IX -f- mY -{-nZ

passe par cette ligne d'intersection. En effet, comme les trois premières équations sont satisfaites pour les points de l'intersection, la dernière est nécessairement satisfaite pour ces mêmes points.

Or l'équalion lih) est déduite de cette manière des trois équations Uc). Par conséquent, les hyperboloïdes infiniment nombreux qui contiennent les lignes vues simples, passent tous par la ligne d'intersection commune des trois équations Uc).

Cette courbe est du troisième degré, ce qui veut dire qu'un plan peut la couper en trois points. En effet, comme l'intersection de deux surfaces du second degré, telles que les surfaces Ud), est en général du quatrième degré et peut être rencontrée en quatre ou deux points par un plan, mais que l'un de ces points d'intersection appartient nécessairement à la Ugne droite (le parallélisme est considéré comme une intersection à l'infini), il ne reste que trois ou un point d'intersection pour la courbe. C'est ainsi, par exemple, que le plan de visée coupe la courbe horoptérique au point de fixation et aux centres des deux yeux. Si Ton se figure le plan sécant à l'infini, il doit encore couper la courbe en un ou en trois points.

§ 31. DÉTERMINATION MATHÉMATIQUE DE L'HOHOPTÉRE. {755) 9Zi9 ce qui donne alors un ou trois couples de branches de la courbe, lesquelles s'étendent en sens contraire jusqu'à l'infini.

La cow^be du troisième degré est horoptérique , c'est-à-dire que les lignes de visée correspondantes se coupent sur cette courbe. En effet, nous pouvons écrire les équations l\c) sous la forme

Les équations k) sont celles de deux lignes de visée correspondantes. Prenons celles de l'une de ces lignes

et supposons qu'elle passe par un point de la courbe du troisième degré, pour lequel les équations hi) sont alors satisfaites, il résulte que si nous multiplions les deux équations ^g) par % : A en tenant compte de Zi.f), on a aussi pour le même {wint

ce point appartient donc aussi à la ligne de visée correspondante. Les lignes de visée correspondantes se coupent donc deux à deux sur l'intersection commune des deux surfaces 4c). Cette intersection est la courbe horoptérique. Nous avons déjà dit plus haut que les points de cette courbe n'appartiennent pas nécessairement tous à l'horoptère.

Cônes du second degré qui passent par la courbe horoptérique. — Lorsque les deux lignes de visée correspondantes des équations h) se coupent en un point, lequel appartient alors à la courbe horoptérique, tous les plans des équations 4a) qui sont menés par les deux lignes de visée passent également par ce point ; la même chose a donc lieu pour toutes les lignes d'intersection de ces plans, lesquelles constituent la surface du second degré. Une surface du second degré qui contient un système de lignes droites indéfinies passant toutes par un même point, est un cône du second degré.

Chaque point de la courbe horoptérique est donc le sommet d'un cône du second degré dont la surface contient la courbe horoptérique tout entière. Dans des cas particuliers, ce cône peut devenir un cylindre (cône dont le sommet est infiniment éloigné) ou un couple de plans qui se coupent (cône dont la base elliptique affecte une longueur d'axe infinie).

Toute ligne droite qui rencontre la courbe horoptérique en deux points appartient à deux cônes de ce genre, et par conséquent est vue simple.

Si l'un des cônes peut se transformer en un couple de plans, la courbe horoptérique se compose d'une section conique plane et d'une ligne droite, qui rencontre la section conique en un point. En effet, pour construire la courbe horoptérique, qu'on se figure, outre le cône réduit à deux plans, un autre cône dont

950 (754) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31. le sommet est situé dans l'un des plans, l'intersection commune se compose de deux droites et d'une section conique. Mais l'une des droites n'appartient pas à la courbe horoptérique.

Cas particuliers. —-Pour calculer effectivement la courbe horoptérique dans les différents cas, il est nécessaire d'exprimer effectivement A, B, C et 5Ï, ^, en fonction de x, 1) et 3. Nous prendrons le point de fixation pour origine de ce dernier système, le plan de visée pour plan des x-t) ; les ^ seront comptés positivement en montant. Prenons pour axe des x la bissectrice de l'angle de convergence des deux lignes visuelles; nommons 2y l'angle de convergence de ces deux lignes; soient a pour l'œil droit et a^ pour l'œil gauche^ la distance du point de décussation des lignes de visée de chaque œil au point de fixation. Alors les coordonnées du point de décussation des lignes de visée sont,

Pour l'œil droit, x = a cos y, l; = a sin y, j — 0,

Pour l'œil gauche, x = «iCosy, x = — sin y, § = 0.

Prenons un système de coordonnées auxiliaire, Ti -^1 -gj, qui soit tourné autour de l'axe des 3 du système précédent, d'un angle égal à y, de telle sorte que son axe des Xi coïncide avec la ligne visuelle de l'œil droit ; nous avons

= X COS y -j- ^ sin y t)i = — x sin y + ^ cos y

Si h

ce qui satisfait à ces deux conditions qu'on ait

et que, pour Xj = «et t)^ == 0, on retrouve, pour les coordonnées du point de décussation de l'œil droit, les valeurs inscrites plus haut.

Dans le système des Xi-\)i-li, l'axe des Xi coïncide avec l'axe des 5 du système des x-y-z, employé plus haut dans les équations 1) à li), de sorte que

Xj = a — ^ + e.

Le système de x-y- z est tourné, par rapport au premier, de l'angle 9 que rhorizon rétinien fait avec le plan de visée ; on a donc

X — \)^ cosQ — 5j sin ô y = sinG + §1 COS0,

l'angle 0 étant compté positivement pour une rotation de l'extrémité supérieure du méridien vertical vers la droite, c'est-à-dire pour le regard dirigé à gauche et en haut, ou à droite et en bas. En conséquence, on a

X = — X sin y cos ô -|- ^ cos y cos 0 — 5 sin 0 \

y ~ — X sin y sin 0 -|- t) cos y sin 0 + § cos 0 \ 5).

s — ■ — X cos y — ^ sin y -{- a -\- e J

En partant de là, et tenant compte des équations Ih) et li) ainsi que des définitions posées alors, les équations 3) donnent les expressions

A = y = — r sin y sin 9 -|- t) cos y sia 0 -|- 3 cos 9 B = £c cos s — y sin s

= — X sin y cos (9 + s) + t) cos y cos (9 -j- e) — ^ sin (9 4- s) C = z — e == a — X' cos y — l) sin y

D'une manière analogue, si 9^ est l'angle de torsion pour l'œil gauche, les expressions %,^et(E deviennent

= + X sin y sin 9^ + ^ cos y sin 9 ^ + 3 cos 9^ \

23 = X sin y cos (9i — e) + t) cos y cos (9, — e) — 3 sin (9^ — e) > 5b).

= — X cos y + sin y )

Formes simplifiées de la courbe horoptérique. — Des simplifications de ce genre se rencontrent en particulier dans les cas où un couple de plans correspondants coïncident complètement. Alors, en effet, toutes celles des ignés de visée de chaque œil qui sont comprises dans ce plan rencontrent nécessairement les lignes de visée correspondantes de l'autre, et donnent chacune un point de la courbe horoptérique situé dans le plan. Si les lignes de visée venaient à se trouver parallèles, elles donnent des points infiniment éloignés de cette courbe. Alors une partiedela courbe horoptérique est une courbe plane ou une hgne droite. — Dans le premier cas, prenons un point quelconque de cette courbe pour sommet d'un cône mené par la courbe horoptérique, une partie de cette surface conique devient un plan, et le reste ne peut nécessairement plus être autre chose fju'un second plan. Ce n'est, en effet, que dans le cas limite du cône qui se transforme en deux plans qui se coupent, qu'une partie de la surface conique peut être plane. Si ces autres plans, qui ne passent pas par la courbe plane qui fait partie de l'horoptère, possèdent une ligne d'intersection commune , cette ligne ne peut être qu'une droite passant par un point de la courbe plane en question. En même temps, on voit que la courbe doit être du second degré, car cette condition est nécessaire pour (jue les cônes, dont les sommets sont sur la ligne droite, soient des cônes du second degré. — Dans le second cas, celui où la courbe des intersections des lignes de visée correspondantes est une ligne droite, chaque cône qui a pour sommet un point de la courbe horoptérique situé en dehors de cette ligne droite, comprend nécessairement une partie plane ; il se compose donc de deux plans qui se coupent, et, par suite, le reste de la courbe horoptérique doit être une courbe plane.

Il est facile de voir aussi que, lorsque la courbe horoptérique se compose d'une hgne droite et d'une section conique, les centres des yeux doivent se trouver sur cette dernière, et que le plan de cette courbe constitue un couple de plans correspondants des deux yeux, qui coïncident. En effet, il est impossible qu'un œil étant sur la courbe, l'autre soit sur la ligne droite; car, s'il en était ainsi, un faisceau de lignes de visée mené du premier œil aux points de la courbe serait dans un plan, tandis que, pour le second, il serait sur une surface conique courbe. Et

952 (756) TROISIÉiME PARTIE. - DES PERCEPT[ONS VISUELLES. • § 31. si les deux yeux étaient situés sur la ligne droite, cette ligne devrait jouer le rôle d'un couple de lignes de visée correspondantes; s'il existe alors, en dehors de cette ligne droite, un autre point de la courbe horoptérique, tel que le point de fixation, par exemple, le plan mené par ce point et par les yeux jouerait le rôle d'un couple de plans correspondants, et devrait refermer une courbe horoptérique.

La condition pour que la courbe horoptérique puisse être formée d'une section conique plane et d'une ligne droite qui rencontre cette courbe, est donc qu'il existe des valeurs de /, m et n pour lesquelles les équations

lA -\-mB -\- nC = 0 m -f + = 0

deviennent identiques. Si, à l'aide des équations 5a) et 5b) on amène ces équations sous la forme

A- + At) + + h = 0

il faut qu'on ait

La dernière fraction est indépendante de l, mei n; dans les trois premières, les numérateurs et les dénominateurs sont des fonctions linéaires de /, m et n. En égalant chacune des trois fractions à la dernière, on obtient entre l^metn trois équations linéaires sans terme constant, d'où il résulte que le déterminant des coefficients de /, m et n doit être nul. Ceci donne, entre les quantités «, a^, 0, 9i et y, une équation qui doit être satisfaite pour que la courbe horoptérique affecte la forme indiquée. Il n'est pas nécessaire de faire ici ce calcul, car nous ne portons un intérêt particulier qu'à celles des positions des yeux qui sont compatibles avec la loi de Listing.

Géométriquement, la condition pour que la courbe prenne la forme demandée peut s'exprimer de la manière suivante. Nommons F la ligne qui joint les deux points de décussation des lignes de visée. Cette ligne peut être considérée comme étant une des lignes de visée de l'un ou de l'autre œil. Si nous la considérons comme telle pour l'œil droit, il faut qu'il existe une ligne de visée correspondante H dans l'œil gauche ; si c'est pour le gauche, il doit exister une ligne correspondante G dans l'œil droit. Si les lignes G ei H se coupent, elles sont dans un même plan avec F, et ce plan est alors correspondant pour les deux yeux, car il contient deux couples de lignes de visée correspondantes, F et G pour l'œil droit, F el H pour l'œil gauche. Pour toute position des yeux il est donc possible, en faisant tourner l'un d'eux autour de sa ligne de visée, d'obtenir une position qui donne à la courbe horoptérique la forme simple demandée.

Pour les yeux qui suivent la loi de Listing, qui sont construits symétriquement, et dont les horizons rétiniens sont situés dans le plan de visée pour une position parallèle des lignes de regard, il est clair que la condition indiquée est remplie : premièrement, pour les positions symétriques des yeux, pour lesquelles les lignes G et H, se trouvant également symétriques, se coupent nécessairement dans le plan

de visée; secondement, pour la position primaire du plan de visée, parce qu'alors ce plan contientles horizons rétiniens, lesquels sont correspondants. Ce ne sont d'ailleurs théoriquement pas les seuls cas de ce genre : pour les yeux qui suivent exactement la loi de Listing, il existerait, pour des directions abaissées et latérales, certaines distances très-grandes du point de fixation pour lesquelles le plan de visée serait correspondant dans les deux yeux, et contiendrait, par suite, une ellipse plane comme courbe horoptérique. Mais ces cas ne présentent absolument aucune importance pratique, car pour les distances très-grandes à partir du point de fixation, les observations sur la position des points qui sont vus simples deviennent trop incertaines. Pour les yeux qui sont dépourvus de l'aberration du méridien vertical apparent, les positions en question du point de fixation s'éloignent à l'infini.

Dans ces cas, en négligeant certaines petites quantités, si l'on désigne par « l'angle d'élévation, par y l'angle de latéralité d'un œil idéal situé au milieu de la ligne qui joint les deux yeux, par a la demi-distance des yeux, par e la moitié de l'angle que forment entre eux les méridiens verticaux apparents, on a, pour la distance p du point de fixation au centre de l'œil cyclopéen,

a cos V

sin z sin |3 cos j3

to- ti? JL .

Dans le voisinage du plan médian, où l'on a y = 0, et dans le voisinage de la position primaire du plan de visée, où l'on a a = 0, |3 devient nul et p devient infini. Cette distance ne prend de valeurs positives que pour des valeurs négatives de a, c'est-à-dire au-dessous du plan de visée.

Nous allons traiter maintenant les deux cas que nous avons cités d'abord, et où l'horoptère se compose d'une ligne droite et d'une courbe plane, cas cjui présentent une certaine importance au point de vue de l'observation.

k. — Le point de fixation est dans le plan médian et à vue distance infinie. — Il vient alors, dans les équations 5a) et 5b),

A = — X sin y sin 0 + 1) cos y sin 0 -|- j cos 0 5 = — X sin y cos (0 + c) -j- ï) cos y cos (0 + s) — 5 sin (0 -f e) C = a — X cos y — ï) sin y 51 = — X sin y sin 0 — \) cos y sin G + 5 cos 0 ^ = X sin y cos (0 4- e) + 1) cos y cos (0 + c) + s sin (9 + s)

= a — X cos y + t) sin y J

Les plans correspondants qui coïncident s'obtiennent en posant

^ sin y -f- C cos y sin 0 = 0 31 sin y -j- (à cos y sin 0 = 0 ;

95/i (757) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31. en effet, pourvu que sin y et sin 9 ne soient pas nuls simultanément, ces deux équations donnent pareillement

X sin ô § sin y cos 9 — a cos y sin 0 = 0 6a).

Tel est donc le plan de la section conique. De plus, pour

^ = 0 et ï sin y cos (0+g) = — j sin (9+c). .... 6b)

il vient

A = % — — X sin y sin Q -\- ^cosQ

C =: (S; = a — X cos y.

Les points de la ligne droite donnée par les équations 6b) sont donc correspondants dans les deux yeux, et cette ligne est la ligne droite horoptérique.

Les génératrices du cylindre qui contient la ligne horoptérique, ainsi que les plans qui se coupent suivant les génératrices du cylindre, doivent être parallèles à cette ligne. Si l'on forme les équations des plans correspondants :

A cos y sin (0 + s) — € sin y cos e = 0 ^ cos y (9 + s) — (S sin y cos s = 0,

pour X = 0 elles se réduisent à a tang y cos s

cos 9

— X sin y cos (9 + ç) — § sin (9 -|- s) = 0.

Ainsi qu'on le voit par la comparaison avec 6b), leur intersection est donc parallèle à la ligne droite horoptérique, et, comme cette ligne, elle est située dans le plan médian.

D'autre part, d'après 6b), les plans

se coupent suivant la ligne droite horoptérique, et les plans correspondants

A cos y sin (9 + e) + x B — C sin y cos g = 0 5ï cos y sin (9 + s) -{- X ^ — © sin y cos s = 0

se coupent également suivant des lignes qui sont parallèles à la ligne droite horoptérique. Éliminant % entre ces équations, on obtient

{A^—B%) cos y sin (9 + e) — ^6) sin y cos s = o

pour l'équation du cylindre. Après réduction, cette équation donne

sin ^y cos ^£ » f • 9 . sin 2 (9 + e)'

4 cos cos ^9

c r . c, . sin 9 . sin 2 (9 + e)! '\

, r a sin y ces g n ^ l

+ [r sin y cos (6 + .) + 3 sin (9 + 0 - ^cos^cosej '

C'est là l'équation d'un cylindre que les plans 5 = Gonst. coupent suivant des sections coniques dont l'axe des x est toujours réel, à savoir

a cos s

2 cos y COS 0 cos (6 + e) *

L'axe des au contraire, n'est pas nécessairement réel ; son carré est

g' tang -y cos

4 cos 0 cos (ô + s) [sin *y cos (0 -f e) cos 6 + sin 0 sin (0 + e)]

Dans cette expression, cos 0 et cos (0 + e) sont toujours positifs pour les mouvements exécutables des yeux. Mais si le produit tang 0 tang ( 0 + s ) devient négatif et plus grand, en valeur absolue, que sin ^y, la valeur de F devient imaginaire et la section devient une hyperbole. Pour que ceci ait lieu, comme s possède en général une valeur positive et petite, il faut que 0 affecte des valeurs négatives encore plus petites, ce qui ne peut se présenter que pour une position descendante des lignes de regard et une grande distance du point de fixation.

L'axe des Y de cette section conique située dans le plan de visée, coïncide avec celui de la courbe horoptérique plane ; pour trouver l'axe médian de cette dernière, transportons dans 6c) la valeur de j tirée de l'équation 6a) et faisons en même temps \)~0; nous pouvons alors trouver les coordonnées To~So de l'une et l'autre extrémité de cet axe. La valeur toujours réelle de l'axe est donnée alors par l'équation

sin ^y cos (sin *y cos ^0 -f- sin ^Q)

~~ 4 cos ^y COS ^0 [sin cos 0 cos (0 + s) + sin 0 . sin (0 + t)Y et il vient

XI sin ^y -I- tang ^0

~ sin 2y -f- tang 0 . tang (0 -j- g) *

Au lieu du cylindre considéré jusqu'ici, on peut encore employer, pour la construction de la courbe horoptérique, le cône de l'horoptère des verticales

ou bien

[t sin y cos (0 + c) + 5 sin (0-|-ç)] [a — x cos y] — t)^ cos y sin y cos (0-f e) = 0.

Pour zr= 0, c'est-à-dire dans le plan de visée, la courbe d'intersection est un cercle donné par l'équation

956 (759) TROISIÈME PARTIE. — DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31, Ce cercle passe par les points

COS y

X = tt cos y ^ = a sin y,

je =7 a COS y \) — — a sin y.

Les deux premiers de ces points sont le point de fixation et celui qui lui est diamétralement opposé ; les deux autres sont les centres des deux yeux. Le cercle est déterminé par ces conditions.

Le cône coupe le plan médian t) = 0 suivant les deux lignes

X sin y COS (9 + e) = — § sin (9 + z) X COS y — a.

La première est la ligne droite horoptérique ; la seconde est perpendiculaire au plan de visée et coupe ce plan au point qui, sur le cercle, est diamétralement opposé au point de fixation. Les coordonnées du sommet du cône sont donc

COS y

3 — — a tang y . cotang (9 + c).

Pour trouver la position qu'occupent les lignes et les plans en question, pour des yeux dont les mouvements suivent la loi de Listing, nommant (3 l'angle ascensionnel compris entre la position primaire du plan de ^visée et sa position actuelle, nous avons

sin y sin S

tang 9 = ^ ^- ^ 7).

COS y -|- COS p

L'équation 6a) du plan de la courbe horoptérique devient alors

- ^ COS y + COS S ^

(T — a COS y)— 5 ^-T^- — !- = 0 7a .

sm p

Dans ces conditions, les équations pour la position primaire des lignes de regard sont

^ = dr a sin y et S = (x — a cos y) tang p 7b).

Les équations pour la position actuelle des lignes de regard sont

5 = 0 et ^ = drx tang y 7c).

Sur ces dernières lignes, le point de fixation est à la distance a des centres des yeux. Si, sur les lignes 7b), nous marquons un point à la distance a du cenire de l'œil considéré, les coordonnées de ce point sont

X = a (cos y — cos (3), V) = ± a sin y, $ = — a sin p. . . 7d).

Les coordonnées d'un point situé, au contraire, à égale distance de ce point 7d) et du point de fixation, pour lequel on a

sont moitié moins grandes que les coordonnées 7d), c'est-à-dire

X = — a (cos y — cos j3), l) = ± — a sin y, 5 = — a sin p 7e).

Or ces dernières valeurs satisfont l'équation 7a) ; les deux points 7e) sont donc situés dans le plan de la courbe lioroptérique.

On voit donc que, pour une position médiane du point de fixation, pour trouver le plan de la section conique qui fait partie de la courbe horoptérique, il faut I prendre les bissectrices des angles que la position actuelle de chaque ligne de regard fait avec sa position primaire, et faire passer un plan par ces bissectrices. Cette circonstance a été utilisée pour faire la construction qu'on a vue plus haut I (fig. 207, p. 906).

Enfin, si l'on fait passer, par le centre de chaque œil, un plan perpendiculaire à la ligne menée de ce centre au point de l'équation 7e) qui est relatif à cet œil, l'équation de ce plan est

(T — a cos y) (cos y -["^os (3) — (a sin y i)) sin y -f- 3 sia (3 = 0. . . 7f).

Si l'on prend, de plus, un plan situé à la distance — a sin y cotang t au-dessous de la position primaire du plan de visée 7d), et dont l'équation est