VALEUR CALCULÉE

Oo

lo,0Ï3

(1) Expériences 100-112, dans le second fascicule de Physiologische Untersuchungen im Gebiete der Optik, p. 202-213.

(2) Le chiffre de Volkmann, page 213, provient d'une faute de calcul.

(3) Moyenne des deux séries d'expériences 106 et 107.

§ 31. DE L'HOROPTÉRE. (715) 901

périeiice. Dans ce tableau, les constantes y et ^ de la formulé précédente ont été déduites de l'ensemble des observations, par la méthode des plus petits carrés.

Les erreurs probables des moyennes des observations sont déduites des valeurs trouvées par Volkmann dans les différentes séries. On voit qu'en général, la différence entre le calcul et l'observation n'est pas plus grande que les erreurs probables qui se présentent dans de semblables séries d'observations; il est donc permis de considérer l'accord entre la théorie et les observations comme satisfaisant.

Après avoir déterminé la position des points correspondants dans les deux champs visuels, nous pouvons rechercher la position des points de l'espace qui se présentent sur des parties correspondantes des deux rétines et qui paraissent, par conséquent, simples. L'ensemble de ces points porte le nom horopière. C'est, en général, une courbe à double courbure, qui peut être considérée comme étant l'intersection de deux surfaces du second degré (hyperboloïde à une nappe, cône ou cylin- ! dre) . L'intersection de deux surfaces du second degré est en général une ligne du li^ degré, c'est-à-dire telle qu'un plan peut la rencontrer en quatre points. Mais, dans le cas qui nous occupe, les deux surfaces qui se coupent ont une ligne droite commune, qui n'est pas horoptère, et le reste de l'intersection est une courbe du troisième degrés c'est-àdire qu'un plan quelconque ne peut la couper qu'en trois points. Cette courbe présente cette propriété remarquable que les lignes droites qui joignent un même point quelconque de cette courbe à tous ses autres points, forment un cône du second degré. Si l'on prend pour sommet du cône un point de la courbe qui soit infiniment éloigné (elle présente au moins deux branches infinies) , le cône devient un cylindre dont la base est une courbe du second degré. Pour nous former une idée de la forme d'une semblable courbe du troisième degré, nous pouvons donc la supposer dessinée sur une surface cylindrique, laquelle serait déroulée ensuite sur un plan.

La ligne pleine eahcf (fig. 206, p. 902) représenterait alors la courbe. Supposons le papier enroulé en forme de cylindre à base circulaire, de manière que les lignes g g et hh coïncident, la courbe prendrait la forme d'une courbe du troisième degré. La courbe ponctuée désigne l'intersection du cylindre avec un plan (par ex. le plan de visée). Ce plan coupe la courbe du troisième degré en trois points a, h, c. Au delà des deux points e et /, la courbe se dirige vers l'infini en ayant pour asymptote unique la ligne g g ou hh.

Si nous considérons la courbe du troisième degré comme horoptérique, il faut qu'elle passe par les points de décussation des lignes de visée des deux yeux. — Soient ô et c les positions des deux yeux, a le

902 {7iâ) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31. point de fixation. La portion de courbe bc, située entre les deux yeux, est située dans l'intérieur de la tête et ne peut pas être considérée comme faisant partie de l'horoptère (du moins suivant la signification généralement attribuée à ce mot, et qui est conforme à la définition donnée plus haut) ; en effet, si les points de cette partie émettaient des rayons qui pussent véritablement pénétrer dans les deux yeux, ils se peindraient sur les parties externes des deux rétines, qui, par conséquent,

FiG. 206.

ne peuvent pas être correspondantes; d'ailleurs la détermination de l'horoptère ne présente aucune signification pratique pour les points tiès-rapprochés des yeux, qui n'y forment que de grandes images de diffusion. L'horoptère, considéré comme tel, se compose donc de deux branches séparées, eb et /b, portions de la courbe du troisième degré qui se trouvent entre les yeux et finfini. Comme il est plus commode, pour l'étude géométrique, de considérer la courbe du troisième degré tout entière, nous la nommons courbe horoptérique, et nous réserverons le nom d^hor opter e pour les parties de la courbe que l'on voit simples. Les lignes de visée correspondantes se coupent donc sur la courbe horoptérique, tantôt toutes les deux par leur partie antérieure, tantôt l'une ne rencontre l'autre que par son prolongement postérieur ; les points où fintersection se produit de cette manière n'appartiennent pas à l'horoptère.

Dans certaines conditions, la courbe horoptérique peut, du reste, se rapprocher suffisamment de son asymptote droite gg et de la hgne ad

§ 31. DE L'IIOROPTÉRE. (715) 003

réduite à une courbe plane du second degré, pour coïncider avec ces lignes. La courbe horoptérique se compose donc alors d'une ligne droite et d'une courbe plane du second degré, qui se coupent en un point. Les deux branches séparées de la courbe horoptérique se réunissent alors en ce point d'intersection. C'est ce qui arrive toutes les fois que les deux horizons rétiniens forment avec le plan de visée des angles égaux, mais de sens contraire, le point de fixation étant à une distance finie ; cette condition est satisfaite, à son tour, dans les yeux dont les mouvements suivent la loi de Listing, lorsque le point de fixation est, soit dans le plan médian de la tête, soit dans la position primaire du plan de visée. Dans le premier cas, le point de fixation se trouve sur la droite horoptérique, et, dans le second, sur la section conique qui, dans ces conditions, est un cercle : le cercle horoptérique de J. Mûller. Enfin, lorsque le point de fixation est à la fois dans le plan médian de la tête et dans la position primaire du plan de visée, il est à l'intersection de la ligne droite et du cercle horoptérique. On trouvera plus loin, avec la théorie mathématique, des méthodes plus exactes pour la construction de la position des lignes horoptériques.

Dans un seul cas, l'horoptère est une surface, et cette surface est un plan : c'est lorsque le point de fixation se trouve dans le plan méridien et à une distance infinie, et que les horizons rétiniens sont situés alors dans le plan de visée, comme cela a lieu, au moins d'une manière trèsapproximative, dans les yeux à vision normale. Ce plan horoptérique est parallèle au plan de visée; la distance qui l'en sépare dépend de la valeur de la divergence des méridiens verticaux apparents des deux champs visuels; en effet, le plan horoptérique passe par la ligne d'intersection de ces deux plans méridiens ; pour les yeux normaux qui sont dirigés droit vers l'horizon, il se confond approximativement avec le sol sur lequel marche l'observateur, tandis qu'il est, le plus souvent, à une distance plus grande pour les myopes.

La distance entre les centres de nies yeux est de 68™"", leur hauteur au-dessus du sol est de i'^.QQO. Si l'on fait passer des plans par leurs centres et la ligne médiane du plan horizontal mené par mes pieds, ces plans se coupent suivant nn angle de 2° 20' US" ; l'angle compris entre mes méridiens verticaux apparents est de 2° 22'. Pour le docteur Knapp, dont la vue est normale, la distance des yeux est de 62"™, 5 et leur hauteur au-dessus du sol de 1"',6'27, ce qui répond à un angle de 2^^ 14' 20". L'observation a donné, en moyenne, 2° 8' pour l'angle des méridiens verticaux apparents. Chez M. le professeur Volkmann, dont les yeux, faiblement myopes, ont à peu près le même écartement et la même hauteur au-dessus du sol que les miens, la différence est un peu plus forte, puisque l'angle formé par les méridiens verticaux apparents n'est que de 2° 9'. Chez

904 {116) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31. M. Dastich, la distance des yeux est de 62,8, leur hauteur, de 1"\640; l'angle correspondant serait de 2° 11'; l'angle de convergence des méridiens verticaux s'est trouvé plus considérable et mesurait de 2° 33' à 2° Zi-0'.

Je ne coDsidère pas comme invraisemblable qu'on doive attribuer à cette circonstance la position oblique des méridiens verticaux apparents. — Nous avons vu plus haut que, dans le champ visuel monoculaire, l'estimation ne donne pas de base sûre pour déterminer leur position, parce que les angles dont les côtés ne présentent pas des directions concordantes ne peuvent pas être comparés par superposition avec les mêmes parties de la rétine. Lorsque nous nous servons des deux yeux, au contraire, et que nous les dirigeons vers des objets lointains, qui donnent seuls des résultats constants pour la comparaison des mensurations dans les deux champs visuels, nous voyons le plus souvent, au-dessus de l'horizon, le ciel, qui, pendant le jour, ne présente pas d'objet nettement dessiné, et, au-dessous, le sol, qui non-seulement présente un grand nombre de points visuels déterminés, mais dont l'observation indirecte est essentiellement nécessaire pour la sécurité de la marche. C'est à cet effet que les yeux normaux s'habituent sans doute à localiser pareillement les images des points rétiniens qui reçoivent ordinairement, dans la marche, l'image des mêmes points du sol. Les yeux myopes, qui ne voient pas distinctement le sol, échappant à cette influence, doivent se régler plutôt sur la vision des objets rapprochés, pour la production de leurs rapports d'identité.

Mentionnons encore que lorsqu'en maintenant droits le corps et la tête, on regarde un point du sol qui se trouve également dans le plan médian de la tête, le plan du sol n'est pas horoptère dans toute son étendue, mais que la ligne droite horoptérique est contenue tout entière dans ce plan.

Il paraît, d'ailleurs, exister des yeux pour lesquels les méridiens verticaux apparents ne sont pas tout à fait droits, mais présentent un faible renfoncement dans le voisinage du point de fixation, de manière que leurs moitiés supérieures font entre elles un angle plus petit que les moitiés inférieures. C'est de cette manière qu'un étudiant, trèsexercé aux observations d'optique, m'a décrit ce qui existe pour ses yeux. Dans ce cas, l'influence du sol ne paraît s'être exercée que sur les parties inférieures des champs visuels (moitié supérieures des rétines) , tandis que pour les autres parties, le besoin de voir droites les Ugnes droites ne passant qu'en seconde hgne, les nécessités de l'observation des surfaces verticales avaient produit un rapport d'identité différent.

§ 'M, HOROPTÈRE DE LIGNES. [717) 905

Ce qui précède s'applique à l'horoptère comme lieu des points qu'on voit simples. Pour que des lifjnes soient vues simples, il suffit que les lignes qui les représentent sur les deux rétines soient correspondantes, sans qu'il soit nécessaire que les images se correspondent point par point. Lorsqu'une seconde image d'une ligne glisse suivant cette ligne elle-même, elle peut cependant coïncider, dans toute sa longueur, avec la première. C'est ainsi que les lignes droites peuvent glisser indéfiniment sur elles-mêmes. On appelle horoptère de lignes^ la surface dans laquelle doivent être contenues les lignes droites de direction déterminée pour fournir ainsi deux images correspondantes. On appelle horoptère des verticales, cette surface relative à des lignes qui paraissent perpendiculaires aux horizons rétiniens dans les deux champs visuels ; horoptère des horizontales, celle qui comprend les lignes qui paraissent parallèles aux horizons rétiniens. Un horoptère de lignes, pour des lignes dont les images sont parallèles est, en général, un hyperboloïde à une nappe qui, dans des cas particuliers, peut se transformer en un cylindre ou un cône. L'horoptère de lignes, relatif à un système de lignes droites qui se coupent en un point de la courbe horoptérique, est un cône du second degré qui joint le point d'intersection commun aux autres points de la courbe horoptérique.

En général, on voit simple toute ligne droite qui passe par deux points de la courbe horoptérique, et, par chaque point de l'espace, on peut faire passer au moins une ligne droite qui paraisse simple quand elle est vue binoculairement. Voici comment on trouve cette ligne. Du point dont il s'agit, on mène les lignes de visée qui le joignent aux deux yeux ; désignons l'une par a et l'autre h\ Dans le premier œil, il y a une hgne de visée b qui correspond à U ; dans le second, une ligne qui correspond à a. Menons deux plans, l'un par a et et l'autre par «' et U ; la ligne d'intersection de ces deux plans est la ligne demandée.

Je vais encore décrire les constructions à l'aide desquelles on peut trouver, dans les deux cas simples mentionnés plus haut, la position des horoptères des liorizontales et des verticales, et, par suite aussi, la position de la courbe horoptérique, en admettant que les yeux de l'observateur obéissent à la loi de Listing, et ne présentent pas, dans la position primaire, d'aberration sensible des horizons rétiniens par rapport au plan de visée.

A. — Le point de fixation est dans le plan médian. — L'horoptère des verticales est un cône ; Fhoroptère des horizontales se compose de deux plans qui se coupent, et la courbe horoptérique, d'une hgne droite et d'une section conique plane.

Supposons que,^dans la figure 207 (p. 906), le plan du dessin se con-

fonde avec le plan médian de la tête de l'observateur, qui est debout, et que la position de la tête soit telle que la position primaire des lignes de regard soit horizontale et parallèle kAo, le regard étant porté au loin. Soit 0 le milieu de la ligne qui joint les points de décussation des lignes de visée. Elevons en o la perpendiculaire oa sur la ligne oA , et

prolongeons-la jusqu'au point a, où se coupent les axes équatoriaux verticaux apparents, tels qu'ils sont placés dans la position primaire des lignes de regard. L'horoptère pour la direction visuelle oA est alors un plan horizontal DE mené par a. Gomme on l'a déjà vu, ce plan se confond à peu près avec le sol, pour les yeux normaux.

Soit maintenant B un nouveau point de fixation, supposé contenu dans le plan du dessin, c'est-à-dire dans le plan médian de la tête de l'observateur. Bo est l'intersection du plan de visée avec le plan médian. Supposons construit, dans le plan de visée, le cercle de Muller qui passe par B et par les points de décussation des lignes de visée des deux yeux ; soit Bp son diamètre médian. Elevons sur Bp la perpendiculaire pb qui contient le sommet du cône horoptérique des verticales.

Pour trouver la position de ce sommet, servons-nous d'un troisième point de fixation C, choisi de telle façon que la ligne Co' soit la bissectrice de l'angle Ao'B^ si nous désignons par o' le point de décussation des lignes de visée de l'un ou de l'autre œil, point qui se trouverait, par conséquent, un peu en avant ou en arrière du plan du dessin sur une perpendiculaire élevée en o.

Le plan de visée pour le point de fixation C est alors l'un des plans de l'horoptère des horizontales, relatif au point de fixation B» Le second plan de cet horoptère des horizontales est le plan médian. Trouvons,

FiG. 207.

§ 31. HOROPTÉRE DE LIGNES. {718) 907

dans le plan de visée mené par (7, le cercle de MûUer relatif à ce point, c'est-à-dire un cercle passant par le point de fixation et par les points de décussation des lignes de visée et dont le diamètre soit Cq. Alors, en regardant le point B, on verra simples : 1" toutes les lignes droites situées dans le plan Coo' ; 2° toutes les lignes droites contenues dans le plan médian et qui passent par le point q; mais il faut remarquer que, pour ces dernières, l'image de leur extrémité la plus éloignée répond, dans un œil, à celle de l'extrémité la plus rapprochée, dans l'autre.

Elevons en q, sur Cq, une perpendiculaire qui coupe la ligne DE en c ; Bc est la ligne droite horoptérique, et le point /, intersection de Bc et de pb, est le sommet du cône horoptérique des verticales, qui est alors déterminé, parce qu'il passe par le cercle de Mttller de diamètre Bp, contenu dans le plan de visée de l'observateur.

Ainsi, tandis qu'une des hgnes de l'horoptère des points est la droite Bf, la seconde est Tellipse suivant laquelle le cône coupe le plan Coo\

La section Bp du cône est circulaire et fait un angle droit avec la génératrice pf du cône; une section perpendiculaire à la génératrice dia^ métralement opposée Bf et coupant le plan médian suivant Go serait également circulaire. Les sections du cône qui passent par les centres des yeux et qui sont situées entre Bo et Go sont des ellipses à grand axe horizontal. Celles situées en dehors de l'angle BoG, comme Co, sont des ellipses à grand axe médian, et respectivement des paraboles ou des hyperboles, lorsqu'elles ne rencontrent la ligne Bf qu'au delà de /.

B. — Le point de fixation est dans la position primaire du plan du

; regard. — Dans ce cas, l'horoptère des verticales est un hyperboloïde qui coupe le plan de visée suivant un cercle (cercle horoptérique de Millier) mené par le point de fixation et par les points de décussation des lignes de visée. L'horoptère des horizontales se compose de deux plans dont l'un est le plan de visée, et l'autre lui est perpendiculaire, — La courbe horoptérique se compose du cercle de

! Millier et d'une ligne droite.

Soient « et ô (fig. 208) les points de décussation des lignes de visée pour les deux yeux, c le point fixé ; Je cercle mené par abc est le cercle horoptérique de Millier, qui con-

908 {H9) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31. stitue une partie de la courbe horoptérique. Soit, de plus , fg la ligne médiane du plan de visée; la ligne droite horoptérique coupe le cercle en /, et par conséquent latéralement par rapport au point de fixation. Menons le diamètre cd et la ligne fd\ par cette dernière, élevons un plan perpendiculaire au plan du cercle; c'est le second plan de Fhoroptère des horizontales. Toutes les lignes droites situées dans ce plan, et qui passent par le point sont vues simples ; il en est de même de toutes les droites situées dans le plan de visée.

Pour construire complètement la ligne droite horoptérique, prenons sur fd la longueur fh — fa^ élevons en h une perpendiculaire au plan de visée; celle-ci coupe le plan du sol, c'est-à-dire le plan horoptérique infini relatif à la position primaire des lignes du regard, au même point que la ligne droite horoptérique, et cela suffît pour construire cette ligne.

Si l'aberration du méridien vertical apparent est nulle, la ligne droite horoptérique devient perpendiculaire au plan du cercle.

On peut trouver empiriquement la position de l'horoptère des lignes en disposant, en avant d'un fond sombre, un fil métallique droit et brillant ou un fil blanc bien tendu, de manière à le voir simple à travers deux verres de différentes couleurs, ou, mieux encore, de façon qu'on en voie deux images parallèles dès qu'on fait un peu varier la convergence des yeux. — Si, par exemple, on tient près des yeux un fil métalHque vertical situé dans le plan médian de la tête, et qu'on en fixe le milieu avec une position horizontale du regard, on trouve que son extrémité supérieure paraît pencher un peu à gauche pour l'œil droit, à droite pour l'œil gauche. Si l'on fixe un point un peu plus éloigné que le milieu du fil métallique, on en voit deux images croisées qui divergent vers en haut ; si l'on fixe un point un peu plus rapproché, le fil présente des images directes et qui divergent vers en bas. Pour voir le fil exactement simple à travers deux verres colorés, ou pour que lesim^ages doubles qu'il donne pour une variation de convergence soient exactement parallèles, il faut éloigner un peu son extrémité supérieure. Ce phénomène a été observé d'abord par Baum et employé par Meissner, comme on l'a vu plus haut, pour l'étude des torsions de l'œil. En effet, dès que la torsion modifie l'angle compris entre les lignes correspondantes verticales apparentes, il faut modifier l'incHnaison du fil par rapport au plan de visée pour qu'il paraisse simple. Plus le point de fixation est éloigné et plus le plan de regard est élevé, plus il faut incliner le fil par rapport à ce plan. Lorsque le regard est abaissé et que le point de fixation est voisin, le fil peut être perpendiculaire au plan