Y + AY
„ , dY ^ , dY ^ . , ^^ . , /dY , dY dc\ Y + r— Aa?^ + -— A», etc. + j— Aa:,„ + + . — Aa da?j da;, dxm \da * de da/
dY ^ , dY ^ . , 'dY , /dY , dY de\
Mainlenant, comme la valeur de Y transportée dans la surface dont les point 9 sont donnés par les coordonnées a, b et c. doit être constante, il s'ensuit que
§19. RATONS RÉFRACTÉS NORMAUX A LA SURFACE D'ONDE. (245) 325 comme, de phu, d'après le théorème précédent»
0=.^ = — — — «=— te da?| ày^ dx^ dy,
il eo résulte que
Vda ^ de àaj "^ ^ Vd6 ^ de d6/ '
cette équatkui derant être satisfaite pour tontes les valeurs de — r t on doit avoir
ào nmaltànément
dr d Y de
da ' de ' da
dr dr de ^ ^ ^^'
Nommons maintenant r^, Tj ••• rm» les chemins parconms par le rayon dans les difers milieux réfringents et n^, n^ ... nmt les indices de réfraction, on a
Ki r» seul dépend Aea^beic; donc
dT
da
nm
da
Tm
dT dfr
nm
dr„
Hm
b—ym
dT de
nm
dr, de
nm
e— «m rm
donc eofio, substituant dans les équations 2), on a
de (a—Xm) + (c—Zm) -j- = 0 da
de (b—ym) + (c^zm) ~ = 0 J
^^oations qui expriment que a, 6, c est le pied de la normale abaissée du P^t^t y»« Sin, sur la surface 7==C.
la manière la plus simple de le voir est de remarquer que la normale clle- "^ est un maximum ou un minimum de la distance entre le point d'où on ^iAae et la surface courbe; or la distance entre le point Xm^ym, ^m et le Nt Q^b^c esi exprimée par
326 DEUXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. § It.
poor obtenir le maximum oa le minimum de cette valeur, il faut poser
da de da r» da
relations identiques aux équations 2a).
Le rayon passant par le point a, &» c est donc normal, en ce même point, 4 la surface T = C.
Gomme h lumière parcourt des tongoeurs optiques égales dans des tMmpségmn, elle arrife aussi en même temps du point lumineux k tous les points de la surboes T es C ; celleHJ est donc une surface d'onde, c'est-à-dire qu'elle passe par ton^ les points pour lesquels' la phase de la vibration de Téther est la même
Détermination du chemin d'un faisceau lumineux infiniment mince.
On vient de démontrer qu'il existe une surface courbe, la surface d'onde, laquelle sont normaux tons les rayons homocentriques, après un nombre quekocis que de réfractions à travers des surfaces courbes continues queleonques; il s*e^ suit que les rayons lumineux réfractés jouissent de toutes les propriétés qui app^^ tiennent aux normales des surfaces courbes. Imaginons donc un plan passant p^^s un rayon quelconque; il coupera la surfaice d'onde suivant une courbe; si Ton dj tourner ce plan autour du rayon, la ligne d'intersection présentera en général dif. férentes courbures au point où le rayon A perce la surface, et le plan de p/ifs grande courbure sera perpendiculaire au plan de plus petite courbure. ÉIctow maintenant en des points de la surface inOnimcnt voisins du rayon A, des normales correspondant à des rayons voisins ; celles dont les pieds sont sur les lignes de plus grande ou de plus petite courbure, couperont le rayon A au centre da cercle de plus grande ou de plus petite courbure ; celles, au contraire, dont les pieds ne sont sur aucune de ces deux lignes, ne rencontrent pas le rayon. Il y a donc, en général, sur chaque rayon, deux foyers où il est coupé par les rayons voisins; ces foyers correspondent aux centres des cercles de plus grande et de plus petite courbure de la surface d*onde, relatifs au point où elle est percée par le rayon.
Si les deux points coïncident en un seul, c'est-à-dire si, au pied du rayon, la courbure de la surface d'ondes est la même dans toutes les directions, le rayon .4 sera coupé en un seul point par tous les rayons inGniment voisins.
Pour démontrer ces théorèmes par l'analyse, nous allons employer un système de coordonnées ayant pour axe des z le rayon A, Pour les seuls points de la so^ face d'onde, posons
Supposons la surface déterminée en considérant r comme une fonction de a et de b. D'après le choix du système de coordonnées, |X)ur
. de de a «■ 6 =r 0, on a aussi --s=s5-~o. . . . ..l|
da Qb
§!9. DOUBLES POINTS DE CONCOURS DES RAY. NON HOMOCENTR, (Ui) 327
Si X, y, z désignent les coordonnées d'an point de la normale élcYée au point
0, 6, c de la surface d'onde* nous avons, d'après l'équalioD 2a) de la propo-
sitkttll,
de (a x) + (c— «) ^ = 0
. . de
ib-y) + (<>-«) 3J = ^
Rempbçant a et 6 par les valeurs infiniment peu différentes a + àa, b + ùA,
les équations ia) deviennent :
de de de
(a+M-x) + (c + - A« + jj A6-») -
d?^- + didî:^) = ^
(54.M-v) + (c+^Aa+^Ab-,)^
d^ de Fainot^dans ces équations, a s 6=0 et aussi, d'après 1). ~.=r-. =» 0, nous
da do
obtenons les équations d'une normale infiniment voisine du rayon A^ qui coupe
la surface d'onde au point déterminé par les coordonnées àa et àb :
^a-x + ic-z) (^- Aa + ^—^^ a6 ) = 0 j
Pour tous les points du rayon A, on a simultanément x=y = 0. Pour que A soit coupé par le rayon dont le chemin est donné par les équations 2), il faut donc qu'il existe une valeur de z pour laquelle les équations 2) donnent simultaoé(Deotx=ys=sO. Posons donc, dans ces équations, or b^=:;0 et éliminons z, il rate, comme condition de possibilité de la rencontre,
dTnr ^"^ + (d6î-d70 ^-^ - diTTdft ^*' = » • • • ^>-
ÀffeloDS r la distance infiniment petite des pieds des deux normales, et a l'angle, ■tenrement compris entre 0 et ir, que fait cette distance avec l'axe des x ; on a
Aa :^ r cos a, Ab = r sin a.
Posons en outre
d6« da*
d'c da.dfr
supposant que — ^ n'est pas égal à zéro, l'équation 3) devient
tang* a — an tang a = 4 Sa).
ou Ung a = n =b |/^4 ^ ««• • 3b).
Les deux valeurs de tg a, qui sont toujours réelles, peuvent être mises soosli forme
Si donc ao est l*ane des valeurs correspondantes de oc, oq + ^ ^^ «o "^ ^ ^
l'autre. Les deux angles diffèrent d'un angle droit. La grandeur r, qui désipe la distance des normales sur la surface d'onde, disparaît de l'équation 5 a). Le rayon A est donc coupé par tous les rayons infiniment voisins situés dans ks phv
qui font avec l'axe des x les angles a» et a» + ^ •
Jusqu'ici la position des axes des x et des y a été prise arbitrairement dans le plan perpendiculaire an rayon A. Pour simplifier, nous allons les supposer pixés dans les [plans des rayons intersecteurs, ce qui est toujours possible. Les deu valeurs de tang a deviennent alors 0 et oo, ce qui exige que
n = =b oo
da . ab
Par le fait, si nous supposons la dernière relation remplie, la condition de Tintersection, exprimée par l'équation 3), se réduit à
Aa A6 == 0 ,
condition satisfaite en prenant Aa ou a6 égal à zéro, c'est-à-dire en plaçaat les normales intei^scctriccs dans les plans yz ou xz. — Enfin, si Ton a en même temps
la condition de l'intersection est remplie pour toutes les valeurs quelconques infiniment petites de Aa et A^, et par conséquent toutes les normales infiniment m-
sines de A rencontrent ce ravon. En conservant la condition -r — — = Oel yjoi-
àadb
gnant ^a ou A^ = 0, nous trouvons, comme on Ta remarqué plus haut, la dii'
lance z à laquelle les rayons voisins coupent le rayon |)arallcle à Taxe des :, e»
posant X ^= y = 0 dans les équations 2).
Poor les rayons situés dans le plan des xz, on a A^ «= 0, et l'on déduit, de te
|19. DOUBLES POINTS DE CONCOURS DES RAY. NON HOMOCENTR. (246) 329 pranière des équations 2), pour la distance z— c du point d'intersection à la
sorbce d'onde :
da*
La seconde équation défient 0 = 0. Pour les rayons situés dans le plan des yz. OD I Aa t=r 0, et
d*c dï*
d'e d*c 4 S enfin --- = ---» — , on a, pour tous les rayons Toisins sans distinction,
Da reste, dans ce cas, les plans des xz et des yz sont aussi les plans de plus grande et de plus petite courbure, et les valeurs des rayons de courbure correspondants Pc et pi sont
do* d6*
en sorte que les foyers coïncident avec les centres de courbure de la surface d'onde.
Forme d'un faisceau circulaire et infiniment mince de rayons lumineux.
Ponr obtenir une représentation plus claire de la marche des rayons en faisceau infiniment mince, nous allons considérer la forme d*un faisceau de rayons dont la trace sur la surface d'ondes est un cercle. — Nous posons, par conséquent, dans les équations 2}, comme précédemment,
-t jr =0 et ^a=r ces a, ù6 = r sin a;
da . d6
lesécputions 2) nous donnent
d*o r cosa— » + (c — «) T^ r ces a = 0 , do'
d*c r sin a — y + (c — 5) --t. r sm « = 0. do'
^obtenir l'intersection du faisceau avec l'un des plans perpendiculaires à son ^f noos devons poser z = constante, et éliminer l'angle &. Posons pour abréger
P = + r [< + {c-z) £îj = + 1 [p. + c-z],
330 {247) DEUXIÈME PARTIK. -- DES SENSATIONS VISITRIXES. § 10. il vient l L = ^
Gesi l'équation d'une ellipse dont les axes, respectiTement paradëles aux axes des X et des ^, sont égaux à 2p et 2q. Les deux axes de Tellipse diminuent ifec r ; si le faisceau lumineux remplit donc, dans la premiôrç surface d*onde, uoihseole' ment une ligne, mais une surface circulaire, tous les rayons demeorent^oompril dans l'espace limité par les rayons marginaux, qui déterminent donc la forme do faisceau. Dans la surface d'onde d'où nous sommes partis, on a même c — :; s= 0, les axes sont p:=s q=ir, la section transversale est un cercle. L'axe p devient égal h zéro si
da*
et, par conséquent, si la section transversale passe par les foyers des rayons daoi le plan des xz. L'autre demi-axe est alors
q = éz - (p„+ pi).
La section transversale du faisceau est alors une ligne droite parallèle à Taxe des y, dont la longueur est égale h cette valeur de q.
En revanche, la section du faisceau devient une ligne droite parallèle à l'aie des X si
7 = 0, p = =fc - (p„ + pi).
Enfin il y a encore une seconde position où la section du faisceau lumineux est un cercle, c'est-à-dire où Ton a
c — s c — z c'est pour 4 -| = — i ,
pa ph
OU bien :;— c =
ou, ce qui est la même chose,
, pa pb
pn -r pi
Entre les deux sections circulaires du faisceau se trouve une des section' linéaires. Cette ligne est parallèle aqx grands axes des sections elliptiques plac^?^ entre les deux cercles, tandis que les grands axes des ellipses extérieures lui .so0(
§ 19. DOUBLES POINTS DE CONCOURS DES RAY. NON HOMOCENTR. (248) 331 popeodicolaires. Dans la figare 108, la ligne cd désigne le rayon central ; en c 00 a mis un diaphragme circulaire, en a et 6 sont les deux foyers. Au-dessous de
FiG. 108.
b ligne cd on a dessiné les sections du faisceau qui correspondent aux différents points de cette ligne.
Conditum anûlyti^ue générale pour la poittian des fbyers.
Appelons T et T + AT les longueurs optiques de deux rayons infiniment voisins il et B, depuis leur origine commune jusqu'à Tun des foyers^ où jik se rencontrent de nouveau après un nombre quelconque de réfractions sur des surfaces réfringentes à courbure continue. I^es coordonnées auxquelles nous rapportons les points des surfaces réfringentes 9ont encore choisies de manière que Yne des I coïncide avec la normslo correspondant au point d'incidence du rayon 4i etqae le plan des xy soit tangent h la surface réfringente. Les coordonnées des points dincidence du rayon j9 seront 9:^, y^. i^ pour la première surface,
X,, y,, Z| pour la seconde, , Xmy ynsy im pour la m<^'"^ On supposera dans
ce qui ?a suivre que les longueurs optiques sont exprimées seulement en fonc-^ tion de r et de y, et que les 2, qui sont paiement des fonctions de x et y, sont éliminés de ces valeurs; comme d'ailleurs les rayons AeX B sont supposés infini<inent voisins, il faut considérer les grandeurs ;v, , y ,,..«. • jusqu'à Xm%ym% comme infiniment petites.
D'âpre la série de Taylor, on a
. dY tlY . dy
+ di;:''' + d^'''-^ -^Wn,''-
l^ deux rayons doivent satisfaire à la condition énoncée dans le premier **wèroc c'est-à-dire que les dérivées premières de Y et T + AY prises par rap- ^^'if Vit ^t* Vt etc., j^m, yf», doivent être égales h 0. Cela donne, pour le l*8iùer rayon,
il«0 ~ = 0 — = 0
d0| dx, àXm
dT ^^ ^ ^"^ ^
dy, "^ ' dy, ~~ àym "^
332 (S49) DEUXIÈME PARTIE. - DES SENSATIONS VISUELLES. i et, en tenant compte de ces équations pour le second rayon, on obtient le s tëme d'équations suivant :
da?j' dop^dy^ * do;, dow àx^aym
dl/|dx, dy^* dy^da?m dy^ dy,
dxmdajj àxmày^ ^ ' daj«* dajmdy« *^
dymd», * ' dymdy, ^* ' ' dy^dx^ ^ ^ dy^*
Le nombre des termes de ces équations est diminué d'ailleurs par la considâ
tion que ^ — - — , •= — 5 — et -r — - — deviennent nuls, aussi souvent qoe àxfûXf àxfiyg àyfdyg
indices fei g diffèrent de plus d'une unité.
Le nombre de nos équations est de 2m et elles renferment 2m inconnues :
y^, 9 Xmf ym. Gomme toutes ces inconnues ne peuvent devenir nulles
rayon B devant être différent de A), on peut diviser toutes les équations pan des inconnues xi, qui ne devient pas nulle, et considérer les (2m — 1) autres i connues divisées par xi comme de nouvelles inconnues. On a alors 2m équad avec 2m — 1 inconnues, en sorte que, si Ton élimine les inconnues, il reste eno
une équation dans laquelle les grandeurs x,, y^ Xm^ym, ne figurent pi
mais qui ne contient que les dérivées secondes partielles de T. Cette demi équation, dans laquelle on égale à 0 le déterminant des équations U), est relation cherchée pour la position des foyers.
Le déterminant des équations U) est facile à former d'après les règles a nues (1). C'est une somme de termes dont le premier est le produit
etc.
dop, . dx^ * dy, . dy, ' àx^ . do?, * dx^ . àxm ' dy» . dy»» *
On obtient les autres termes de la somme, en laissant invariables les premi facteurs des dénominateurs des dérivées, mais faisant toutes les permutations p sibles avec les seconds, et faisant changer le signe du terme è chaque penr tation.
Ainsi, dans le langage du calcul différentiel, le chemin d'un rayon entrer deux extrémités est déterminé par la condition que la différentielle première la longueur optique soit égaie à zéro. Ces deux extrémités coïncident avec foyers si la seconde différentielle de la longueur optique peut aussi devenir null Dans ce dernier cas, la longueur optique n'est pas forcément un maximum oai minimum.
(i) Voy. Jacobi, in Crelie*s Jouni. fur Math., XX II.
i 19. RÉFRACTION DANS LES PRISMES. (250) 333
BÊPBACTION DANS LES PBISMES.
Noos supposons h position do point Inmineox déterminée par trois coordonnées recUDgoUires a« ft, c» en sorte que l'axe des c coïncide avec l'arête réfringente, le ffan des fo avec la première surface réfringente, et que les a positifs soient en dAors du prisme. Soit a = 0, b^^y^ c==z, les coordonnées du point d'inter- KCtioa dn rayon arec cette sur&ce. Définissons, de môme, un point du rayon a|iès sa sortie do prisme, par trois coordonnées rectangulaires a, p, y, apparlesuit à un second système dans lequel l'axe des y coïncide encore avec l'arête, DBis dont le plan des ^ coïncide avec la seconde surface, les a positifs étant cKore en ddiors du prisme. Cknnptons les y do même point de l'arête que les c, C9 sorte que le plan ab du premier système soit identique avec le plan o^ du Koond. Soit, pour le point de sortie du rayon, a=t;, p=0,y=C. Soit f l'angle il prisme et n l'indice de réfraction de la substance du prisme par rapport au nilieii extérieur. Soitr^ la longueur du rayon en deçà, f\ à l'intérieur, r, en iRière du prisme, 7 la loi^ueur optique du rayon tout entier, on a
To = ^"o* + (6-.y)« + (c-»)« \
ri = r^y» — 2yo ces y + «* + («-<)* l ^^
S nous exprimons les coordonnées du premier système en fonction de celles du acond, ona
a = — a ces y — 6 sin ^ '
P = — a sinf -}- b costp 5 a).
D'après le théorème I, pour que le rayon soit réfracté suivant la loi connue, il èà, remplir les conditions suivantes :
dT y — b , y — ocos»
0 = — - = ^fi i
dY y — P j^ V — y ces <p
dT « — c s — C
dÇ r, r,
Puions les notations suivantes :
6— y y — 1> ces a>
' ^ ' ^ = ces m
(3— V V — y ces tp nr,
s ces fA V 6 a),
nr« nr, r,
33/i (2Si) DEUXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. § 10. d'où l'on déduit
sin* tp sin* v = cos* m 4- 2 cos m cos /i cos y + cos* ^a. . . . 6b),
et, tenant compte de ces notations, formons la dérivée seconde de 7, on ann poar le système des équations U) qui domient la position des foyers, et les rapports des différences infiniment petites Ay, Az, At;, AÇ relatives aux coordonnées y, 2, t; et C de deux rayons voisins se coupant en deux foyers ooDJogaès,
[— (4 -n*cos*»n) -| sin*m lAy — { 1 ] ces m ces y As J
(cos « + <^> V'» C08 u) A9 + -— ces m COS V AC fi= 0 1
— [ 1 ) cos m 008 vdy + I — (4— n* ces* v) H sin*»)! As 1
vo ''1/ L*"© »"i J f^.
— — cos u cos V Av sm" v Au = 0 ]
(cos ^ + cos m cos p) Ay — — coi fA cos V As
