DÉTERMINATION MATHÉMATIQUE DE L'HOROPTÉRE

ce qoi donne alors nn on trois couples de branches de la courbe, lesquelles s'étendent en sens contraire jusqu'à l'infini.

La courbe du troisième degré est horoptérique^ c'est-à-dire que les lignes de visée correspondantes se coupent sur cette couiïie. En eflet, nous pouvons écrire les équations Ac) sous la forme

Les équations h) sont celles de deux lignes de visée correspondantes. Prenons celles de Tune de ces lignes

l^A + m^B + iioC = 0 \

«,.4 + m,fi -{- n,C = 0 ) ^''

et supposons qu'elle passe par un point de la courbe du troisième degré, pour lequel les équations txT) sont alors satisfaites, il résulte que si nous multiplions les deux équations i!^) par % : A en tenant compte de ht)^ on a aussi pour le même point

ce point appartient donc aussi à la l^e de visée correspondante. Les lignes de visée correspondantes se coupent donc deux à deux sur l'intersection commune des deux surfaces 4c). Cette intersection est la courbe horoptérique. Nous avons déjà dit plus haut que les points de cette courbe n'appartiennent pas nécessairement tous à rboroptère.

Cônes du second degré qui passent par la courbe horoptérique. — Lorsque les deux lignes de visée correspondantes des équations U) se coupent en un point, lequel appartient alors à la courbe horoptérique, tous les plans des équations 4a) qoi sont menés par les deux lignes de visée passent également par ce point ; la même chose a donc lieu pour toutes les lignes d'intersection de ces plans, lesquelles constituent la surface do second degré. Une surface du second degré qui contient un système de lignes droites indéfinies passant toutes par un même point, est un c&ne du second degré.

Chaque point de la courbe horoptérique est donc le sommet d'un cAne du second degré dont la surface contient la courbe horoptérique tout entière. Dans des cas particuliers, ce cône peut devenir un cylindre (cône dont le sommet est infiniment élcNgné) ou un couple de plans qui se coupent (cône dont la base elliptique aiïecte une longueur d'axe infinie).

Tonte ligne droite qui rencontre la courbe horoptérique en deux points appartient à deux cônes de ce genre, et par conséquent est vue simple.

Si l'un des cônes peut se transformer en un couple de plans, la courbe horoptérique se compose d'une section conique plane et d'une ligne droite, qui rencontre la section conique en un point En effet, pour construire la courbe horoptérique, qu'on se figure, outre le cône réduit à deux plans, un autre cône dont

960 («M) TROiSitlIB fA«m. - BIS PiOCSPnONS YiSlIBUJES. | il. Umaswti^mmMàmVmà^^^ rinmieetioû tmnmmmm emtfimét

deux droites et d'anewctioiicoDiqôe. Mai8Vii9odeidroileiii*ap|MrtiMitp«lli coDibelioroiilériqM

Cûs particulien. — Pour calcaler eJBctJveiiieot Jfc tparto hampÉfc-^ya Am les diSârents cas, il est Déoessairé d'eiprimer ^fibdifeme&t A, ^, Cet X, 8, g eiinictioD de t. t^ ^ g. Noos prendioni le point de fixation pour- origiiie de ce dernier système, le plan de visée pour plan des r-l; ; les } seront comptés posithement en montant. Prenons ponr axe des x la bissectrice de Vw^gut de oon? ergence des deux lignes visnelles; nommons 2y Vang^e de convergence àeoes denx lignes; soient a ponr Toeil droit et a^ ponr l'ceil ganche^ la distance dn point de déonssation des l^es de visée de (chaque ceD au point de fixation. Alors les coordonnées dn point dé décossadon des l%lies de visée sont.

Pour l^cail droit, r«»4ie08y, ^afei»siay« 8 *» o,

• FiMir rail ginciMii t « fli^yi t^ -^ •, sîn y^ 8 =« o.

Prenons un système de coordonnées anxiBaire, Xt -l^i -}i» qui aoit touifi autour de l'axe des 3 dn système précédent» d'un an(^ égal à y, de teBe aorte que son axe des Xi coïncide avec UUgli6:vi|liê& de l'ittil droit ; nous aveu

X4=roosy + 9siny 9^ « — xginy + ^jMiy

ÇA qui satisfait à ces deux conditions qu'on ait

rî + Çî = r' + ç*

et que, pour Ti =âet ^^ «- 0, on retrouve, pour les coordonnées du poiat de décussation de l'œil droite les valeurs inscrites plus haut.

Dans le système des Xi 'Vi ~3t* ^'^^^ <^^ ^i coïncide avec l'axe des ) da système des x-y-z^ employé plus haut dans les équations 1) à ii), de sotte que

Le système de a;- ^-j: est tourné, par rapport au premier, de l'angle 6 qw Thorizon rétinien fait avec le plan de visée; on a donc

ûp = Iji CCS 9 — Î4 sin 9 y = Ç, sin 9 +3, ces 9,

l'angle 9 étant compté positivement pour une rotation de l'extrémité supérieore do méridien vertical vers la droite, c'est-k-dire pour le regard dirigé I ganche et eu haut, ou à droite et en bas. En conséquence, on a

X = — X sin y cos 9 -]- V ^^ y ^^* ^ — J sin 6 \

y =. — r sin y sin 9 -|- 1^ 008 y sin 9 4~ i <^<>s 9 > 5).

a = — rcosy — ^^siny -!-<» + •/

§ 31. FORMES SIMPLES DE L'HOROPTÉRE. (7M) 95i

En pirtant de là» et tenant compte des équatîons'ih) et li) ainsi que des défi*^ nitions poaéeB alors, les équations 3) donnait les expressions

ié=y= — rsinysinO + çcosysine-f-gcose \

^ = â? cosi-^y sin ( i

xx= — ïsiny coi(0+t)-f V^»y<^»(6 + «) — Jttn(04-«) i * '

C ^sM'^e = a — r cogy — 9 sin y J

D'une manière analogue, si 9^ est l'angle de torsion pour Tœil gauche, les expressions %^etQ deviennent

21 a= + r sio y sin 9j + tj cos y sifl e, + J cos 64 \

SB = xsin yco8(6i— t) + l?cosycos(6, — c) — jsin (0| — «) >.,... 5b).

6 = a, — T cos y + ^) sin y )

Formes simplifiées de la éourbe horoptériquê. — Des simpUficatious de ce genre se rencontrent eu particulier dans les cas où un couple de plans correspondants coïncident complètement. Alors, en effet, toutes celles des ignés de visée de chaque œil qui sont comprises dans ce plan rencontrent nécessairement les lignes de visée correspondantes de Tauire, et donnent chacune nn point de la coufbe horoptériquê situé dans le plan. Si les lignes de visée venaient à se trouver paral<^ lèles, elles donnent des points infiniment éloignés de cette courbe. Alors une partiedela courbe horoptériquê es tune courbeplane ou une ligne droite. — Dans le premier cas, prenons un point quelconque de cette courbe pour sommet d*un cône mené par la courbe horoptériquê, une partie de cette surface conique devient nn plan, et le reste ne peut nécessairement plus être autre chose qu'un second (Jan. Ce n'est, en effet, que dans le cas limite du cône qui se transforme en deux plans qui se coupent, qu'une partie de la surface conique peut être plane. Si ces antres plans, qui ne passent pas par la courbe plane qui fait partie de Thoroptêre, ponèdent nne ligne d'interse<^on commune , cette ligne ne pent être qu'une dh>ite passant par un point de la courbe plane en question. En même temps, on voit que la courbe doit être du second Aegcé^ car cette condition est nécessaire pour que les cônes, dont les sommets sont sur la ligne droite, soient des cônes du second degré. — * Dans le second cas, celui où la courbe des intersections des lignes de visée correspondantes est une ligne droite, chaque cône qui a pour sommet nn pdnt de la courbe horoptériquê situé en dehors de cette ligne droite, comprend nécessairement une partie plane ; il se compose donc de deux plans qui se coupent, et. par suite, le reste de la courbe horoptériquê doit être une oourbe plane.

n est belle de voir aussi que, lorsque la courbe horoptériquê se compose d'une ligne droite et d'une section conique, les centres des yeux doivent se trouver sur cette dernière, et que le plan de cette courbe constitue un couple de |)làns correspondants des deux yeux, qui coïncident En effet, 11 est impossible qu'un cell étant sur la courbe, l'autre sôit sur la ligne droite; car, s'il en était ainsi, un faiscean de lignes de visée mené du premier œil aux points de la eouii>e serait dans mi plan, tandis que, pour le second, il serait snr une snriîMse conique courbe. A

952 (7W) TROISIÈMK PARTIE. - DES PERCEPTIONS VISUELLES. § 31, si les deux yeux étaient sitaés sur la ligue droite, cette ligne devrait jouer le rôle d*uD couple de lignes de visée correspondantes; s'il existe alors, eu dehors de cette ligne droite, un autre point de la courbe boroptérique, tel que le point de fixation, par exemple, le plan mené par ce point et par les yeux jouerait le rôle d'un couple de plans correspondants, et devrait refermer une courbe boroptérique.

La condition pour que la courbe boroptérique puisse être formée d*une sedioo conique plane et d'une ligne droite qui rencontre cette courbe, est donc qu'il existe des valeurs de /, m et n pour lesquelles les équations

lA +mB + nC = 0 /21+ mS + n6 = 0

deviennent identiques. Si, à l'aide des équations 5a) et 5b) on amène ces équations sous la forme

fx + lA + /"tî + r, = 0

9X + f iÇ + f le + <p8 = ®»

il faut qu'on ait

L = Ll = !i, = Ii..

La dernière fraction est indépendante de /, tn et n ; dans les trois premières, les numérateurs et les dénominateurs sont des fonctions linéaires de /, m et 72. Eo égalant chacune des trois fractions à la dernière, on obtient entre /, m et n trois équations linéaires sans terme constant, d'où il résulte que le déterminant des coeflBcients de /, m et n doit être nul. Ceci donne, entre les quantités a, a^ 9, 6j et y, une équation qui doit être satisfaite pour que la courbe boroptérique affecte la forme indiquée. Il n'est pas nécessaire de faire ici ce calcul, car nous ne portons un intérêt particulier qu'à celles des positions des yeux qui sont com< patibles avec la loi de Listing.

Géométriquement, la condition pour que la courbe prenne la forme demandét* peut s'exprimer de la manière suivante. Nommons F la ligne qui joint les deux points de décussation des lignes de visée. Celle ligne peut être considérée comme étant une des lignes de visée de l'un ou de l'autre oeil. Si nous la considérons comme telle pour l'œil droit, il faut qu'il existe une ligne de visée correspondante B dans l'oeil gauche ; si c'est pour le gauche, il doit exister une ligne correspondante G dans l'œil droit. Si les lignes 6 el ^ se coupent, elles sont dans un même plan avec F, et ce plan est alors correspondant pour les deux yeux, car il contient deux couples de lignes de visée correspondantes, F et G pour l'œil droit, FeiH pour l'œil gauche. Pour toute position des yeux il est donc possible, en .faisant tourner l'un d'eux autour de sa ligne de visée, d'obtenir une position qui donne à la courbe boroptérique la forme simple demandée.

Pour les yeux qui suivent la loi de Listing, qui sont construits symétriquement, et dont les horizons rétiniens sont situés dans le plan de visée pour une positioD parallèle des lignes de regard, il est clair que la condition indiquée est remplie : premièrement, pour les positions symétriques des yeux, pour lesquelles les lignes Gel H, se trouvant également symétriques, se coupent nécessairement dans le plan