ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DE L'HOROPTÈRE

Lois des points contes pondant s et des lignes correspondantes. — Qu'on se figure deux plans menés normalement aux lignes de regard, à la même distance du point de croisement de ces deux lignes. Soient x et y les coordoimées dans l'un de ces plans ; soient ^ et u celles d'un système placé arbitrairement dans l'autre. Soient a; = ?/=::0et^ = y = 0les intersections des lignes de regard avec ces plans. Soient

aa; + 6y — 0 et -|- (3u = 0 1)

les lignes suivant lesquelles les horizons rétiniens coupent nos deux plans, et

ex dy = 0 et 4- (îu = 0 la),

celles suivant lesquelles les méridiens verticaux apparents coupent ces mêmes plans.

Si les coefficients sont choisis de telle sorte qu'on ait + 6^ ==a^ + 1 )

conditions qu'il est toujours possible de satisfaire en multipliant les deux coefficients de chacune des équations par un facteur constant, ce qui n'altère pas ces équations 1) et la), on sait, d'après une proposition connue de géométrie analytique, que l'expression

ax -|- by

est celle de la distance d'un point x-y à une ligne dont l'équation est ax + by — 0. Les autres expressions, qui sont égalées à zéro dans les équations 1) et la), présentent une signification analogue. On peut donner, d'ailleurs, au facteur par lequel il faut multiplier les coefficients de ces équations, un signe tel que les expressions

ax -f- by et + Pu

soient positives pour des côtés correspondants des deux horizons rétiniens et que, de même, les expressions

ex -{- dy et y'i -[- §v

soient positives pour les côtés correspondants des méridiens verticaux apparents.

Les expériences nous ont conduit à cette loi que, dans les deux plans, ces pointslà sont correspondants, qui sont à la même distance des horizons rétiniens, d'une part, et des méridiens apparents verticaux, d'autre pari. Si les conditions Ib) sont satisfaites pour les coefficients des équations 1 cl la), les conditions de la correspondance sont :

ax by = ai -\- |3u ex -{- dy = yi -\- Su j

m (747) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31.

Nous nommons correspondantes, dans les deux champs, deux lignes telles qu'à chaque point de l'une réponde un point correspondant sur l'autre. Soient l, m et n des constantes arbitraires, la ligne

l {ax -\- by) m {ex dy) n = 0 i d),

a pour correspondante, dans l'autre champ, la ligne

i(a? + Pu) + m(y?-l-r]u) + n = 0 le).

En effet, si, pour des valeurs constantes quelconques de x-y, nous menons dans le second champ la ligne

<x^ -\r ^rj = ax by If),

on a aussi, pour son intersection avec la ligne le),

-f ,5u ~ co? + dy,

ainsi que cela résulte ici de la soustraction des équations Id) et le). Le point d'intersection de le) et de If) est donc ici correspondant au point x-y. L'équation d'une ligne droite quelconque

fx -\~ gy -\- h = 0. . . , 1g)

peut se ramener facilement à la forme Id), en posant

f z= la me g = Ib -\- md h ~ n

ou bien

ad — 6c

bf—ag

6c — ad

relations qui définissent sans indétermination les trois coefficients de l'équation Id). En déduisant ensuite, de l'équation Id), l'équation le), on trouve la hgne correspondante de Ig).

Si nous divisons l'équation Id) par

k = l^{la + mcY -\- (Ib + mdy,

l'équation prend la forme normale des équations de plans, la quantité n : k désignant la distance entre le plan Id) et l'origine des coordonnées. Si nous posons

la quantité n : x désigne cette même distance pour le plan le). Les deux distances ne sont donc égales que si l'on a

§ 31. CALCUL DES POINTS CORRESPONDANTS. (748) 9/i3

En tenant compte de l'équation Ib), ceci donne

2ml (ac -f bd) — 2ml («y + (3<5) = 0.

Si l'on n'a donc pas

ac -\- bd — o^y (3^,

c'est-à-dire si les deux couples de plans ne font pas entre eux des angles égaux dans chaque œil, notre condition ne peut être remplie que pour m=0 ou l — O, c'est-à-dire si les plans Id) et le) coïncident^ soit avec les plans 1), soit avec les plans la). Ces deux derniers plans sont donc remarquables parmi tous les autres couples de plans correspondants qui passent par les lignes de regard. Nous pouvons, pour ce motif, leur donner le nom de plans méridiens principaux.

Longueurs correspondantes. Angles correspondants. — Plaçons, pour plus de commodité les axes des x et des 5 dans l'horizon rétinien ; il vient, dans les équations 1),

admettons, de plus, que les méridiens verticaux apparents occupent une position 1 symétrique, ce qui ne s'éloigne généralement pas notablement de la vérité, on peut poser alors

— == = — tang £,

OÙ s désigne l'écart entre le méridien vertical apparent et le méridien vertical véritable, dans chaque œiL On a alors

c = ces £ y — s

d = — - sin s (5 = sin s.

Les équations des horizons rétiniens sont alors

y == 0 et u = 0 1h),

celles des lignes verticales apparentes sont

03 ces £ — y sin £ = 0 et § ces c -j- u sin c = 0 . . . . 1 i),

et les équations de lignes correspondantes, menées par les points de regard, deviennent, d'après 1) et le),

a;m CCS £ — y {l ~ m sin e) = 0 cos £ -|- u 4" ^ sin £) = 0.

Soient s et a les angles que ces lignes font respectivement avec les axes des x et des ^, on a

tang s = —

tang G = —

w cos £ l — m sin g '

m cos £ ? -j- m sin £ '

m TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31.

d'où il résulte

2m^ cos £ sin e

tang (<7 — s)

+ cos (20 ' 2mi cos £

tang(a + s) = - .

Si nous posons maintenant

— ■= tang p ,

il vient

tang2 p . sin (2 e)

''•"^ + 1 + tang= (3 cos (2c)' tang ((7 + s) = — tang (2j3) cos c,

ou bien, comme s est un angle relativement petit, ce qui permet de poser cos s = cos 2s == 1 et sin 2c = 2 c,

^ 2 G — S = 2s sin-p.

Les angles s et a sont comptés à partir des horizons rétiniens. Si l'on veut les compter à partir du plan de visée, il faut ajouter encore à la différence Tangle y que forment entre eux des horizons rétiniens^ et nous obtenons ainsi, pour cette différence, la formule que nous avons déjà employée :

A = y + 2£sin 2j3 2).

Lignes de visée correspondantes et plans correspondants. — Menons des lignes droites par chacun des points d'un couple de points correspondants et par le point de décussalion des lignes de visée de l'œil qui reçoit l'image de ce point, ces lignes sont des lignes de visée correspondantes. Les points situés sur de pareilles lignes de visée correspondantes se peignent en des points correspondants des rétines.

Si un couple de lignes droites correspondantes sont tracées dans les plans jusqu'ici considérés des x-y et des Ç-u, leurs lignes de visée sont toutes situées dans deux plans qui passent par les points de décussation des lignes de visée, et auxquels on peut donner le nom de plans correspondants.

Tout couple de lignes droites situées dans un couple de plans correspondants se dessine sur des lignes correspondantes des deux rétines.

Quand deux plans correspondants se coupent, leur intersection se dessine sur des lignes correspondantes des deux rétines.

Soient

ce = 0, y = 0^ z — ^ = 0, u = 0, ^ = e,

les coordonnées des points de décussation des lignes de visée. D'après des propo-

§ 31. LlGiNKS DROITES (JLT SO.NT VUES SIMPLES. {749) 9/i5

sitions connues de géométrie analytique, l'équation d'un plan qui passe par le point x-7/- z est de la forme

Si nous posons z = 0, cette équation revient immédiatement à la forme Ig), et la méthode indiquée deux pages plus haut permet alors de trouver la ligne correspondante dans le plan des ^-j, et, par suite, le plan correspondant. Si nous formons les équations

A = ax ^ hy % = «5 4- Pu \

B ^ ex dy 33 = + [ 3),

tous les plans dont les équations sont de la forme

lA + mB -\- nC =1 0 \

sont des pians correspondants. En effet, les équations sont de la forme de celles des plans qui passent parles points de décussaiion des lignes de visée, et si nous posons s = 0 et 0, il nous reste, d'après la proposition exprimée en Id) et en le), les équations de lignes correspondantes situées dans les plans des x-y et des f-u. Les plans sont donc correspondants.

Les lignes de visée correspondantes se désignent comme étant les intersections de deux couples de plans correspondants.

Equations des droites qui apparaissent simples. — Jusqu'ici nous n'avons considéré la position des lignes correspondantes et des plans correspondants que par rapport à la position de chaque œil, mais nous n'avons encore aucunement tenu compte de la position des yeux l'un par rapport à l'autre et par rapport aux objets extérieurs. Pour le faire, figurons-nous la position de tous les points et celle des 1 yeux eux-mêmes, rapportées à un système rectangulaire de coordonnées x-l)-^. Si nous exprimons les et les en fonction de ces nouvelles coordonnées, on sait que leurs valeurs deviennent des fonctions linéaires des il en est de

même des quantités A, B, C et 51, ^, (S, qui sont des fonctions linéaires respectivement de X, y, z et de Ç, o et C

Par chaque point de V espace, il passe en général une ligne droite qui apparaît simple. — En voici la démonstration. D'après 3a), les équations de plans correspondants sont

lA -\- mB -\- nC = ^ \

I Ces équations, réunies, donnent la position de leur intersection, laquelle appai raît simple, ainsi que nous l'avons fait observer, et qui est donc une ligne droite I lîoroptérique.

Si, dans 3a), on remplace \) et j parles coordonnées d'un point déterminé

946(7^0) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31. quelconque, Xqj il n'en est pas moins possible de déterminer les coeffi-

cients l, m et n de telle sorte que les deux équations 3b) soient satisfaites. Comme, en multipliant par un facteur commun, on peut donner la valeur que l'on veut à l'un des coefficients, il n'y a que deux coefficients à déterminer, et en général les deux équations sont suffisantes à cet effet. On obtient :

relations par lesquels sont déterminés les rapports des quantités /, m et n qui satisfont aux équations 3a), et cela, en général, sans indétermination, si les fractions ci-dessus ne deviennent pas de la forme 0 : 0^ ce qui a lieu pour

d'où il résulte en général aussi i ^'

Nous verrons plus tard que ces trois dernières équations répondent aux points de la courbe horoptérique. A Texception de ces points, on peut donc mener, par chaque point de l'espace, une droite qui apparaisse simple et une seule, tandis qu'on peut en mener un nombre infini par les points donnés par les équations 3 c).

Surfaces du second degré qui contiennent les droites vues simples. — Si l'on a deux couples de plans correspondants,

les plans dont les équations sont inscrites à gauche se coupent suivant une certaine ligne de visée, et les deux autres se rencontrent suivant la ligne de visée correspondante. Multipliant les deux équations inférieures par un nouveau facteur Â% on obtient, par addition avec les équations supérieures,

{l, + kl,) ^ + (m, + km,) B -f {n, + kn,) (9=0 )

(lo + f^K) 5Ï + {mo-\-km,)^+{n,+kn,) ^ = 0 j' ' ' '

Ces équations sont celles d'un troisième couple de plans correspondants, mais qui passent par le même couple de ligne de visée que les plans de l'équation U). En effet, comme les deux équations de gauche inscrites en k) sont satisfaites pour les points de l'une des lignes de visée, la première des équations 4a) est nécessairement satisfaite pour ces mêmes points, c'est-à-dire que les points de cette ligne de visée sont également contenus dans le plan qui répond à cette équation. Le même raisonnement s'applique aux deux autres équations k) et à la seconde des équations L\di).

§ 31. DÉTERMINATION MATHÉMATIQUE DE l/HOHOPTÉRE. (751) 9Zi7 Le système des deux équations ^la) représente une ligne droite vue simple, puisque ces deux équations répondent h des points correspondants. — Faisons maintenant varier d'une manière continue le facteur k ; en général, la ligne droite qui apparaît simple se déplace alors, et d'une manière continue. Toutes ces droites, qui résultent ainsi d'une variation continue de ^, forment une surface dont l'équation s'obtient en éliminant le facteur /{: entre les deux équations Zia). Nous obtenons ainsi, pour l'équation de la surface qui est le lieu géométrique de la série des lignes en question, qui apparaissent simples :

OU bien, en exécutant la multiplication :

(/,m, — ï,mo) [A^^%B] -f {l^n,-^l,n^) + A(^]

-\- {m^n^—m^n^) [B(^—.^BC] = 0 4b).

Comme les quantités ^, C, ainsi que 51, ^, (E, sont des fonctions linéaires de r, t), 5, l'équation Ib) est celle d'une surface du second degré; cette surface étant telle qu'on peut y tracer des lignes droites indéfinies, elle ne peut être qu'une hyperboloïde à une nappe^ qui, dans les cas limites, peut se réduire à un cône, un cylindre, ou deux plans qui se coupent.

Comparons maintenant l'équation kh) avec les équations 3c)^ qui donnent les points par lesquels on peut mener un nombre infini de lignes droites qui soient vues simples,

nous voyons que ces équations sont également celles d'hyperboloïdes, et de même espèce que la surface 4b), cette dernière pouvant se ramener, pour des valeurs déterminées des coefficients /, m et n, à l'une quelconque des équations Uc). Prenons deux de ces dernières équations, par exemple

ces surfaces se coupent nécessairement suivant une courbe, puisqu'elles ont au moins deux points communs, à savoir les points de décussation des lignes de visée, pour lesquels on a respectivement

et

relations qui satisfont chacune aux équations des deux surfaces. D'autre part, il est facile de voir que la condition

m {752) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTlOiNS VISUELLES. § 31. satisfait aux équations des deux surfaces, ce qui signifie que la droite d'intersection des deux plans C=Oet(E=0 appartient aux deux hyperboloïdes et qu'elle est située, par conséquent, sur leur intersection. Cette intersection est donc formée d'une ligne droite C = 0, ^ = 0, et d'une autre branche qui sera , en général, une courbe à double courbure.

Nous pouvons éliminer © entre les deux équations kd) en multipliant la première par Z?, la seconde par A, et ajoutant membre à membre. Il vient

Alors donc que C n'est pas nul, cette élimination nous apporte la troisième des équations Uc)

%B = 0 ie).

Si C était nul, il faudrait, d'après ^d), que l'on eût aussi = ou bien, simultanément, A =B ~ 0. Ce n'est que dans ce dernier cas que l'équation ^le) serait valable; les conditions A~B = C = 0 appartiennent au point de décussation des lignes de visée de Fun des yeux.

Il résulte de là que, pour les points de la ligne d'intersection des surfaces Ud) qui n'appartiennent pas à la ligtie droite 6' = (S = 0, l'équation ^le) est également satisfaite, c'est-à-dire que les trois surfaces Ue) se coupent suivant une seule et même courbe à double courbure. Prises deux à deux, ces surfaces se coupent, de plus, suivant une ligne droite, mais qui, en général, n'appartient pas à la troisième d'entre elles.

Or, si trois surfaces

ont une intersection commune, toute surface dont l'équation est de la forme