ÉTUDE THÉORIQUE DE LA LOI DES ROTATIONS. {SOI

oa bieo, sabsdtuant les valeurs de u et C tirées des deux dernières des équa* tioos 6a)« et multipliant le tout par

(Me + bfic, + b,,ûc,,) =z — (càb + cA + c,,db,) il vient

0 = sin X (Me + bfie, + ^ifi^u) — cos X cos x (cda + efia, + c^^àa,) \

+ cos X sin X (Ma -|- b^àa^ + b^^ûa^^) ) '"

Celte équation en donne deux, si da et dO sont indépendants Tun de l'autre, car cbacone des différentielles a la forme

da da

da = 7- da + — dS.

da de

Si Ton effectue donc, d'abord par rapport à «, puis par rapport à 6, les différentieUes que contient 6b), on obtient les denx équations

dùi

0 = sin X r cos X cos X sin w 4- cos X sin x cos »

da

0 s= sin f-rr + cos a j -j- cos X cos X sin « cos M -|- cos X sin X sin a sin 6». Par élimination de cos x on de sin x, les deux dernières équations donnent

. ^ / . , dw Ùfù \

sin X ( sm a sin « •-- — cos w 77- — cos m cos a ) = cos X cos x sm a \ Oa d6 y

(do» . d«* , \

sin a cos ca -T — t" ^^"^ " Tû "1" ^*^ « cos al = — cos X sin x sin a.

Divisant les deux équations par sin X sin a, la première donne la valeur de cotg X cos X que nous avons à substituer dans 5) ; élevées au carré et ajoutées membre ^ membre, elles donnent

cotg* X = 1 -7- ) + '. • ( 17: + cos a ) ^ \da/ sm* a\d9 /

^ DDDs obtenons enûn, pour l'intégrale R dont il nous faut chercher le minimum

iJ = ^,/de/3«{sina(--)

+ ( l-cosa 1 — Scotgu sin a sin « -^ — cos wf ~ +cosa jl / ^^^'

8ina\d9 / L da \d9 / J l