ROTATIONS D*APRÈS LA LOI DE LISTING

a est Tangle que forment entre elles la première et la seconde position de la ligne de regard, et

0 est Tangle qoe forme avec le plan des xy an plan mené par la première et la seconde position de la ligne de regard.

Ces deux anj^es définissent la position de la ligne de regard.

Condition imposée par la loi de Listing. — Pour saisir la signification deFangle M relativement \ roûl, demandons-nous comment cet angle doit être choisi pour que le mouvement s'effectue conformément à la loi de Listing, la position initiale où les systèmes xyz et ÇuC coïncidaient étant prise comme position primaire. n faudrait alors, pour satisfaire à la loi en question, que la nouvelle position fût la même que celle qui résulterait d'une rotation autour de la ligne d'intersection des plans des uÇ et des yz. Gomme les points de cet axe de rotation restent immobiles par rapport aux Ç-jC, comme par rapport aux xyz, ils sont soumis aux conditions

Ces trois conditions nous permettent de trouver, dans tous les cas, la position de Taxe de rotation. De plus, la loi de Listii^ exige que l'axe de rotation soit compris dans le plan des uC, c'est-à-dire qu'on ait Ç = 0 pour tous ses points. Substituant ces valeurs dans les équations le), il vient

0 = — u ces » sin a — C sin b> sin a

u = u (ces a ces 0 ces w -^ sin 0 sin &>) 4" C (cos a ces 0 sin o -f- sin 6 ces w)

C=: — u(cosasia6cos(i> + cos0sinw) — Z (ces a sin 6 sin o — ces 0 ces o>).

De la première de ces équations, il résulte

u ces w + Ç sin w = 0,

relation qui est satisfaite en posant

u = h SÎQ ta I C = — h COS ei> ,

la valeur de h restant indéterminée. Alors les deux autres équations se réduisent an conditions

sin Cl) = — siii ô COS Cl) = — cos ô,

qui sont satisfaites en posant

Telle est donc la condition pour que les rotations relatives aux équations le) soient conformes à la loi de Listing. Alors les valeurs x^ y et z deviennent

or = Ç ces a — u cos G sin a + Ç sin 6 sin a y = Ç sin a cos G + u (cos a cos* G + sin^

+ Ç (4 — cos a) sin G COS G \ 2b).

z = — Ç sin a siu G — v (cos a — 4 ) sin 6 cos (

+ Ç (ces a sin* 6 + cos* i

se J,

;os9 I

634 >IS1ÉS|£ PARTIE, — DES PERCEPTIONS VTSl'ia.LES,

Il bm r^, -qoer d'iilleiifs qiie^ même indépeiidàmiDeiii de k lui de Liâciog, >a sofnmê »-h â «^ ^<^ iofimoieiit pptiie pour des Takara lr^petit«» de «^ h le» d^pitceoieitti liifiiiiin#iii paiis de la li|;iied4ï r^iird ûedanuent pa^ daidépbtemeiit» fini» de Tœ!!.

n/Êmm naainteiiiDl d'une paâlm mmodûve k une aulie. ^ Daii& les équiiicHis ^ éâ£kt !â di^âoce d'an pûiat iiii ptao dess ^^, ta dktance de œ laêine pûuit m plan d£â vC ^t Ç, ùe& étm. ditfanfffi éuiit pri^a^ poëiiiteiueut quand dki loiit imécai eo avaul de ca» plans, Dr si nous posofu

* =s — S 00 ^ + Ç = 0} Se),

jpitioo de tous te^ points siim» k é^le djâtance du cété aoiéneor eidu€ôté postérieur du plan ^^=Û, propriété qui appartieoi aut

oraieDi entre eux lesj plans JET =& et - V- . ^^ es» ,™ii^ ^^ plan bissectetif . En y stibslittiaiiï la

valeur de x iiW'C de Ih), celle équauoii ient

0 ^= Ç (1 4" C4IS a) — ^ « < I sîn a -^ C ^^^ ^ii^ «* } * " * ^''J , . .- î — Ct*S a ^ .

Hultiphant par : , cetie i i devient

0=Çsm«^wCOsa(f — cos«) + î; siû 9 (» — col «> } . • . Si)l innUrpfîani encoro par cos ô, il vient

a = g ain a ûos 9 + u (cos m coa* 9— oa* Ô) + C cas ô sin 0 {\ — <^aK équation qui, comparée avec la valeur de y prise dans 2b), se réduit à

De même, en multipliant 2c) par sin 6, on obtient une équation analogue qui se réduit à

Nous avons donc, pour les points du plan bissecteur de Tangle 0 que formeoi entre eux les plans x = 0 et Ç = 0,

Prenons maintenant une deuxième position secondaire du globe, pour laquelle nous désignerons respectivement par x^, y^, z^, a©, 6© '^s valeurs corfcspo»danles de x, //, z, a» 9 ; pour le plan bissecteur de l'angle 9© que font entre cai les plans x^ = 0 et g = 0, on a Clément *

«o = — Ç. yo=«» 'o— C Si donc le point ÇuC appartient à la fois aux deux plans bissecteurs, c'est-à-dire s'il se trouve sur leur intersection, on a pour ce point

* = «0 » y == Vo » « = ^0 •

Les points de cette interseaion occupent donc la même position dans l'espace

§ 27. ROTATIONS D'APRÈS LA LOI DE LISTLNG. {492) tô5

pour lai deux poutioiis wccessvres de rcûl, et il eo réfolte qoepour amener tœii d'une poêiiùm tecondaire à vne autre en le faUant toitmer aulmir d'un asee cm-' tianij il foui prendre pour axe la ligne d'intertectùm de$ plane Useeeieurs des onglée formés par le plan primaire des axes de rotation avec les plane perpendiculaires aux deux poeiiions secondaires de la ligne de regard, La positîoo de cel axe est donnée pir l'équation 2c) et par Téquation analogue relative à la seconde position, \ savoir

03 + 5 = 0 et a?j,-fÇ = 0.

L'angle dont le globe tourne autour de cet axe résultant, en passant de la première à la deuxième position secondaire, est double de l'angle que font entre eux kl deux plans bissecteurs considérés ar + S^Oet^ro + ÇesO.

Remarque. — La règle d'après laquelle nous venons d'obtenir, par une seule rotation, le résultat de deux rotations successives, peut s'appliquer, tout à fait iodépendanunent de la loi de Listing, à un corps quelconque mobile autour d'un point fixe. — Supposons que Ton connaisse la position qu'occupe chacun des axes )o moment de la rotation autour de cet axe, ou bien, ce qui est la même chose, la position de ces deux axes au moment qui précède la deuxième rotation ; nommons A le plan qui passe alors par ces deux axes, et soient respectivement A^ei A^ les positions de ce plan avant la première et après la seconde rotation. Gonune les axes «mt req)ectivement les intersections de A^ avec A et de A avec A^, cette construction est facile à exécuter dès que l'on connaît la valeur des angles de rotation A^AexA^A, Menant les plans bissecteurs de ces deux angles, leur intersection est l'axe de rotation résultant, et l'angle de rotation est le double de l'angle que comprennent entre eux les deux plans bissecteurs (il est indifférent de prendre l'un ou l'autre des deux angles qu'ils forment).

Quand les rotations sont infiniment petites, l'axe de rotation résultant est infiniment près du plan des deux autres axes, et, à la limite, il se confond avec la diagonale du parallélogramme dont les côtés coïncident en direction avec les deux axes de rotation et sont proportionnels aux grandeurs des angles de rotation.

Ligne atrope, — Revenons aux conséquences de la loi de Listing relativement inx mouvements du globe. — Comme l'axe de rotation autour duquel il faut faire tourner l'oeil pour l'amener de la position des équations 2b) à une autre position quelconque x^y^ Zg est compris dans le plan a; + S= 0» quelle que soit d'ailleurs cette seconde position, il en résulte que toutes les fois qu'on veut passer d'une position déterminée à d'autres positions quelconques par rotation autour d'axes fixes, ces axes sont tous compris dans un certain plan dont la position ne dépend que de la position initiale et nullement de la seconde position à atteindre ; il en résulte aussi que toute rotation, d'une amplitude quelconque, autour d'un axe situé dans ce plan, amène toujours l'ceil dans une position conforme aux fiigences de la loi de Listing.

On voit donc que la position primaire de la ligne de r^rd présente cette seule particnlarité que la position du plan des axes de rotation qui lui sont relatifs est perpendiculaire à cette ligne.

On voit Clément que, pour une position quelconque de la ligne de regard, la