V .t' -\-ax ^h puisse être évaluée sans forme finie

Interpolation d'api'ès la méthode des moindres carrés. Développement en séries procédant suivant les dénominateurs des réduites. Valeurs limites des intégrales dans le cas où la fonction intégrée est décomposable en deux facteurs.

Porté vers l'étude des fractions continues par ses recherches sur les questions de minima et sur l'intégration des différentielles irrationnelles, Tchébychef en fit bientôt une brillante application à cette importante question de l'interpolation, question qui , d'après la juste remarque faite par M. Laisant dans son nouveau livre sur la philosophie et l'enseignement des mathématiques, constitue l'un des plus intéressants chapitre de la philosophie naturelle. C'est un problème de balistique, proposé à Tchébychef par le comité scientifique de l'administration supérieure de l'artillerie russe, qui le conduisit à porter son attention sur l'interpolation.

Dans le problème de l'interpolation parabolique, il s'agit de trouver un pol3^nome

g = F (.v) = a +boc -t c.'^- -T ■•••-}- g.r »' - ^ -f hx^'^

donnaiit pour les n + 1 valeurs x^^, x^, x^, ■ ■ ■ , x-a de la variable les

n -{- i valeurs correspondantes de la fonction inconnue f{x) avec une erreur aussi petite que possible. Lorsque m est égal à w, le problème est déterminé; lorsque m est plus petit que n, il cesse de l'être: mais il le devient de nouveau, si l'on ajoute la condition que

doit être un minimum. Dans ce cas de l'interpolation d'après la méthode des moindres carrés Tchébychef donna pour le polynôme y = F (a?) une formule remarquable dans laquelle entrent les dénominateurs ']^ni (^) des réduites du développement en fraction continue de la somme

e- {xA

[15, 16]. Cette formule jouit de la propriété importante qu'il n'est pas nécessaire d'en fixer d'avance le nombre des termes et qu'on peut trouver ceux-ci successivement l'un après l'autre, ce qui donne une grande supériorité pratique à la nouvelle méthode. Tous les détails importants pour l'application (les formules récurrentes qui lient les coefficients de la formule, ainsi que les formules pour l'évaluation de Tendeur moyenne quadratique dont la valeur permet de reconnaître le nombre des termes de la formule qu'il faut prendre pour avoir un degré d'exactitude assigné) furent publiés séparément par Tchébychef dans le mémoire [25].

Cette nouvelle application des fractions continues fournit à Tchébychef l'occasion d'approfondir la théorie de ces fractions et de trouver quelques beaux résultats, par exemple, les propriétés remarquables suivantes des dénominateurs des réduites 4)m(^i):