co8*p) H sin*p At? + ( — I — )cospcosvAC

«• cos m cos V Ay — — sm* v A«

+ { 1 ] cos p cos vA« + I —(4 — n*cos"v)-|- — sin*v |aÇ = 0

£n général, on pourra négliger r,, longueur du chemin parcouru par les rayt»s dans le prisme, par rapport aux chemins r^ et r, en dehors du prisme. Mol' tipliaut les quatre équations par 7\ et négligeant comme infiniment petits le^

termes multipliés par — ou -^ , nous obtenons les trois équations suivantes [7b)

et 7d) donnent deux équations identiques] :

sin* m ày -^ (cos y -[- cos m cos ^) Au — cos m cos v (As — AQ = 0 \

— cos m cos V Ay — cos ^t. cos v Av + sin* v (As — AQ = 0 [ . . . 8)

•— (cos y + cos m cos p) Ay + sin* ^ Au — cos jm cos v (As — AQ = 0 j

Mais, de ces trois équations, une se déduit des deux autres, en sorte que, par rélin)iuation de (A3— aQ ou de Ar, elles se réduisent à

(cos jm + cos m cos <p) Ay = (cos m -f- cos ju cos y) Au )

^y Ar ' >. . . . 8a),

y "" tj )

et (As — AÇ) (cos m + cos y^ cos <p) = cos v sin* f Ay ]

As — AÇ Ay A» >. . . . «M-

ou

»— C y tJ

h RÉFRACTION DANS LES PRISMES. (3S2) 335

éenx dernières équatioi» exprimeot sealement les conditioos pour que les I tifOBi putsMOt être considérés comme parallèles pendant le trajet infiniment rt à tniTers le prisme, ce qui va de soi^ si leurs points de convergence sont liment éloignés-en comparaison du chemin parcouru dans le prisme. fo» arons donc exprimé deux des inconnues At; et ^C au moyen des deux «B, Ày et Àz. Nous pouvons maintenant tirer des équations 5), par élimination, XMavell» équations qui ne contiennent plus la quantité négligeable r^ et des-

dei nous pouvons déduire les rapports — et -^.

Kous obtenons une semblable équation en ajoutant 7b) et 7d) :

ces m ces V Ay + — (^ — n* cos*v) A« + ~ cos ^ cosv Au

H (4— n» ces* v) AÇ = 0

^obtenir la seconde, multiplions Féquation 7 a) par

y = , * (ces m -j- 008 fi cos f ),

!^on 7c) par

V = , ' • (cos u + cos m cos »), sm* f

qaation 7b) par

z — Ç = r, cos V

aioatons les trois équations ; tous les termes où -^ entre comme iacleur dispaa il vient :

— ((4 — n* cos* m) Ay — n*cos m cos v A:?)

H { — n* cos m cos v Ay + (4 — n» cos* v) A«} > .. , 8d).

H {(^ "" *** *^* f*) ^^ + n* cos jm cos V AÇ} = 0

itloD tire de 8a) et 8b) les valeurs de Av et aC en fonction de Ay et Av et qu*on v nhBdtue dans 8c} et 8d), on obtient deux équations qui contiennent les quan-

^ inconnues — et -. En éliminant Tune d'elles, on obtient pour Tautre une Ay r^ ^

^nation ne contenant que le carré de la variable, qui présente deux racines*

^^oouDe, pour chaque combinaison des valeurs arbitraires des angles m, ^, v, oit

*^ une on deux valeurs numériques déterminées du rapport —, r, varie

impoitioiuiellement à r^ pour chaque direction donnée du faisceau lumineux. Si

336 {i5S) DEUXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. § 19. Tq devient infini, il en est de même de r,. Il est inutile d'écrire ici les éqmtiov résultant de réiimination. Nous n'allons étudier que les cas particuliers qui nom intéressent pour nos expériences.

• I. — Cherchons d'abord dans quels cas la lumière komocentrique reste hmh centrique après sa réfraction dans le prisme.

Pour que tous les rayons émanés d'un mêaie point lumineux puissent se rencontrer, les conditions d'intersection 8c) et 8d) doivent être ^remplies, queDo que soient d'ailleurs les valeurs clyiisies pour ày et Az. On peut donc éffkt ï 0 chacune de ces quantités, et l'on obtient les conditions suivantes. 1<* Si, dans 8c), on pose Ay=0, d'où, d'après 8a) et 8b), àv^^sQ et AC^^Ai,

il vient f 1 ) (4 — n* cos* v) = 0 ,

Maintenant, comme, d'après 6a), n cosv= , le second facteur de cette éqoi-

tion ne peut devenir nul que si r^ =c — z, si, par conséquent, le rayon lumineux rencontre la surface réfringente en rasant, cas où il ne peut la travener. Il faut donc que le premier facteur de 9a) soit nul, c'est-à-dire

^ = — ♦"o- 2*" Si, dans 8d) on pose Az = 0, et rt = — r^, on a

0 = (4 + n* sin* v + n" cos" v) (cos* m — cos* p). Le premier facteur, égal à 1 4* ^'» n'est jamais nul, d'où

cos m = ± cos ^ 9b).

3° Si l'on pose Az=0 dans 8c), ou Ay = 0 dans 8d), et r, = — r^, on a, ca tenant compte de 6b),

(4 — n*) cos V sîu* y ss 0.

Mais 9 étant l'angle de réfraction du prisme, sin ^ ne peut pas être nul; on a donc

cos y e= 0 \

Par conséquent, le rayon est tout entier dans un plan perpendiculaire à l'arêlft réfringente. Nous écrivons, d'après 6a}, l'équation 9b) sous la forme

y — © cos y =3 i (v — y cos ^)

y (4 =t cos tf) = =b r (4 rfc coS a),

d'où

Maintenant, si c désigne l'angle d'incidence sur la première surface, c^ l'angle de

1 19« HOMOCENTRICITÉ DANS LES PRISMLS. 337

«ioo, «I l'ai^ d'incidence, dans TintMeor du prisme, sar b seconde tf n Ywofjie de réfraction dans l'air.

V sin tf y sin 9 CCS c, == , cos n^ = ;

donc, d'après les hypothèses faites,

cos C| = cos 19 1 ,

et sin f =5 fi sin C| = n sin ni = sia n;

c'ot-Shdire qœ, pour qae les rayons restent bomocentriques, il faut qu<! les aigles da rayon et de la normale au point d'incidence soient égaux des deux côtés do prisme.

Celte direction suivant laquelle les rayons bomocentriques' doivent traverser le prisme pour rester bomocentriques, est encore remarquable par cette propriété fK la démah'on du rayon de si route jmmitive est un minimum.

En transformant les coordonnées du premier système a, 6, c, x et ^, d'après Inéquations 5a}, en coordonnées du second système, nous obtenons les cosinus faaogles que fidt le rayon à son entrée avec les axes des «, p et y du second sfMème, respectivement égaux à

g cos y -{- (&— y) sin y (h — y) cos y — a sin y c — s

io cosinus correspondants des angles que fait le rayon à sa sortie avec les axes de8a,p, y, sont

Si nous désignons par m l'angle des deux directions du rayon à l'entrée et à la tttie, on a

a cos y -|- (^— y) sin y « ^^ (& — y) cos y — a sinj^ ((î — «)>

in moyen des équations 5) et 6) on peut éliminer ici les quantités a, 6, c^ «fP,y. On a d'abord

f «= v/t ^A'^-^^^^^y + i^-^y ^ /n'y'siny ^^, ^^

Sl'Dne des deux racines devient imaginaire, nous avons réflexion totale du rayon "■^b surface correspondante. Les valeurs des rapports ^, — '^—^ — »^^ ,

336 {i5o) DKrXIËMË PARTIE. — DES SENSATIONS To devient inrini, il en est de même de r,. Il est inatile résaUant de rélimioation. Nous n'allons étndier que ter,intéressent pour nos expériences.

I. — Cherchons d*abord dans quels cas la Iv centrique après sa réfraction dans le prism

Pour que tous les rayons émanés d'mi r contrer, les conditions d'intersection '' ({ue soient d'ailleurs les Yalears dfy 0 cliacune de ces quantités, et l'or

i"* Si, dans Se), onpose Ayr

aâésque cuiih

rcrr^i

Hï\.

il vient

Maintenant,

tîon ne peut dp nenz renoop' Il but do*

. y comme constantes, et cherchons à dc^^^*^ gie » soit un maximum; nous devons poser

cl — : - 0.

^^(itcnu que dans r^ dans la valeur de cos u, nous pouvon> au?"

^^^•p/^n-éq«al.on

K d (fos «) sinw d (*•,-)

Million Obi salisfaitc pour loutos les valeurs de r. si nous pn>oiiv

^ic solution ne ixiurrait utrc inadmissible qucdaas les deux cas dû \\\\\ aurai .^^:=^0, car alors le rayon ne i^ourrail être réfracté, ce qui ne |H'nt m* im» jyire que pour des surfaces parallèles, ou bien où la déri\ée de cos w priiidrw „nc valeur inlinie, son dénominateur devenant é'^^al h 7.éru. On eonclm facilfmtiii (le iOb) (pic le (ItMiominatcur ne {)eut renfermer cpie i\ et 1rs d«ii\ i.iditviuL Mais ;'( n(* ))eut devenir nul tant que // et r ont les valeurs |K)siti\e>, iiu'nn infiiitment |)cli(es, qu'ils doivent avoir |iour que le rayon puissi' traverser le piÏMik-. \M. plus, il (MUSC des équations 6a) les racines ne |)euvent devenir nuli«^, <i le rj^ei doit se pni|)a;;er dans Tespace en a\ant et en arrière du prisme. Noii> reniplis^on donc la condition

dbi

pour toutes les valeurs de f, eu |)<)>ant

Il s'ensuit comme plus haut, d'après les équations 6).

i i». UOVOCENTHICITÉ DANS LES PHISMËS. {9IS^ 330

Mi Iti pRÎMiéii myMi soat donc s^aéi^ dans un plan perpendicidaîre à Vvfite itfnogente (axe des z).

Pour sati^Hffe à h seconde eondiîUoii. q«i doU êu^ rmpUQ ftm diQ«iner à u une Taleor maximum, c'est-à-dire

dib) àv

iMV poufoos d'abord simpMAer l'expressioB de oos •», en y faisant s «nCi d'oà

r^* = y* + tj« — 2y« cos f.

lemphçons v par unenooreUe variable^, en posant

V = qy ,

0 disparut alors de l'expression de cos a> dans Téquation 10b) ; il en est de même dey, et co» ««défient «ne (onction de^aeul*

cos tt = f(q) .

Mail, comme cos «» ne clvinge pas si Toa permute partout les deux lettres y et v, «la, pour chaque valeur de g,

cos « = / (q) = f T— j .

iMoasdephis

Piovv=y, c*est-à-dire9=i, il vient

lar conséquent aussi

d cos ci>

-= ot.

et, si en même temps sin c» n*est pas nul,

d cos ta

àv

dt?

sna>

Sdooe

s =. Ç et

«i en même temps

Obi

dw

^ = 0 et

<!tMest une valeur lioiiie. La recherche delà dérivée seconde prouve que, dans ce cas, M est un maximum. L*angie du rayon réfracté avec le prolongement du

3Û0 (257) DEIÎXIÉMK PARTI li). — DES SENSATIONS VISUELLES. § rayon incident, qui est le supplément de 6>, et qui mesure la dévlalkm do n de sa route primitive, est donc un minimum. Le maximum de w se trouve en posant, dans 10b), y = t; et 2 =Ç ,

« = «, -f 2 arc CCS ( n sin ^ j I(

Donc : Un faisceau infiniment mince de rayons homocentriques éman d'un point situé à une distance finiCy ne peut rester homocentnque aprè, réfraction à travers un prisme que si la déviation est un minimum^ c'cst-éni si le faisceau se meut dans un plan perpendiculaire à l'arête réfringenit fait des angles égaux avec les deux surfaces du prisme.

Dans ces circonstances, il se produira donc, après réfraction, une image t tuellc du point lumineux placée du même coté et à la môme distance du pri» que le point lui-même. Mais cette image se trouve dans une autre position : v

du prisme elle paraît déplacée de l'angle - — o vers l'arête réfringente.

IL — Cas de la réfraction non homocentrigue.

Si l'on regarde un point lumineux, son image ne peut être uelte qu'à la coi dition que la lumière soit homoccntriquc après réfraction. Si c'est au coDtraii une ligne lumineuse que l'on regarde, celles des aberrations des rayons qui : présentent suivant la direction de l'image de cette ligne ne nuisent aucunement la netteté de l'image. Or c'est là le cas ordinaire dans le spectre. Ainsi, si la ligp lumineuse est parallèle à l'arête réfringente du prisme, laquelle est dirigée soivai l'axe des z, les aberrations suivant la direction des z ne nuisent aucunement, tai dis que le contraire a lieu i)our celles comprises dans le plan mené par le ray€ perpendiculairement à cet axe. Dans ces conditions, les équations 8b), 8c) el 8 c doivent être satisfaitas par aï; =^ 0 |)our Tune, et par Au = 0 pour l'autre d( lignes focales. Celte dernière relation entraine At; = 0 et Av - - AC ; alors 8c) dooB

f— + — ) (1 — n* cos^) = 0,

d'où »*» = — ''o ***

et 8d) donne (4 — n*) cos v sin * cp = 0.

d'où, comme plus haut (9c) cos v = 0

et c z s= z Ç = y Ç sa: 0.

Quand celle dernière condition est remplie, l< s aberrations Ay sont situées dan un plan mené, par le rayon, i)erpendiculairement à l'axe Ar. Elles corresponde» donc au second plan de convergence, qu'on sait devoir être perpendiculaire à cehi qu'il nous faut chercher. La dislance focale des rayons relative au plan de convergence perpendiculaire à l'arèle réfringente s obtient en faisant simultanément dans 8d), A3 = 0 et cos v = 0, ce qui entraîne aÇ = 0, et il vient

— (« — n* cos *m) y* -| {\ — h- cos -p) v* = 0,

5 il. RÉFRACTION NOPf HOMOCENTRIQUE. (258) 341

oa if conmie ptécédemment, nous nommons f et n les angles dincidence sur les den faces da prisme, dans Tair, et c^ et 19 , les angles d*incidencedans le verre.

V sin ^ y sin »

ces C| = ' COS ï), = ' 1

y — V cos.'cp siD c = n sm Cj =5 n '- «=? n cos m

shii i| = n cos n ;

it ces expressions, notre relation devient

r, cos ^, cos S

r„ cos ^t cos*iïj

ou r '.^^ = - r ?îî^

* cos*u ° cos *f

••' D + liS^] ==-••-[' + lîSr]

Sods cette dernière forme, on reconnaît aisément que — i\ augmente et r^

Uane, quand c augmente et 19 diminue. La plus grande distance focale appartint donc au côté du prisme où Tangle d*iucideuce est moindre.

Pour la déviation minimum, tétant égal à y?, on a aussi r^=s-—ro, c'est-à-dire fi*alors la distance focale dans le plan perpiuidiculairc à Tarêlo réfringente est ^ à la distance focale dans le plan parallèle à celte arèti*.

L'image d'une ligne lumineuse parallèle à l'arête réfringente se forme à l'endroit où se produit, d'après l'équation 11b), la réunion des rayons compris dans ■ plan perpendiculaire à l'arête; donc la distance du prisme à l'image d'une Vpe lumineuse parallèle à l'arête réfringente est plus grande que la distance fr l'objet au prisme, quand l'angle d'incidence sur la première face rencontrée nr Its rayons est plus grand que celui qui appartient à la déviation minimum, U distance du prisme à l'image est au contraire moindre que celle de V objet M prisme f quand le premier angle d'incidence est moindre que celui relatif à i moindre déviatimi.

On voit donc que si l'on regarde une semblable ligne lumineuse à travers un riiine, soit à l'œil nu, soit à travers une lunette, si l'on est dans le cas de la lèiiation minimum, il faut mettre l'œil ou la lunette au point pour la distance véiUUe de l'objet. Mais si l'on vient à faire tourner alors le prisme autour d'un axe «ilMe à l'arête réfringente, il faut faire varier en môme temps l'adaptation de '«lou de la lunette. Dans le seul cas où l'objet est infiniment loin, l'image étant »i à l'infini, on peut laisser œnstante l'adaptation de l'œil ou de la lunette pour Ms les positions du prisme.

Quand l'objet est une ligne lumineuse verticale qui émet de la lumière monoiromatique, ronge par exemple, son image, vue à travers un prisme situé ver- •wleinent, est également une ligne verticale. Si la ligne émet en même temps de t himière violette, les ravons violets donnent également, au moyen du prisme.

342 (f») DF^UXIÈME PARTIE. — DES SENSATIONS VISUELLES. S 11

une ligne droite verticale, mais cette ligne est pins éloignëe de Tobjet hnlHtt qne la ligne rouge, à cause de la réfrangibilité plus grande de la lundère nobtta Enfin si la ligne émet de la couleur présentant tous les degrés de réfraqgiUkê compris entre le rouge et le violet, à chacun des degrés de réfrangibilité rèpood une image séparée de la ligne verticale, et ces images linéaires viennent se nmpr entre l'image rouge et Timage violette, suivant Tordre de leur réfrangibilité, de manière h constituer un spectre de forme rectangulaire. Si la lumière émise iw Tobjet contient une série non interrompue de rayons présentant tous lesdegrêide réfrangibilité successifs, le spectre forme également une surface lumineuse ctth linue. Certains degrés de réfrangibilité viennent-ils à manquer, les Images GntiiRi correspondantes manquent également dans le spectre, el, à leur place, on Toitk spectre interrompu par des lignes sombres verticales nonmiées lignes de FrauDboier.

Largeur apparente des images prismatiques.

Comme il est impossible de produire des lignes lumineuses mathématiques, et que Ton est réduit à prendre pour objets, dans les expériences, des surfaces lomineuses étroites, les images de ces surfaces étroites présentent nécessairement une certaine largeur que nous allons déterminer.

Nommons toujours c et Cj les angles d'incidence et de réfraction sur la première surface, f^^eiy|ces angles à la rencontre de la seconde surface, les angles c, et«i étant situés à l'intérieur du prisme; nommons^ l'angle réfringent, on a

sin c = n sin c, \

sini) =a nsin ï7, > It)-

*ïi + t, = V '

Prenons une fente tr^séloignée, et nonimons de Tangle très-petit sous lequf-i criVi fente est vue à partir du prisme; Tangle d'incidence de la lumière qui pn)\ient i0 l'un des bords de la fente étant c, celle qui provient de l'autre bord arrive soitf un angle c+ de. Pour ce second rayon, les angles t ,, n^ et ^ deviennent respectivement c, + drj, y»! +dï)| et if}+di|. La diiïrrcntiation des équations i2)douii alors

cos c d c « cos Cj de, cosudf) = ncosD,dv}, di), -f di, - 0.

éliminant de, et di},, il vient

ces e . cos ri , .

' i\t =r. dn I2i)

cosn . cos e,

ce qui donne la valeur de l'angle dv} suus iiîquel la fente apparaît après réfraclioi |)ar le prisme. Si la réfraction se produit sous langle de déviation minimum» ci qui entraîne

il vient

Dans ce cas, la grandeur apparente de la fente reste donc inaltérée.

§ «. PURETÉ DU SPECTRE. 3à3

Li vatenr b plm grande que puisse atteindre c est celle d*un angle droit ; quand le rtfm mtrebe vers l'arête réfringente en longeant la surface n§frfngente, les MUts angles restant aigns, leurs cosinus ne s'annulent pas, et il vient

di, = 0

Oa voit que, pour celte position, Timage de la fente est infiniment mince; or, en pntifiie, iiesl clair qu'on peut se rapprocher de Tîncidente rasante de la lumière, mais qu'on ne peut jamais l'atteindre. Le contraire se produit quand on dent le prisme de manière que la lumière sorte presque en le rasant, cos ^ devenant à peo près nul. On a alors