TT"" AT
Sahstîtoant dans cette équation ta valeur de f^ tirée de 8 a), ou obtient
or, d'après 8 b)» on a
p. Pi .
€» deux équations, di?isèes membre à membre, donnent, en nommant n^ et n,, les indices de réfraction du premier et du dernier milieu,
sw^ '" ^ "" J17 ] ' • • '^ ^''^'
Cq. L d.
y — Dans tout système optique, il existe un couple de points nodaiix, et un seol, tel que tout rayon dont la direction, dans le premier milieu, passe par le preoûer de ces points, consenre, après la dernière réfraction, une direction parallèle à sa direction primitive, et passe par le second point nodal. Les plans menés par les points nodaux perpendiculairement à Taxe optique se nomment plans Comme les rayons qui passent par le premier point nodal, passent par le [ tprès la dernière réfraaion, ce point est évidemment Timage du premier. Lb distances focales relatives aux points nodaux sont eutre elles comme les mwnn des indices de réfraction du premier et du dernier milieu.
En effet, partons de l'équation 9) établie tout à l'heure
n' y' Ig o' = n(»»+<) y(»»»+<) tg «(**»+*) } 9).
En rappliquant aux points nodaux, il faut qu'on ait a' es ot(»*+t). Pour cela, i fout que
Les dimensions linéaires de deux images conjuguées, situées dans les plans iodaux, sont donc eutre elles comme les inverses des indices de réfraction du premier et du dernier milieu.
Les grandeurs des images d*un même objet y^ étant entre elles comme leurs distances au second foyer principal, la grandeur de Timage permet de déterminer sa distance à ce foyer. L'image de l'objet y se forme-t-elle dans le second plan principal, sa grandeur est aussi y', et sa distance au foyer est F,; se formet-elle dans le second plan nodal, d'après ce qu'on vient de voir, sa grandeur est :
Soit G^ sa distance au foyer, on a donc, à cause de 9 c)^
Par suite, la distance entre le second plan principal et le second plan nodal est
«t = ^ - Gt = F,- F,.
Le premier plan nodal doit être l'image du second Nommons a, sa distance ao premier plan principal, et (r^ sa distance au premier foyer, nous avons
a, = (?, - F, ; l'équation 8 a) donne
équation qui est satisfaite si Ton a a^ = a^ ^= F^ — F^ ;
donc ^1 = ^t } *0b)
et -J=__=-i lOc).
Bléthodes pour trouver les foyers, points principaux et points nodaux d'un système da surfaces sphériques centré, résultant de la combinaison de deux systèmes de ce yenre.
Soient donnés deux systèmes optiques centrés A et B, ayant le même axe. Soient p, et p,^ (fig. 33) les deux foyers, et a, et a,, les deux points principaux dn système A ; soient ir, et ir^^ , a^ et a^ les deux points analogues du système B. Soit d la distance a^^ a, du second point principal de A au premier point principal de B, cette distance étant comptée positivement quand, comme sur la figure, a, est en arrière de a^,. Désignons par f et /*" les dislances focales principales a,Pf et a,, p„ du premier système, et par tp' et <p" les distances focales principales a, ir, et a,, ir^, du second.
Le premier foyer du système combiné est évidemment l'image que le système A donne du premier foyer ^, du système B. Soit t, ce point, il est clair, comme
159. RÉFRACTION OANS LES SYSTÈMES DE SURFACES SPHÉRIQUES. (57) 77 rindiquc aussi le rayon parti de t^ sur la figure, que les rayons partis de t^ se rtenlsBenl en w, après réfraction par le système A^ et qu'après réfraction par le svBtème /?, ils doivent être parallèles à l'axe, de sorte que t, répond à la définition da premier foyer. La disUnce a„ ic, est égale kd — 9' ; il en résulte pour a^ t^ la
vim
De même, le second foyer du système combiné est l'image que le système B diHme du second foyer ^^^ du premier système.^ Soit t^, la position de cette image, on a
Les deux points principaux du système combiné doivent être chacun l'image de Taotre, le premier étant relatif à la marche des rayons lumineux dans le premier milieu, et le second à leur marche dans le dernier milieu. Ces deux points priDdpaox doivent donc posséder une image commune dans le milieu moyen^
intermédiaire aux deux systèmes optiques. Soit s cette image (fîg. 33], et soient '"iCtr,^ les points principaux du système combiné. Si s est Tirnagc de r^, et ;\^ iiœage de s, il en résulte que r^, est l'image de r„ et la première condition des poÏDts principaux se trouve satisfaite. La seconde condition consiste en ce que les points correspondants des images conjuguées, comprises dans les plans principaoi, doivent se trouver sur une même droite parallèle à l'axe. Soit a la grandeur d'un objet situé en s, ^^ celle de son image formée en r, par le système A , tt Pj celle de son image formée en r^, par le système B. Soit x égal à la lon- ^r a„sety égal à sa,, on a, d'après 8b),
hnr que p^ soit égal à |3„ il faut qu'on ait
78 («8) PREMIÉHË PARTIE. — OIOPTHIQUE DE L^CEIL. § 9.
OU enfin : — ^^ — «= — i— . .
«/i Vn et, W/
Donc, pour trouver le point du milieu réfringent moyen^ dgni le$ imagm sont les deux points principaux du système combiné, il fcyjit partager la din tance comprise entre le second point principal du premier milieu et le pre^ mier point principal du second milieu en deux parties, proportionnelles aux distances focales principales des deux systèmes relatives à ces derniers pointé principaux.
Gomme on a x + 9 <^ ^t on a, d'après 11 c),
fl? d — X
D OÙ l'on tire a: «= , . ., ,
Connaissant x, on trouve aisément la distance a, r^ =» h^ ia premier poiat principal du système combiné en avant du premier point principal du système A :
df \
de même, la distance a^^ r^, = h^ du second point principal du système biné en arrière du second point principal du système B :
Il résalte de là, pour les valeurs Fi et F^ des distances focales principales da système combiné,
^% = «Il ^n — "il ^11 '
Ayant trouvé les points principaux et les foyers, il est très-facile de trouver lei
§ 9. RÉFRACTION DANS LES SYSTÈMES DE SURFACES SPHÉRIQUES. (59) 79 fointi nodauxt poiaque la distance du premier point nodal au premier foyer est iple à h seconde distance focale principale, et que celle du second point nodal au ) \ foyer est égale à la première distance txale principale.
Si Foii ne veut chercher que les points nodaux et qu'on n*ait pas hesoin des principaux, on peut employer une méthode analogue à ceDe que nous de ioifre pour lés points principaux, et utiliser cette propriété que les images conjuguées, situées dans les points nodaux, sont en raison nmse des indices de réfraction des milieux correspondants. Sur la même figore 33, ne considérons plus a, et à„ , a^ et a^ comme étant les points principaux, mais bien comme étant les points nodaux des deux systèmes A et B; soient r^ et r^^ les pomts nodaux du système combiné, et s leur image comnmoe dans le milieu moyen ; nous a?ons
On a:
Vf'
Soit maintenant o la grandeur linéaire d'un objet situé au point s du milieu moyen, p^ celle de son image formée en r, par le milieu A, jS^ celle de son image formée en r^^ par le milieu B^ d'après les propriétés connues des points nodaux, on a
Or, si fi| et ti, sont les indices du premier et du dernier milieu, et v celui d milieu moyen, on doit avoir, dans les plans nodaux,
il en Hais
résulte ooa
que
dODC
d'Où nn
«Il Pi/ <*i w,
80 {60) PRKMIÈRE PAHTIK. — DIOPTRIOLE DE L'ŒIL.
Nous avions trcavé les mêmes formates au numéro 11 c), lorsque nous < rions les points a„ a^,^ a^ a,^t r, el r^, comme des points principaux ; donc» poi trouver les points nodaux du système combiné, on procède absolument oonu pour trouver ses points principaux^ avec celte seule différence qu*on part d points nodaux et non plus des points principaux des systèmes donnés.
Inscrivons encore ici les formules relatives au cas le plus simple de tous, ce! où chacun des deux systèmes à combiner se compose d'une seule surboe sph rique. Soient f\ le rayon de la première surface, r^ celui de la seconde» d leur di tance réciproque^ n\ n" et n!" les indices de réfraction des trois milieux. D'apr Sa) et 3b)» on a
' — „" ^ n' ^ II'"— fi"
Posons pour abréger
n" (n"' — n") r, + n" (n" — n') r, — (w"' — n") (n" ^ n') d =^ iV,
les distances focales principales sont alors
ny
les distances A^ et A, des points principaux aux surfaces sont
n' (/!'' — n'^') dr, \
la dîsunce //de l'un à Taulre des points principaux est rf + A| + *i» ^
Pour d = 0» on a A, = //, = /f = 0, et. alors aussi
^^ -(n"„">r, +{n' - «') r/ Dans ces formules, faisant r. = r^, il vient
ré — Il
s 9. RËFRACTIOxN DANS LES LENTILLES. 81
Les foyen et les points principaux sont alors exactement les mêmes qne s'il n'y mil qa*aiie sor£M:e réfringente. ïje résultat est indépendant de n". Donc :
Dam un système de surfaces sphériques réfringentes^ on peut^ sans altérer la ré fraction des rayons^ ajouter d chaque surface réfringente une couche infinimenl mince^ d'indice de réfraction quelconque, limitée par des surfaces sphériques concentriques.
Celle proposition nous servira plus tard pour simplifier bien des considérations.
Enfin, posons encore les formules des lentilles limitées par deux surfaces spbériques^ le premier et le dernier milieu étant identiques. Faisant n'" = n\ il Tient
*"" •~(»"-n')[n"(r,-.r.) + (n"-n')ci] j " ' ""'^
Les distances des surfaces aux points principaux, qui, dans ce cas, coïncident avec les points nodaux, sont
Wdr^
La distance entre les deux points principaux
Les quantités h^ et A, se comptent positivement quand elles sont situées au dehors de la lentille.
Dans le cas actuel, le point de la lentille dont les deux points nodaux sont les images, se nomme centre optique de la lentille. Il est situé sur l'axe optique, et ses distances aux deux surfaces sont entre elles comme les rayons de ces surkes.
Gomme, par rapport à la grandeur et à la position des images, les résultats de b réfraction dans un système optique ne dépendent que de la position des foyers et d€s points principaux (ou nodaux), on peut, sans modifier la position ni la graodenr des images, substituer l'un à Tautre deux systèmes optiques dont les foyers et les points principaux coïncident. Gomme il est impossible de changer le rapport des indices de réfraction du premier et du dernier milieu , sans duoger par là même le rapport des distances focales principales, nous admettrons que, dans une pareille substitution, le premier et le dernier milieu restent les mêmes. Il suffit alors de faire l'une des distances focales principales et la dis* tioce des points principaux entre eux égales à ce qu'elles sont dans un système (iooné, pour obtenir un second système qui puisse être substitué à celui-lh. Dans vn s\*sième formé seulement de deux surfaces réfringentes, on peut, pour remplir ces conditions, disposer de quatre grandeurs, r^ r, n" et (/• On peut donc,
i- /;/ PRlMILRE partie. — DIOPTRIQLE de L'OEIL. § 9.
a Hv vj%tkme ^Iconque de suifac^n ffph^riq^Êe^ réfringentes centrées^ xulh tht'i'-r vM ifjxtème compote de deux mrfac^s iffi^nfuet seulement^ et qm donne /*?y imû^ de mî-me çrand^ivr et plnrê-% de même çve celles produites par le tifnr^t.e ;>ro/yM«', et, en général, on peut même imposer encore denx conditions ifiM rioit remplir en même temps le sirstème de denx sarfaces; c'est ainsi qn*on peut demander cju'il soit consiruit en une malitrre donnée, etc.
Poor le cas où le premier et le dernier milien sont identiqnes, oà leur indice (te ri^frartion e>t moindre que celui dn milien nKj\en et où la distance des sorfao4 réfringentes est moindre qne les rayons de courbures ; en un root» pour les It^ntiiles ordinaires, je vais passer en revne les dîflerents cas particuliers, car nous ;inrrip.s songent à nous occuper de lentilles de cette espèce.
1^ Ulules biconvexes. Lesdeui surfines sont conïeies : r, est positif, r, n^;)tif; d'après Téquation 13), la distance focale est toujours positive. Lesdis^ tanrps des points principaux aux surfaces sont négatives, c'est-à-dirc que ces p^iînt^ sont à Tintérieur de la lentille, et leur distance mutuelle est positive, c'e»t-à-dire qne le premier est en avant du second. La figure 3& représente la pTMJtion des foyers p^ />,et des points principaux A^ A, d'une lentille biconvexe. La premii-re et la seconde surface de cette lentille sont marquées 1 et 2.
Fie. 3A. FlG. 35.
Les lentilles plan-convexes fonnent un cas limite des lentilles biconvexes, l'im rîes rayons devenant infini et l'un des points principaux venant se placer sur h surface a>urbe de la lentille.
T IjmtUles biconcaves. Deux surfaces concaves : r, est négatif et r, positil \a» distances fcnrales sont négatives, les distances des points principaux aux surfaces y)nt tontrîs deux négatives, c'osl-à-dire que les points principaux sont à l'intérieur de la lentille. Leur disUnce mutuelle est positive, c'est-à-dire que le premier eht en avant du sei!ond La figure 35 représente la position des points principaux A, et Â, et des foyers y>, cl y>, d'une lentille biconcave. — Les lentilles planconcaves constituent un cas limite, l'un des rayons devenant infini, et l'un des pr^ints principaux venant coïncider avec la surface courbe.
3*^ DmtHles concaves^onvexes. I«es rayons sont tous deux positifs ou tous denx négatifs. — Examinons le premier cas : le second s'en déduit immédiatement en prciMnt pour |Nremier côté le second côté de la lentille. La distance focale devîeot positive quand on a
elle devient infinie quand les deux membres de cette in^alité deviennent égaux; elle devient négative quand le premier membre devient inférieur au second. L^
i 9. AÉFRACnON DANS LES LENTIIi.E& (68) 8S
io^pieiir r, +d^r^ «st la dsunoe da centre de courbure de la seconde surface àoehd de la première, comptée eu arrière. SA aecond cenure est-^ii en arrière do premier, la lentille s*amincit en allant du milieu à la circonférence ; est-il en ifaat dn premier^ la lentille s'épaissit au bord. On peiU donc dire que, quand une lentille concaTe-convexe s'épaissit vers le bord, sa distance focale est négative, et (pe, si sa distance focale est positive, elle s'amincit vers les bords. Mais il no faut pas énoncer les deux propositions réciproques, comme on le fait souvent à tort
Le premier point principal est situé en avant de la surface convexe, quand la fislance focale est positive, et s'éloigne jnsqu'à l'infini, quand la distance focale eflfr-mênie devient infinie. La distance focale devient-elle négative, le premier point principal est aitué en arrière de la surfioe convexe de la lentille, c'est-à-dire èi côté concave, et s-éfoigne également indéfiniment quand la distance focale derient infinie.
Le fleceod point principal est situé m avant de la sur&ce concave de la lendle, c'est-à-dire de son côté convexe» quand la distance focale de la lentille est pontife ; il est sitné en arrière de cette surface quand la distance focale est négatiie, et s'élDÎgne égalaient h l'infini quand la distance focale devient infinie. — Qsand la distanœ focale est positive, le second point principal est toujours en arrière dn premier, c'est-à-dire plus voisin de la lentille. — Quand elle est négative, il est en arrière dn premier, c'est-à-dire plus loin de la len- /y/ s
Ûle, quand celle-ci s'épaissit vers /i> aM ^r ^
son bord; il est, au contraire^ en ' ^1 * ^i /'s
avant dn premier, qnand la lentille, ^
à foyer négatif, s*amincit du milieu fig. 36.
i la circonférence ; ces deux points
cûncident qnand les deux surfaces appartiennent à des sphères concentriques, et
abrs ils sont situés au centre commun de ces sphères. La figure 36 représente
Fie. 37.
ane lentille concave-convexe, à foyer positif; la figure 37 en représente une à foyer négatif qui s*épaissit vers le bord ; enfin, la figure 38 en représente une à
foyer négatif, dont l'épaisseur est moindre aux bords. Le centre de courbure de la première surface est marqué c,, celui de la seconde est marqué c,.
Je ferai encore observer que les foyers ne tombent jamais à l'intérieur de la ^le, et, de plus, qu'ils sont toujours de part et d'antre de ce milieu réfnn-
$h («5) PRESUËRE PARTIE. — DIOPTRIQLE DE L'ŒIL. § 9.
glBBL En ce qui concerne b posîtioo des images, qoand les deux disUnoes focales sonc égales, Téquation 8a) ec 8b) devient
Avec les lentilles à distance focale positive (lentilles collectives), on ¥oiC que, d*après ces formales, les images d'objets réeb infiniment éloignés, pour lesquels /*, derient infini, se trou?ent en arrière de la lentille, an second foyer principal, et, par rapport aux objets, elles sont infiniment petites et renversées. Qnand Tobjet se rapproche de la lentille, les ima^^es s*en éloignent, restent réeBes» renversées; et augmentent de grandeur jusqu'à ce que f^ étant devenu égal \ P.^ l'objet est arrivé au foyer antérieur; la distance et la grandeur de son image sont alors infinies. Tout cela se voit aisément d'après l'équation i&) qu'on peut écrire
Quand f^ diminue de cx) à F, -r- augmente depuis 0 jusqu'à -^r, et -r- di-
Jt ^ /i
minue depuis — jusqu'à 0, c'est-à-dire que /, augmente depuis F jusqu'à c». La grandeur de l'image,
est toujours négative tant qu'on a /*, > F. Quand /*, décroît depuis oo jusqu'à/; le dénominateur de la fraction décroît depuis oo jusqu'à 0, et 13, varie de 0 à — oo.
On trouve, de même, que, quand l'objet s'avance depuis le premier foyer jusqu'au premier point principal, f^ varie de — coà 0, c'est-à-dire que l'image, qui est maintenant généralement virtuelle et située^ par rapport à la lentille, d» mémo c^té que l'objet, s'avance depuis l'infini jusqu'au second point principri*. et cela en ayant une grandeur positive, c'est-à-dire qu'elle est droite, et, de plus, que sa grandeur varie depuis -j- oo jusqu'à une grandeur égale à celle de l'objet.
Enfin /*! peut aussi devenir négatif, et alors Tobjet devient généralement virtuel; alors /*, est constamment positif et moindre que /,, l'image est droite et moindre que l'objet Lorsque /*, varie depuis 0 jusqu'à — oo, f^ varie entre 0 et f, et p, entre p, et 0.
On peut donc dire que les lentilles collectives rendent convergents les rayons qui leur arrivent en parallélisme, et les font se réunir dans le plan focal ; eUes
? 9. RÉFRACTION DAiNS^ LES LENTILLES. (64) 85
reodent encore plus convergents les rayons qui leur arrivent avec une certaine coofergence; enfin elles rendent moins divergents ou font même converger les mtHisqat leur arrivent en divergeant, et cela suivant que bes rayons proviennent d'oo point situé au delà ou en deçà du foyer.
Les lentilles à distance focale négative se nomment aussi dispersives^ parce qa*eUes font diverger, qu'elles dispersent les rayons parallèles qui leur arrivent, ^*eOes augmentent la divergence des rayons divergents, et diminuent la conver- ^eoce des rayons convergents, ou les rendent même divergents.
Soit P la valeur absolue de la distance focale négative de la leniillc, c*està^re posons P = — F; nous aurons
Il en lésahe que, pour toute valeur positive de ^ , f^ est négatif, et que, quand /*! dhninue depuis oo jusqu'à 0, /*, varie depuis — P jusqu'à 0 et p, depuis 0 joHfu'à ^^. Donc les lentilles dispersives donnent d*objets réels situés en avant du premier point principal, des images virtuelles, situées en avant du second point principal, moindres que l'objet, plus voisines de la lentille et droites.
Pour les valeurs de ^ négatives, mais moindres que P en valeur absolue, f^ devient positif, et pendant que f^ varie de 0 à — -P, /, croît de 0 à + oo, et Pi, de p, à cx^ Les rayons qui arrivent à la lentille en convergeant deviennent donc moins conveigents, si leur point de concours virtuel est situé au delà du foyer principal postérieur.
Pour des valeurs négatives de f^^ supérieures à i? en valeur absolue, /, et (}, deviennent négatifs; il se produit donc, en avant du verre, des images renversées virtuelles. Pendant que f^ varie depuis — F jusqu'à — oo, f^ varie depuis — oc jusqu'à — -P et P, depuis — oo jusqu'à 0. Les rayons convergents sont donc rendus divergents par les lentilles dispersives quand leur point de concours est situé au delà du foyer postérieur.
La distance mutuelle e de deux images conjuguées est /*« + ^ + A» si Ton désigne par a la distance des points principaux entre eux, et si l'on compte cette distance positivement, lorsque la seconde image est située en arrière de la première. Remplaçons /*, par sa valeur, et nous obtenons pour la distance e Texprasioo :
DiSereociant par rapport à /*,, nous obtenons
àf, (fi-pr'
de devient nul, c'est-à-dire e prend une valeur maximum -ou minimum, soit poor/*^ = 0, soit pour/*, == 2 F, et pour les distances focales, soit positives, soit
Dégatires^ le minimum répond à /", = 2 /^ et le maximum à /) = 0, comme on le voit facilemeut dans Texpressioa de e.
Ouvrages traitant de la réfraction des rayons lumineux par des systèmes de surfaces sphériques centrées :
1738. Cotes in Smith^ A complète System of opttcs. Cambridge. Il, 76. 1757 et Gl. £i;l£R in Histoire de l'Àcad. roy, de Berlin pour 1757, p. 283. — /MA. pour 1761, p. 201.
1765. EuLEB, Précis d'une théorie générale de la dtoptrique, in HisL de fAcad. roy. des se, de Paris, 1765, p. 555.
1Z78 et 1803. Lagrange, in Nouv, Mém, de l'Acad, roy, de Borlin pour 1778, p. 162. ^Jf*id,, 1803, p. 1.
1822. PiOLA, in Effemeridi astron. di Milano per 1822. 1830. M(iincs,in Cré//e's Journal fitr Mathrmatik.W, 113. 1841. Bessel, in Astronom» Sachrichten, XVIII, 97.
— Gavss, Dioptrischc Untersuchungen. Gottingen. — Extrait de AbhattdL d,
Kôn, Gfis. d. Wiss, zn Gottingen^ Theil 1, von dcn Jahren 1838-43. 1844, Encke. De formulis dioptricis. Ein Programm. Berlin.
— MosER, Ueber das Auge, in Dove*s Hepert, d. Phyxik, V, 289.
1851. LismiG, Art. Dioptrik des Auges, in À. Wagner's Uandwôrterltuch dL Phy* sioloyieyViy 451.
§ !•• *- BéflpaetloB éitm nij»ns émaut PcbII.
Par rapport à la lumière încîdentejrœîl se comporte essentiellement comme une chambre noire. Pour qu'un point lumineux soît vu dîstinctemont, il faut que la lumière émise par ce point soît réfractée par les milieux réfringents derœil de telle sorte que toute cette lumière se réunisse de nouveau en un seul point de la rétine. La surface de cette membrane reçoit donc une image optique réelle des objets extérieurs. Cette image est renversée et réduite. On peut la rendre visible sur des yeux fraîchements extraits, en enlevant avec précaution la partie centrale postérieure de la sclérotique et de la choroïde, laissant la rétine intacte et tournant vers des objets éclairés la cornée d'un œil ainsi préparé. On voit alors se dessiner sur la rétine de. cet œil une image petite, lumiueuse, nette et renversée. L'image est encore plus nette si, à l'exemple de Gerling (1), on enlève les éléments de la rétine au moyen d'un pinceau , et qu'on place ensuite dans Fouverture une lamelle de verre ou de mica. Il est également assez facile de voir les images rétiniennes dans les yeux des lapins blancs, dont la cboroîde manque de pigment. Chez ces derniers, il n'est pas même nécessaire d'enlever la sclérotique : on voit l'image à travers cette membrane ; elle est assurément moins nette que sur la rétine mise à nu, mais elle est suffisamment distincte pour qu'on puisse en reconnaître la position,
(1) Poygendurff's Jim., XLVI, 243.
