cj) ^ {Xi) . tl; ,, {xù e-^ (Xi) = 0, (fi > v) i = o

y, 4» ixi) e' {xi) = ,

OÙ "'m j, j est le coefficient de x dans un des quotients incomplets (*). La formule générale de l'interpolation d'après la méthode des moindres carrés, donnée par Tchébychef, peut être spécialisée, en faisant

(*) Ces formules ont été trouvées aussi par M. Rouché (Journal de l'École Polytecnique, cahier 37).

différentes hypothèses particulières sur le choix de la suite de valeurs

ccq. Xi,. . . . oCn ainsi que sur la forme de la fonction arbitraire 9" (œ).

1." On peut supposer que les valeurs de l'inconnue forment un

continuum linéaire. Alors la somme S. — se transforme en une

' X Xi

intégrale, le nombre des réduites devient infini, et la formule d'interpolation se transforme en un développement en série infinie.

Pour 6^ (^x) = dx , lorsque l'on suppose que X(^, x,^, . . . . forment un continuum linéaire entre — 1 et + 1 , l'on a [16] un développement suivant les fonctions de Legendre Xn .

Lorsque 6^ [x) est proportionel à ^ = et que la suite des va-

leurs .o?,! , Xi, . . . . forme un continuum entre — 1 et + 1 , on a le développement en série de Fourier, procédant suivant les cosinus des multiples de l'argument.

Ces deux cas bien remarquables se présentent aussi [23], lorsque x^^,

Xi, forment un continuum linéaire entre — ce et -{- oo et que la

- fcx' — kx

Où à ke

fonction 9* (x) est proportionelle à i / ^'^

Enfin Tchébychef s'est arrêté aussi sur le cas spécial où 9' (x) est

proportionnel à ^i^ — et il a consacré le mémoire [381 à

la démonstration de la propriété fondamentale suivante des dénominateurs Tm des réduites correspondantes :

^'^ '^'« dx = i) (m g n).

Ces fonctions T^, envisagées, pour la première fois par Jacobi (*), ont été nommées par Tchébychef « fonctions analogues aux fonctions de Legendre » (**). Elles ont l'importante propriété suivante: l'intégrale

, OÙ Z est un polynôme quelconque de degré n,

devient un minimum si l'on prend pour Z la fonction T^, multipliée

(*) if^erhe. Tome VI, p. 185.

(•••) On donne plus généralement ce nom aux dénominateurs des réduites dans

le développement d'une intégrale de la forme / ^ f en fraction continue.

Les propriétés fondamentales de ces fonctions sont exposées dans l'intéressant ouvrage de M. PossÉ: Sur quelques applications des fractions continues algébriques. St. Pétersbourg 1886.

par un facteur constant. C'est sur cette propriété des fonctions T„ (^ue répose l'étude des polynômes qui s'écartent le moins possible de zéro (voir chapitre II), et qui ont des applications importantes dans la recherche des limites des racines et dans la construction du régulateur a force centrifuge [45, 46].

2.° Dans une autre hypothèse importante, quand on suppose equidistantes et ayant des poids égaux les valeurs connues f{Ji), f{2h), .... finit) de la fonction cherchée, la fonction interpolatrice F [x) est développable suivant les dénominateurs de la fraction continue résultant

du développement de l'expression - — — p + — \- ^.

Ces dénominateurs, en prenant A jc = 7? , s'expriment, à un facteur constant près, par la formule:

et correspondent dans le calcul inverse des différences finies, comme on le voit d'après leur expression, aux fonctions de Legendre qui sont,

comme Ion sait, égales à un facteur constant près, a -^-^^ .

La série obtenue dans ce cas pour la fonction interpolatrice au moyen des valeurs équidistantes et de poids égal de la fonction inconnue, ne laisse rien à désirer car tous les termes se calculent aisément au moyen des différences de valeurs données. La démonstration de cette formule, qui fut seule publiée pour la première fois en 1858 [21, 24, 25], n'a été donnée [29] qu'en 1864. Dans un mémoire [48] de 1875 cette démonstration a été complétée, et les formules elles-mêmes ont été remplacées par d'autres plus commodes pour les applications. Tchébychef s'est arrêté aussi dans ce mémoire sur le cas plus général où les poids des résultats sont inégaux et où ils s'expriment au moyen de la fonction

r (x -[- a) T iin —x -i- ^)

On peut aussi dans ce cas parvenir a des formules élégantes. Tchébychef y compléta aussi la démonstration de sa formule d'interpolation dans le cas de valeurs équidistantes [29] , ainsi que dans le cas général [25], en démontrant que pour chaque terme successif que l'on ajoute dans la formule d'interpolation on diminue successivement l'erreur moyenne quadratique dont l'expression est facile à évaluer. On peut ainsi reconnaître immédiatement quel est le nombre des termes de la série qu'il faut prendre pour obtenir un degré d'exactitude prescrit.

Avant de quitter les recherches de Tchébychef sur l'interpolation . nous devons encore mentionner le mémoire [29] consacré a la question

(le l'interpolation dans le cas d'un grand nombre de données fournies ]iar les observations. Tchébychef fit voir dans ce mémoire que lorsque l'on connaît la fonction

F {x)=^A^ + A,x-\-A^x'+ + A„ xn ,

pour toutes les valeurs de r/' comprises entre — h et +/?, et que l'on considère ces valeurs comme equidistantes et infiniment voisines, on peut déterminer les coefficients A,, A.2,....An par la simple addition et soustraction de valeurs de la fonction F (œ). Les expressions (jui déterminent les coefficients affectés de facteurs constants ont la forme :

^1 ''ii -f-

L^ = /f (x) dx — /f {x)dx ^ \-{— 1)^ /f I

Il s'agit alors de déterminer le facteur .f ainsi que les quantités

Cette question est résolue par une méthode analogue a celle em- ))loyée dans le mémoire [20]. Ce sont les dénominateurs des réduites du développement en fraction continue de certaines fonctions qui donnent les équations dont le racines sont:

Par exemple dans un cas particulier où il s'agit de déterminer le dernier cofficient An pour n impair, vj,, "j,,---- sont les racines de l'équation :

De ces résultats on peut tirer une méthode d'interpolation en observant que si l'on a les valeurs en nombre fini F (.t?,), F (a?^), .... F (ccn) de la fonction F{x) et (|u'à leur aide on évalue les expression approchées des intégrales

/f [x) dx, / F (x

et par conséquent de A^- , on aura pour la fonction F {oc) une formule approchée, qui sera en même temps une formule d'interpolation (*). Remarquons que Tchébj'chef a appliqué la méthode d'interpolation dont nous venons d'exposer l'idée à la détermination de l'orbite d'une planète, mais, malheureusement, nous n'avons sur ce sujet qu'une très courte indication [89].

Revenons à la formule générale trouvée par Tchébychef pour l'interpolation d'après la méthode des moindres carrés; elle conduit à des inégalités remarquables relatives aux intégrales définies et qui ont été l'objet de nombreuses et intéressantes récherches.

Si l'on suppose que les valeurs :c^,, Xi, x^ forment un con-

tinuum linéaire entre a et J et si 6* {ce) désigne une fonction réelle quelconque, continue ou discontinue, la formule générale de Tchébychef donne pour une fonction F (.':) dont on connaît les valeurs comprises entre x = a et x ^=--b, un développement en série, procédant suivant les dénominateurs ^n (a) des réduites successives de la fraction continue provenant du développement de l'intégrale

(i- (z) ilz

En décomposant au moyen de cette formule nouvelle deux fonctions quelconques u et u de a? et en intégrant le produit muG^ {x) dx entre les limites a et è, on trouve pour l'intégrale

LV 92 (x) dx

une série remarquable qui donne Ja valeur de cette intégrale au moyen d'intégrales de la forme

/ u % {x) e' {x) dx, / V ti)„ (as) e» {x) dx et / '4»,'^ (a;) 9' (x) dx.

Lorsque l'on arrête le développement à un terme quelconque , on doit y ajouter un terme complémentaire dont l'expression à été donnée

(*) Dans une mémoire récemment publié (Sitr les valeurs limites des intégrales en leur rapport avec Vinte>-polation. Mem. de l'Acad. de St. Pétersbourg, Série VIII, Tome VI), M. Markof généralise la méthode de Tchébychef au cas où la fonction interpolatrice a la forme

A„ io (■») -f A, '^, (07) -f A, Yj U) t- . . . . ,

par exemple A^ -f A, sin x -j- A cos .v + a- sin 2.r ^

par Tchébychef dans le mémoire [65]. Ce terme complémentaire jouit des propriétés suivantes: l.o sa valeur numérique ne peut surpasser le produit KAB, où K est une quantité etisentiellement positive, A et B désignent les plus grandes valeurs numériques absolues des dérivées

!-l^. -!!!—!- pour les valeurs de .r comprises entre a et b. 2." Lorsque de" dx" ^

les dérivées -; — , -, — ne changent pas de signe entre a et b, le terme dx'"^ dx'"'

complémentaire a donc le même signe que Je produit -7^ • -p-^ { ).

Lorsque l'on arrête la série de Tchébychef au premier terme on a :

/ a e- {x) dx. / r 9' {x) dx

/ Il V e'

ix) = "^ -^ + R„

/ 0* (x) dx

où R, a le même signe que le produit -^ — • -j— » lorsque ces dernières dérivées ne changent pas de signe entre les limites d'intégration. De là résulte immédiatement le théorème suivant dû à Tchébychef: « Lorsque les fonction u et v sont simultanément croissantes ou simultanément décroissantes entre les limites 0 et 1 de la variable on a :

/ a V dx ^ / ndx. / v

dx.

dans le cas contraire on a:

/ u V dv <^ / ndx. / v

{') Les formules de Tchébychef ont été l'objet de mémoires de M. M. Andreief, IMSCHENETZKY, KORKiNE, PossÉ et SoNiNE. NOUS reuvoyoDs pour les travaux russes à nos rapports publiés dans le Jahrbuch uber die FortschHtte der Mathematik. Vol. XV, 1883 (p. 222) et vol. XIX, 1887 (p. 222). Dans un mémoire récemment publié: Sur quelques inégalités relatives aux intégrales définies (Mém. de l'Acad. de St. Pétersb., Série VIII, Vol. VI, M. Sonine publie des recherches étendues sur le calcul approché des intégrales définies, contenant une démonstrations nouvelle et une généralisation des formules de Tchébychef.

(*•) Ce théorème a été publié pour la première fois en 1883 par M. Hermite dans son Cours de Faculté des Sciences de Paris (2." édition, p. 48) avec une démonstration de M. Picard. Voir aussi Korkine , Sur un théorème de M. Tchébycheff (Comptes Rendus, T. XCVI).

Nouveau genre de problème du calcul des variations. Développement en séries procédant suivant les fonctions R„ . Minima successifs de l'expi-ession x - ay - b.

Les travaux relatifs à l'interpolation parabolique d'après la métliode des moindres carrés conduisirent Tchébychef à plusieurs autres études et notamment à celle d'un nouveau calcul analogue à celui des variations.

La question de la détermination d'un polynôme Y sous la condition

que la somme ^ -;5- (Y - f{^i)y 0- (.r,) soit un minimum peut

être considérée comme un cas particulier de la question plus générale oii il s'agit de déterminer un poh'nome Y tel que la somme

S ¥ {Xi, Y/, Y/', . • . ) soit un minimum, Y', Y", .... dési-

gnant les dérivées du polynôme Y et Y,, Y/, Y/', .... les valeurs de ce polynôme et de ses dérivées pour x = Xi. Un résultat remarquable rattache étroitement ce problème au calcul des variations. Si nous désignons pour abréger les dérivées

dF (X, Y, Y\ Y-', ..) dF (X, Y, \',Y",...) d F (x, Y, Y^ Y^...) d \ ' d \' ' d \"

resjtectivement par M, N, P, . . . . et le produit (x — .>?,) (.r — x.2) . . . . . . {x — x„) par <p {x), l'expression

cp' (a;) zi' (x\

cp ix) d X d X*

doit être égale à une fonction entière de x, aux termes près de l'ordre

Du problème correspondant au maximum et au minimum absolus Tchébychef passe au problème correspondant au maximum et minimum relatifs. Il l'envisage sous la forme la plus générale où il s'agit de rendre maximum ou minimum la somme

:S Oo{x, Y, Y', Y", . . . ),

étendue aux valeurs «,, a.,, de la variable x, les coefficients du

polynôme Y étant soumis aux conditions

SO,(.T., Y, Y', Y", ...) = x„ S$,(x-, Y, Y', Y", ...) = §,,...;

les sommes ci dessus sont supposées étendues: la première aux valeurs x: bi, b^, ■ . . . , la seconde aux valeurs de x: C(, Cj, . . . . etc. Dans le cas le plus général, le groupe de valeurs b^, b.^, . . . ■ est distinct du

groupe Cl, 0-2, ... . et distinct de même du groupe «j, a^,

Dans un cas spécial où Y n'entre dans les fonctions O,), Oi , O-î,

qu'au second degré et où les dérivées Y', Y" n'y entrent qu'au

premier degré, avec des coefficients ne dépendant que de a?, la question se ramène à la détermination du polynôme Y du degré m — 1, tel que l'expression

où u et V sont deux fonctions de x, se réduit ix une fonction entière Z

de X aux termes prés de l'ordre —^. Cette (juestion de trouver des

polynômes Y et Z tels que l'expression

diffère le moins possible d'une fonction quelconque v est résolue dans les mémoires [31, 32]. Soit

la fraction continue qui provient du développement de la fonction u

et soient -—-, --^, -^, ... les réduites de cette fraction continue.

Si l'on désigne par B la partie entière d'une fonction, les polynômes Y et Z, tels que l'expression u Y — Z diffère le moins possible de la fonction v, seront donnés par les séries suivantes:

Y = {Eq^ Q, V — qi EQi v) Q, — {Eq.2 Qâ î' — q^EQ-i v) 0^ +

Z = -Ev-{-{EqiQiv-qi EQi v) P, - {Eq., Qi V - q^^EQi y) P.2 H

Ces séries fournissent pour Y et Z des valeurs entières dont le degré est d'autant plus élevé que l'on prend un plus grand nombre de termes; ces valeurs de Y et de Z d'ailleurs sont celles qui rendent la différence w Y — Z aussi proche de v que cela peut se faire au moyen des fonctions entières de mêmes degrés que Y et Z, et même au moyen des fonctions de degrés plus élevés, mais inférieurs aux degrés des fonctions que l'on obtient en prenant dans les expressions de Y et de Z un terme de plus. Les valeurs de Y et de Z ainsi obtenues résultent d'un développement remarquable trouvé par Tchébychef pour toute fonction v en une série procédant suivant les puissances descendantes

entières de x. Une pareille fonction peut être toujours développée suivant les valeurs des fonctions

R, = M Q, P, , R., =: i< Q, P^, . . . . R„ = M Qn - P«,

et le développement a la forme suivante:

v = £:v-\-{EqiQiV — 5',^Q,u)R, + (^^^ Q^u— g.i J^JQ^, u)R^,-f

Dans le cas habituel où le quotients incomplets q^, q.2, sont

tous du premier degré le développement prend la forme:

v=Ev + A, Lj R, — A. L, R, + A3 L3 R3 .

L„ désignant le coefficient de dans le développement de Q„ v

suivant les puissances descendantes de x. Pour f> = on a im-

médiatement

=. A, Q, (y). Ri (x) - A, Q, {y) R, (x) + A3 Q, (y) R3 (.r) -

Cette formule remarquable, donnée dans le mémoire [31], est la rénéralisation de la série connue de Heine (*):

où P„ et Q„ sont des fonctions sphériques de I et de II espèce. L'analyse employée dans le mémoire [32] est d'une simplicité remarquable; elle repose sur le calcul des parties entières des fonctions, et, quoique parfaitement indépendante de suppositions relatives à la convergence, elle est absolument rigoureuse.

Observons que la solution de la question de trouver les polynômes Y et Z qui font tendre la différence u Y — Z autant que possible vers V a été complétée plus tard par Tchébychef dans le mémoire [51].

Une question tout-à-fait analogue peut être posée pour les nombres. On sait que lorsqu'il s'agit de détermines deux nombres entiers x et y tels que la différence v — m/, a désignant un nombre incommensurable.

(*) Handbuch der Kugelfunctionem, 1861, p. 39. Cette série a été donnée pour la première fois dans le mémoire Théorie der Amteliung eines Ellipsolds (Crelle's Journ. Bd. -12, 1851). Voir la généralisation remarquable de cette série par Poch- HAMMER dans son mémoire Ueber die Entivichelung von Functionen nach den Integralen einer Klasse von linearea Differentialgleichungen zweiter Ordniing (Crelle's Journ. Bd. 74).

tende indéfiniment vers zéro, les nombres œ et y sont déterminés par le développement de a en fraction continue. Mais la question de trouver deux nombres x et ?/ tels que la différence x — ai/ s'approche indéfiniment de i a été posée et résolue par Tchébychef le premier, dans le beau mémoire [33]. Une analyse ingénieuse et profonde conduit au théorème suivant: « a désignant un nombre incommensurable quelconque, il existe une infinité de systèmes de nombres entiers x et y tels que la fonction linéaire

X — ai/ — b,

b désignant une constante quelconque, devienne plus petite en valeur absolue que — — . ». L'expression m — w«, où m et w sont des nombres

entiers, peut donc représenter un nombre réel quelconque avec une approximation aussi grande que l'on veut. La belle et importante application de cette proposition faite par M. Hermite [80] à la théorie des fonctions est aujourd'hui classique.

C'est dans le mémoire [35] que Tchébychef a exposé son nouveau calcul des maxima et minima, qui se distingue du calcul des variations en ce sens que la forme de la fonction Y, tout-à-fait indéterminée dans le calcul ordinaire, est supposée donnée dans ces problèmes d'un nouveau genre. Après avoir exposé les principes généraux de la solution de ces problèmes, il applique ces principes au problème de l'interpolation d'après la méthode des moindres carrés. Dans le cas du minimum absolu il trouve facilement la formule générale de l'interpolation dont nous avons parlé au chapitre précédant; mais il envisage aussi un cas particulier où un des coefficients du polynôme Y doit avoir une valeur assignée, ce qui lui fournit l'occasion d'appliquer ses formules ayant trait aux maxima et minima relatifs. Il donna plus tard une autre application de ces formules dans le mémoire [63], où il envisage le rapport de deux intégrales prises pour les mêmes valeurs de la variable. La question ici posée se ramène à la suivante: « Parmi tous les polynômes Z de degré donné et vérifiant l'équation + 1

TI e (x) dx = 1

trouver le polynôme pour lequel l'intégrale

Z' Oq (x) dx

devienne un maximum ou un minimum, 9 (a?) et 9,) C'^) étant deux fonctions données ». Cette question est résolue par les formules du mé-

moire [35] et la solution conduit a une nouvelle application des pohnùmes de Legendre. L'on a en effet le théorème suivant : « Z désignant un polynôme de degré inférieur à w et ne changeant pas de signe entre x = ~ l et ^ = 4- 1, la valeur numérique du rapport

Z dx

/ xZdx: / Z

ne peut respectivement surpasser la plus grande racine des équations X^ ^ j = 0 et X^ ^ j + X^ =0, selon que n^2l ou 21 — 1 ».

Comme application de ce théorème Tchébychef donne la limite du rapport entre le segment d'une courbe et le triangle, formé par la courbe et deux droites parallèles aux axes des coordonnées.

Valeur limites des intégrales et des sommes.

Dans la formule générale de l'interpolation parabolique (voir chap. IV) les coefficients sont formés par les sommes

S 4'n {oc,) . e^ {.V,) . F (^,)

et, lorsque nous remplaçons G- (oc) par une fonction f{x) qui doit rester toujours positive, ces sommes sont évidemment composées linéairement au moyen des sommes

S xUix;), i.x,-f(x;), y,xU(xd

Ces dernières sommes présentent une grande analogie avec les dérivées /* (x), f (rr), Comme ces dérivées servent à former les

polynômes qui se rapprochent le plus d'une fonction quelconque dans le domaine d'une valeur x ■= a, les sommes en question servent à former les expressions qui se rapprochent le plus d'une fonction donnée dans un intervalle quelconque. Dans le cas où les valeurs de x forment un continuum linéaire ces sommes remarquables se ramènent aux intégrales

/ f{x)dx^ / xf{x)dx / a