PES

de 25 à 59 ans permet d'obtenir à 60 ans une pension de 7 fr. 093, un versement annuel de :

10077093 = 14 fr.10;

suffit alors pour obtenir la même pension de 100 francs. C'est donc entre 14 fr. 10 et 1 178 francs que variera le versement annuel destiné à assurer 100 francs de pension à partir de 60 ans, suivant que l’âge auquel les versements sont commencés est plus ou moins rapproché de celui d’entrée en jouissance de la pension.

La prime dans le système de la capitalisation atteint donc des sommes fort élevées si la durée de cotisation n’est pas suffisamment longue, tandis que dans celui de la répartition, elle se maintient toujours à un taux élevé qui n’est pas absolument prohibitif.

Mais pour comparer les résultats des deux systèmes, il faut se placer dans des conditions identiques et voir ce que coûterait la même rente dans chacun d'eux.

La seule période qui réalise exactement les conditions d'égalité nécessaires à la comparaison est la période normale ou du plein ; les effectifs ont atteint des chiffres constants, les cotisations, comme les pensions, restent théoriquement fixes.

On a vu, qu'à cette époque, dans le système de la répartition, il faut verser depuis l’âge de 25 ans jusqu'à celui de 60 une contribution annuelle de 33 fr. 281, tandis que dans le système de la capitalisation, 14fr. 10 sont suffisants. Ce qui revient à dire que le système de la répartition

être.

coûte, dansles exemples choisis,environ deux fois et demi plus cher que celui de la capitalisation. C’est à peu près la proportion trouvée par M. Duboisdenghein qui avait priscomme exemple une population de 20 à 59 ans soumise à la loi de mortalité traduite par la table de Quetelet (1).

D'où vient cette différence ? Uniquement des intérêts accumulés qui, dans la capitalisation, grossissent le montant des prestations des cotisants.

Pour le démontrer, plaçons-nous dans le système dela capitalisation et supposons que la Caisse de retraite ne fasse pas fructifier les sommes qu’elle aura reçues, qu'elle les conserve dans une caisse où elle n’en tire aucun intérêt. Prenons encore l'exemple d’une promotion composée de 88.918 individus de 25 ans commençant ses versements fixés à un franc par cotisant. La Caisse touchera la première année 88.918 franes, la deuxième 88.260, etc... la 35°, 60.577 francs, de sorte qu'après 35 ans, elle aura en caisse la réunion de toutes cessommes soit 2.694.099 francs. Au moyen de ce capital, elle devra faire face à tous les paiements qu’elle aura à opérer jusqu'à ce que le groupe de rentiers actuellement âgés de 60 ans, soit complètement éteint.

La table de mortalité lui montre qu’elle aura à effectuer 59.093 paiements Ta ‘première année du service des pensions ou la 36° depuis l’origine, 57.552 la deuxième année et ainsi de suite jusqu’à la quarante-troisième année

(1) V. Bulletin de l'Association des Actuaires belges, n° du 15 juin‘ 1897, p. 241.

Al —

oùelle n'aura plus:que:deux paiements à faire, ce seront les deux derniers. Elle aura par conséquent à effectuer en:tout 896.618 paiements. Comme ils devront être tous égaux, ils devront s'élever chacun à

D99 896.618 7 1rr0047.

Par conséquent, dans le système de la capitalisation à taux nul, le versement annuel de 1 franc de 25 à 59 ans assure, à partir, de 61 ans une rente viagère de 3 fr. 0047, pour avoir une rente de 100 francs, il faudrait verser Gr — 33,28, c’est-à-dire précisément la somme que nous avons trouvée pour la cotisation à verser à l’époque du plein dans le système de la répartition.

On peut donc dire que la répartition produit les mêmes résultats que la capitalisation opérée au taux zéro.

Le raisonnement suffit d’ailleurs pour démontrer cette proposition. En effet, dans le système de la capitalisation, comme dans celui de la répartition, si l'on se place dans l'hypothèse d’une population constante, il arrive un moment où les entrées annuelles compensent exactement les sorties annuelles. À ce moment, dans un système comme dans l’autre, les recettes d’une année devront évidemment être juste suffisantes pour couvrir les dépenses de la même année. Or, les recettes se composent, dans la capitalisation, des cotisations perçues auxquelles s’ajoutent les intérêts produits par les sommes en réserve et,

dans la répartition, des cotisations seules, tandis que les

dépenses sont les mêmes dans les deux systèmes; elles correspondent aux arrérages de pensions à payer. Par conséquent, pour assurer dans la répartition la même pension que dans la capitalisation, il faut demander aux cotisants, en plus de la prime de capitalisation, une somme représentant les intérêts des fonds accumulés, ce qui revient à dire que la répartition produit les mêmes résultats qu'un système de capitalisation dans lequel les réserves ne produiraient aucun intérêt ou seraient placées

au taux zéro.

$ III. — Systèmes mixtes.

Les deux systèmes fondamentaux, dont nous venons d'exposer les principes, ne sont pas les seuls que l’on ait imaginés. On s’est proposé, en effet, de combiner la répartition et la capitalisation et l’on a ainsi abouti à des systèmes intermédiaires qui peuvent se ranger dans les trois catégories suivantes :

Dans une première catégorie, nous placerons les systèmes qui ont pour but de répartir des capitaux, au lieu de répartir des arrérages.

Dans une deuxième catégorie, nous ferons entrer les

systèmes qui consistent à demander aux parties versantes