliefs, le plan dont les points coïncident avec leurs images {plan d'image de Breysig) ne passe pas nécessairement par les yeux ; pour les reproductions en relief, cette condition n'a besoin d'être remplie que lorsque la grandeur de Tobjet à représenter doit paraître inaltérée.

En effet, qu'on se figure les coordonnées des points de l'original réduites ou augmentées toutes dans le même rapport, il faut, dans les équations remplacer respectivement.

par

îJa, «p, np ;

alors les équations l\) deviennent