Le problème des dittérences d'excentricité

Nous savons que la circulation, dans un milieu résistant, amène peu à peu la planète k décrire des orbites circulaires. Si donc ces orbites sont devenues telles, la disparition du milieu résistant aurait dû laisser les choses en l'état. Or il est loin d'en être ainsi : l'étude du système solaire nous montrera, à cet égard, plus d'une anomalie; certaines planètes décrivent des orbites presque circulaires, tandis que d'autres ont des excentricités plus accentuées.

Les perturbations sont impuissantes à nous donner l'explication de ces apparentes bizarreries. Après la raréfaction du milieu et alors qu'elles étaient arrivées à tourner presque circulairement, les planètes auraient-elles vu leurs orbites sexcentrer? Le fait est très vraisenjblable; mais, jus([u'ici, aucune théorie cosmo^onique n'est parvenue à l'expliquer. La cause de ces dillérences d'excentricité doit, selon nt)us, être surtout recherchée dans l'accroissement postérieur de la masse centrale. C'est ce (jue nous allons démontrer.

40. ICI'l'cls (Ir l'nccnnssciwnt de lu musse ceulrnlo sur (les (H'hili'S exlri'icurcs. — La valeur de l'accélération o dans le mouvement ellipti([ue est donnée par la formule

Mais, d'autre part, C étant le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps, on a :

G = ^ ou C.l = 1rMh.

Nous avons donc, finalement, pour valeur de l'accélération

Dans le mouvement circulaire, on a :

e^O et r = a;

on doit donc écrire dans ce cas

ri 'U o — -^

Cherchons maintenant l'effet d'un accroissement de la masse centrale sur l'orbite décrite.

Supposons une circonférence de rayon r = GA parcouru par un mobile et admettons qu'au moment où ce dernier arrive au point A, l'accélération cp s'accroisse de Acp, ce qui suppose un accroissement correspondant de la masse centrale. (V. Cnr. 40.)

Le demi-axe AO de l'ellipse décrite sera donné par la formule

(35j cp + A. = ^^^— ^.-^.

Divisant (35) par (34), il vient :

o ail — e- '

mais

r = AO + OC = a + c = a;;i +e),

puisque la demi-distance focale

c = ae.

Donc

d'où

9 ~\~ ^'f On pourrait aussi écrire :

A© Aa

'f -f A'f a -f- Aa '

Aa = A.M.

ce qui montrerait que o, y-, M s accroissent dune façon correspondante.

Si o augmentait dune façon notable, du double, par exemple , ce qui supposerait doublée la masse du corps attirant, nous aurions évidemment

A? = ?, et la valeur de lexcentricité serait, d'après (38)

Le mobile dans ce cas décrirait une ellipse dont le centre 0 serait au tiers de la distance AC.

Mais si Ao est très petit, ce qui implique un accroissement lent de la masse centrale, l'excentricité ne peut aug-

menter que dans de faibles proportions, et une résistance du milieu suffit pour l'annuler. Tel est le cas examiné par H. Poincaré dans les hypothèses de Faye et de du Lij^ondès. Revenant au cas de l'accroissement lent, il est permis de voir dans les variations de la masse centrale une cause systématique de l'altération des orbites planétaires; cette cause n'est évidemment pas la seule, et nous aurons dans la suite l'occasion de revenir sur ce point intéressant; mais il était bon, dès maintenant, tl'attirer l'attention sur celle que nous venons de sitiiialer.

41. — Nous allons maintenant appliquer les considérations développées au cours des précédents chapitres à la construction du Système solaire. Sans doute les grandes nébuleuses spirales aperçues au foyer de nos puissants télescopes sont infiniment plus étendues que les nébulosités entourant les novx ou les soleils groupant autour deux un cortège peu fourni de corps planétaires; mais, aux proportions près, les mécanismes de la formation et de la condensation des systèmes doivent avoir des points communs. La loi de spiralité décoide de la résistance du milieu, et la création de la double branche spirale, nous l'avons démontré, est la conséquence nécessaire du mode de capture.

L hypothèse envisagée doit donc expliquer les grandes lignes du Système solaire mieux que ne l'ont fait jusqu'ici les théories cosmogoniques anciennes, qui toutes ont laissé dans l'ombre des faits dûment constatés et maintenant hors de doute. Ces données absolument certaines, nous les enregistrerons au cours de nos recherches; en attendant, contentons-nous d'indiquer l'ordre de grandeur qu'il faut attribuer aux éléments qui sont entrés en action pour construire la nébuleuse dont nous sommes issus.

42. Vitesses initiales du noyau et du nuage cosmique. Xature des trajectoires des météores. —

A l'heure actuelle, le rayon de la sphère d'activité du Soleil est de l'ordre de 100000 unités astronomiques, c'est-à-dire 100000 fois environ la distance du Soleil à la Terre; mais notons qu'au moins dans notre voisinage, la densité stellaire est faible. C'est à tel point que, si nous supposons les étoiles les plus proches à une distance moyenne de 20 annéeslumière, une collision avec l'une d'elles n'aurait des chances de se produire, au dire d'Arrhénius, qu'au bout de 100000 milliards d'années '.

Il semble bien toutefois que, dans les régions galactiques, cette densité soit beaucoup plus accusée ; nous y constatons aussi l'existence de longues traînées noires, véritables nuages cosmiques interceptant la lumière des étoiles situées derrière eux (V. planche IV, page 19).

Le plan médian de la Voie lactée, dont nous occupons une région quasi-centrale, s'est donc vidé au profit de ses bords, qui représentent pour nous actuellement l'anneau galactique nous entourant de toutes parts.

Il est donc de la plus stricte vraisemblance de supposer qu'autrefois, l'intérieur de cette vaste couronne était beaucoup plus dense qu'aujourd'hui ; de longues processions de noyaux stellaires plus ou moins condensés devaient s'y croiser à chacjue instant avec de larges courants météoritiques. Les vitesses propres des uns et des autres devaient être du même ordre de grandeur et atteignaient sensiblement plusieurs dizaines de kilomètres à la seconde, celles d'ailleurs qu'enregistrent nos statistiques des mouvements propres stellaires.

La rencontre d'un noyau en voie de condensation avec un nuage de météores a donc pu donner naissance à notre nébuleuse et l'apport des matériaux n'a dû cesser qu'après le passage de ce même noyau au sein de cette nuée cosmique.

Le rayon d'action de la masse centrale, beaucoup plus petite qu'aujourd'hui, devait être encore restreint du fait que

^ Sw. Arrhénil's : Evolution des Mondes.

les météores exerçaient entre eux des atti-actions mutuelles. Pour fixer les idées, nous pouvons supposer que ce rayon d'action était de 100 unités astronomiques, soit un peu plus de trois fois la distance du Soleil à Neptune. Aussi loin du noyau central, la vitesse parabolique devait être extrêmement faible ; nous pouvons d'ailleurs nous en faire une idée approchée. A l'heure actuelle, en elfet, la masse du Soleil est telle qu'à la distance unité, la vitesse parabolique est de 42''ml0. Celle-ci étant inversement proportionnelle à la racine carrée de l'éloignement du corps attractif, il s'ensuit qu'à 101) rayons, la \ itesse parabolique n'est plus que de 4i<r>i21. A la distance de Neptune, elle n'est encore que de 8 kilomètres environ (T^^môS exactement). Ce sont là des valeurs vraiment faibles en comparaison des mouvements propres stellaires et des vitesses météoriques (jui doivent être de même ordre de grandeur.

Le* conclusion, c'est qu'un météore abordant notre système dans les parages de la plus lointaine planète connue, avec une vitesse même un peu supérieure à 8 kilomètres par seconde, ne décrirait même pas une parabole, mais une hyperbole. A plus forte raison, si, animé de cette même vitesse, il entrait dans la sphère d'action du Soleil à une distance de 100 rayons, ou 100 unités astronomiques.

A la distance de 100 000 unités, correspondant à la sphère d'action du Soleil actuel, la vitesse parabolicjue n'est que de 135 mètres/sec. seulement; tout corps abordant cette sphère avec une vitesse supérieure est lancé sur une hyperbole. La capture n'est donc possible que si le mobile est exactement dirigé sur le Soleil ou s'il le frôle en passant. Et c'est la raison pour laquelle les anciens astronomes, qui voyaient dans les comètes des étrangères à notre système, admettaient que leur capture a-vait eu lieu grâce à l'appoint d'une masse planétaire, transformant en une courbe elliptique l hyperbole primitive.

On pourrait aussi supposer avec Kant ' , — bien qu'une

' Kant : Théorie du Ciel dans Les Hypothèses cosmoyoniques, de C. W'olf.

telle hypothèse soit invraisemblable , — que les particules cosmiques ont pu être capturées parce qu'elles étaient primitivement au repos; mais nous savons aujourd'hui qu'un corps quelconque, fût -il au repos dans l'espace, du fait que le Soleil n'est pas fixe, se trouve animé vis-à-vis de lui d'un fort mouvement propre.

Dans toute la suite, nous nous servirons des formules de la Mécanique céleste, en attribuant à ;j. la valeur en chiffres de 886 , qui correspond à lintensité numérique de l'attraction solaire à la distance unité r. Nous avons préféré cette méthode à celle qui consiste à employer le coefficient de la gravitation, car notre manière de procéder simplifie singulièrement les calculs.

Si l'on pose, en effet (u étant la vitesse parabolique :

l'expression, dans le cas qui nous occupe, devient :

d'où

;jL = 886.

Soit maintenant la formule classique dans laquelle a = '/o grand axe et r = rayon vecteur

2a — rv'

Pour que le corps décrive une ellipse, il faut qu'on ait:

rv- < 2a.

Dans le cas où l'on aurait :

rv- = 2a,

u* devient u"^.

Mais si l'on a :

ri" > 2a,

a devient négatif et Ion obtient une hyperbole.

Dans la formule précédente (39), remplaçons ;j. par sa valeur actuelle (dans le système solaire); avec un rayon d'action de 100 unités astronomiques, nous aurons :

886 X 100 "~ (-2x880)— lOOr^ '

La vitesse parabolique sera atteinte lorsque nous aurons 100y- = 2x886,

d où

résultat énoncé précédemment.

Si Ion a :

la fraction

2 a — rv'^

devient négative et le mobile décrit une hyperbole.

On verrait de même qu'avec des quantités plus petites que 4,21, mais très voisines de ce nombre, on obtiendrait des ellipses dont le grand axe sortirait notablement des limites de la sphère d'action du Soleil.

Encore une fois ces vitesses sont faibles, si nous les comparons aux valeurs des mouvements propres stellaires ; nous sommes donc conduits, pour rester dans les limites de la vraisemblance, à admettre des vitesses d'ordre plus élevé, par conséquent à conclure que les trajectoires des météores captés indirectement par le noyau central devaient, même au début, être dénature hyperbolique.

43. Détrnnination de Vmujle que forme la direction du Soleil dans l'espace arec le plan (jénéral du Système solaire, — Il faudrait toutefois tenir compte de l'angle sous lequel noyau et nuage cosmique se sont abordés. De ce fait, les vitesses relatives peuvent être nota-

blement modifiées. C est ce que nous allons essayer de faire, en nous appuyant sur des observations précises.

On sait d'une manière g-énérale que le plan principal du Système solaire, celui dans lequel tournent les planètes, est loin d'être perpendiculaire à la trajectoire du Soleil dans l'espace.

Depuis un certain nombre d'années, on a essayé de déterminer l' apex soWire , c'est-à-dire le point de la voûte céleste vers lequel le Soleil emporte le cortège d'astres qui lui sont tributaires. Les anciennes mesures fixaient ce point dans la constellation d'Hercule; mais, depuis Herschel, les astronomes ont rassemblé de nombreuses données ; leur examen attentif a montré qu'à l'heure actuelle le problème ne saurait être traité avec la précision qu'on avait espérée. Cela provient des mouvements propres stellaires, dont la moyenne varie suivant le type d'étoiles considérées.

Toutefois, il est certain que le Soleil nous entraîne, non vers une rég-ion d'Hercule, mais vers un point situé dans la constellation de la Lyre, un peu au sud de Véga. Ce point, qu'on ne saurait déterminer d'une façon rigoureuse., au temps présent, a pour coordonnées approchées :

Ascension droite =277*', soit 18 heures environ; Déclinaison ^z-j-So".

Rapportée à lécliptique, cette dernière coordonnée nous donne, pour la latitude céleste de l'apex : -|- 58", à peu près.

Mais lécliptique est relatif à la Terre. En fait, les données doivent être rapportées à un plan plus général que Laplace a nommé plan invariable du maximum des aires, pour cette raison que la somme des produits des masses de chaque planète par les aires de leur rayon vecteur projeté sur ce plan est maximum.

En tenant compte des rotations solaire et planétaires, ainsi que des satellites, Stockwell a montré que ce plan forme avec celui de l'écliptique un angle de l"3o'7",7o'.

1 STO(:K^^■ELL : Memnir on Ihe secul.ir var. of the éléments of Ihe orhlts of ihe S princ. planets; Smithson. Conlrib. to Knowl., t. XVIII, Washington,

Comme, d'autre part, son nœud ascendant a pour longitude 10G"S''t6 Vn o'^ "^'^it que l'arc de ["'.]")' doit être mesuré sur la longitude de 286°, c'est-à-dire à peu près aux mêmes endroits que la longitude de l'apex, ce qui fixe finalement ;i rjG" ' ., environ l'angle que fait la direction dans l'espace du ^vstème solaire avec son plan principal.

44. Vitrintioiis du ithui du nmxunum des aires nu cojifs do Vêvidui'utu nêl)uhui'e. — Il résulte de ce que nous avons dit au n" 25 qu'à chaque phase de la formation (le la nébuleuse a dû correspondre un plan du maximum des aires, et cette supposition ne contredit en rien l'alTirmation de Laplace démontrant que ce plan est invariable à l'heure actuelle. Ceci, en ellet , ne peut être vrai qu'au cas où notre svstème ne reçoit aucun apport de l'extérieur; or, si ce cas send^le réalisé aujourd'hui, il n'en pouvait être de même lorsque notre nébuleuse s'accroissait constamment aux dépens du nuage cosmique que traversait le Soleil.

En raison des masses importantes des grosses planètes et de leur éloignement, le plan du maximum des aires a été délinitivement fixé au moment de l'annexion de Jupiter et des planètes qui lui sont extérieures, c'est-à-dire à la fin de la formation de la nébuleuse. On se rend fort bien compte de cette circonstance si 1 on calcule les moments de rotation du Soleil et des planètes à l'heure actuelle : on arrive à un total représenté par le nombre 1200 environ, dont 40 sont affectés au Soleil et plus de 700 à Jupiter, soit pour ce dernier 59 "/o du total.

Le moment de rotation du Soleil, auquel on ajouterait ceux de Mercure, de Vénus, de la Terre et de Mars, atteindrait à peine 43 '.

On conçoit donc que l'apport de matériaux nouveaux pendant la construction de la nébuleuse, la répartition de ces matériaux sur les branches spirales, leur condensation plus ou moins avancée vers le noyau, aient fait continuellement

' Voir la note sur le moment de rotation du Système solaire ^ à la fin du chapitre, en appendice.

varier le moment de rotation de 1 ensemble et la position du plan du maximum des aires.

Toutefois, les variations de ce dernier ont dû être encadrées dans des limites assez étroites, en raison même de la direction constante des météores. Sans doute, ce courant aurait pu décrire dans l'espace une trajectoire curviligne; mais, s'il en a été ainsi dès le début, nous pourrions en dire autant de la direction d\i Soleil. Or à l'heure actuelle, nous sommes déjà assurés que si les étoiles et notre Soleil luimême ne voyagent pas en ligne droite, le rayon de courbure de leur trajectoire est si grand qu'on ne commet pas d'erreur sensible en le rejetant à l'infini.

La conclusion de cette digression nécessaire est que nous pouvons considérer l'angle de 56° V» formé par la direction de l'apex avec le plan du maximum des aires comme étant resté sensiblement égal à lui-même, à quelques degrés près, au cours des phases variées qui ont jalonné l'existence de la nébuleuse.

4o. Angle sous lequel le noyau nêhulmve a rencontré le courant des météores. — Est-ce à dire que cet

Fii

angle de 56°'/, correspondait à celui sous lequel se sont rencontrés le noyau nébulaire et le nuage cosmique? — Non

très certainement , car il faut tenir coni[)te des mouvements propres dont lun et l'autre étaient animés.

Désignons par V la vitesse absolue du Soleil S dans l'espace et soit SA (fîg^. 41) la droite qui la représente. Soit de même SB la droite représentant la vitesse v du courant météoricjue au point S. Un théorème de Mécanicjue nous démontre que la vitesse v' du courant, relativement au Soleil, sera représentée par la droite AB. Transportée parallèlement à elle-même de façon qu'elle aboutisse en S, celte droite deviendra AS, et c'est cette droite qui doit faire 36° '/o avec SA.

Le problème comporte une infinité de solutions. Adoptons-en une pour fixer simplement les idées. Nous pouvons tenir compte de la résistance qui a dû réduire la vitesse j)rimitive du Soleil : elle est à l'heure actuelle d'une vingtaine de kilomètres à la seconde ; fixons-la à 23 kilomètres. Donnons au courant météorique une vitesse moyenne de lOI^'iS. Si l'angle compris entre les deux directions est de 19*» environ, nous trouvons pour la valeur relative des météores, par rapport

au noyau du Soleil futur, 71^"i()8, vitesse parabolique à la hauteur de Neptune. Nous restons donc dans les vraisemblances.

Ainsi, pour un spectateur placé au centre du Soleil et qui se croirait immobile, les choses se passeraient comme si les météores provenaient d'un point de la voûte céleste situé dans la direction de A', et avec une vitesse de Ti^môS (lig-. 42).

Le schéma, — et nous insistons sur ce point, — n"a aucune prétention à représenter la réalité. On pourrait en imaginer d autres aussi vraisemblables: mais celui-ci a l'avantage de montrer que les vitesses relatives peuvent être notablement abaissées du fait que le Soleil (ou la masse centrale) abordait très obliquement un courant météorique. Nous nous plaçons ainsi dans le cas le plus favorable à la capture, puisque les météores possèdent un faible mouvement relatif. Eh bien! même dans ce cas, en supposant un noyau nébulaire aussi considérable que notre Soleil actuel et une sphère d'action de Tordre de 100 unités astronomiques, le calcul indique que les trajectoires des météores devaient être nettement hyperboliques. La capture directe n'est donc possible que pour les amas rencontrant le Soleil sur leur trajet.

Quant aux autres, ils étaient répartis sur l'axe de symétrie suivant les lois que nous avons précédemment énoncées (V. chap. 11, 1" partie), et les chocs seuls, en diminuant leurs vitesses, ont été capables de les enchaîner à l'attraction de la masse centrale.

Afin que le lecteur puisse mieux se rendre compte du mécanisme de la capture indirecte , nous avons dressé un Tableau des principaux éléments déjà envisagés.

Pour simplifier les calculs, qui n ont d'autre but qu'une indication qualitative, nous représenterons a par 1 000 au lieu de 886 et nous donnerons à v° [v représentant la vitesse relative des météores) la valeur de 50, nombre très approché du carré de Tkmgg, Enfin nous conserverons au rayon de la sphère d'activité la valeur 100 déjà admise.

Dans cette hypothèse, n prend la valeur de o, et R (rayon du mouvement circulaire) celle de 20 unités astronomiques.

Voici, d'ailleurs, toutes les indications nécessaires pour comprendre le Tableau :

r =3 rayon d'action ^100 unili-s astr rrz vitesse relali\e des météores.

R=:20, rayon du mouvement circulaire.

n-U — bOO.

Ii=1000.

^Pour les formules, se reporter au chapitre II, l"' partie.

p = vecteur sur l'a.xe de symétrie.

/i = hauteur atteinte après choc.

p 4- /i =: P ^ éloijrnenlent maximum i\

la masse centrale.

\' \ilesse à l'extrémité de p.

' vitesse après choc.

Tableau de la valeur des éléments.

Angle

en degrés

Cos À

1— cos).

1' ou

iplure di

recle

captu

re cesse

8 — Cosmogonie.

Les chilTres du tableau précédent indiquent que la capture cesse entre 22° et 23" '/a ? ce qui ressortait déjà de la théorie (n° 20); c'est-à-dire que les amas abordant la sphère d'action sous un angle a (par rapport à l'axe de symétrie) supérieur à 23° ne peuvent se rencontrer qu'au delà de 66 unités astronomiques, et leur vitesse après le choc est toujours sutïïsante pour leur faire dépasser le rayon de la sphère d'action qui ég-ale 100 unités.

En effet, à partir de 23°, p -{- h est toujours plus grand que 100.

46. — En résumé, et c'est ce que nous avions déjà établi pour le cas général, la capture directe est donnée par un

TJ-rijtti^-

Fig. 43. — Trajectoires des météores autour de la masse M ; la capture cesse au delà de A

faisceau très étroit au début, faisceau formé par les météores abordant la sphère d'action sous un angle de 0'' à 2 ou

3 degrés. Ce faisceau n'est pas tout à fait cylindrique, puisque sa génératrice est un arc d'hvperbole; mais celui-ci est peu incurvé. A mesure que croît la niasse centrale et qu elle tend à prendre une forme grossièrement ellipsoïdale, le faisceau de capture directe s'élargit et sa section est celle représentée déjà par le bas de la figure 28.

Quant à la capture indirecte, elle est toujours limitée aux amas tombant à l'intérieur d'une calotte sphérique dont le rayon s'accroît peu à peu vers la masse centrale.

Il est vraisend)lable f|u"au début de la condensation de notre nébuleuse, le diamètre do cette calotte sphérique n'atteignait pas deux fois 22'"/2, soit 45°. Notre tableau suppose en ellet un soleil de mèiue ordre de grandeur (jue le nôtre. Tel n était pas le cas évidemment; mais il serait puéril de rechercher, sans données sulHsantes, la grosseur du noyau initial, sa masse et son ravon d'action.

Appendice au chap. i" (2" partie).

4". — Cniciil (hi iiKniiciil do l'olntitni du s^ystèino siduirc. — Dans une première approximation, on peut négliger les masses et les révolutions des satellites.

Soient : M, le moment de rotation du système; m, la masse de chaque planète; r, la distance de la planète au Soleil; on a :

Mais la troisième loi de Kepler donne :

wV^ := [X := 1 ; donc aussi

(o- /•' = r ou (or'- ^= y^'r On pourra donc écrire

M = Im ^ 7, ce qui simplifie beaucoup les calculs. Le Tableau suivant

indique les résultats auxquels on arrive, la Terre étant toujours prise pour unité :

PLANETES

Mercure

Vénus

Terre

Mars

Jupiter

Saturne

Uranus

Neptune

1/23 0,817 1,0 0.IU8 14, li

Total z= 1173,27

Pour le Soleil, on aura :

formule dans laquelle on fera m = 332 800 (la Terre étant Ij.

Pour la valeur de w, on prendra une rotation du Soleil

ég-ale à 2o^°"'3, qui est une valeur moyenne, ce qui nous

donne une rotation 14,4 fois plus lente que notre durée de

révolution ; et pour le ravon du Soleil : ^o ; "a , soit .^, >. du

rayon de l'orbite terrestre.

En effectuant les calculs, on obtient M = 41.

On a donc pour le moment total de rotation du Soleil et des planètes :

environ, en négligeant les décimales. On voit que Jupiter, dont le moment de rotation atteint 722, entre pour o9 % dans le résultat.