LES CARACTERES DE DIYISIRILITE

En arithmétique, on doit à Pascal le procédé qui permet, en effectuant certaines opérations sur les chiffres d'un nombre donné, de reconnaître s'il est divisible par un autre et, dans le cas où il ne Test pas, de trouver le reste de la division.

Dans Tappendice au traité « De numericis ordinibus tractatus » intitulé « De numeris multiplicibus ex sola characterum numericorum additione agnoscendis », Pascal expose sa méthode ; puis, donnant quelques exemples, il justifie le caractère de divisibilité par 9, connu depuis longtemps, mais non encore démontré ; enfin, il fait voir que son procédé s'applique « non seulement à notre système décimal de numération (système dont la base est de pure convention, contrairement à ce que le vulgaire pense sans raison aucune), mais encore à tout système de numération ayant pour base tel nombre qu'on voudra* ».

m. — LE TRIANGLE ARITHMÉTIQUE ET SES APPLICATlOyS .

Sur des recherches d'analyse, on possède de Pascal le « Traité du triangle arithmétique » et le « De numericis ordinibus tractatus ^ ». Quelques lettres échangées

1. De numeris multiplicibus ex sola characterum numericorum additione agnoscendis, p. 312.

2. Ces traités étaient terminés vraisembiablement dès 1654, comme le

entre lui et Fermât, au sujet de ce qu'ils appelaient « les partis des joueurs », nous sont également parvenues*.

Pascal n'est certes pas le premier mathématicien dont l'attention ait été attirée par des problèmes de combinaisons. Déjàle père Bauhus, Jésuite flamand, puis Wallis^, avaient recherché de combien de manières on peut varier, sans en altérer la mesure, le vers fameux :

« Tôt tibi suDt dotes, Yirgo, quot sidéra cœlo. »

D'ailleurs, on sait aujourd'hui présenter l'analyse combinatoire sous une forme parfaite, en établissant a priori des formules générales, sans être obligé de passer par la considération du triangle de Pascal. Celui-ci est simplement cité à titre de curiosité historique, de sujet d'exercices, tout comme la table de Pythagore dans la théorie de la multiplication.

prouvent les lettres de Pascal 4 Fermât do 29 juillet 1654 et de Fermât à Pascal du 29 août 1654; mais ils n'ont été publiés qu'en 1665, après la mort de l'auteur, réunis en un volume in 4P.

Le a Traité du triangle arithmétique » proprement dit est suivi des a Divers usages du triangle arithmétique dont le générateur est l'unité, pour les ordres numériques, pour les combinaisons, pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui Jouent en plusieurs parties, pour trouver les puissances des binômes et apotomes ».

Le «t De numericls ordinibus tractatus » est précédé d'une sorte d'introduction française intitulée a Traité des ordres numériques », et suivi de trois appendices : « Combinationes », « Potestatum numericanim summa » et a De numeris multiplicibus ex sola characterum numericorum additione agnoscendis ». Voir les traductions de Ch. Drion dans le tome TII des Œuvres complètes de Biaise Pascal, Hachette, 1865.

1. Trois lettres de Pascal et trois de Fermât, tontes datées, sauf une de Fermât qui est vraisemblablement de 1654, comme toutes les autres.

ikS PASCAL.

Mais en 165ii', le triangle arithmétique était une inspiration de génie. On est émerveillé de l'habileté mathé* matique déployée par Pascal pour en tirer les plus extrêmes conséquences, lui faire rendre tout ce qu'elle

pouvait donner. D'une part, en utilisant sa éréation ingénieuse et éminemment originale, Pascal a pu pousser très loin la thétorie des combinaisons, calculer les coefficients des puissances entières et positives du binôme ainsi que les sonmies successives des puissances semblables, entières et positives, des termes d'une progression arithmétique et quarrer par suite les paraboles de tous les degrés; il a acquis ainsi un titre de plus à être compté parmi les précurseurs du « calcul intégral ». D'autre part, il s'est servi du triangle arithmétique pour résoudre certains des premiers problèmes difficiles posés sur les jeux et il partage avec Fermât la gloire d'avoir fondé le « calcul des probabilités ».

Pour se faire une idée du fameux triangle arithmétique, qu'on se représente des cellules carrées, disposées en lignes horizontales et en colonnes verticales, de façon à couvrir la surface d'un triangle rectangle isocèle qui grandit sans cesse à mesure qu'on ajoute de nouvelles rangées de cellules parallèles à la base. Pascal inscrit un nombre arbitraire dans la cellule qui occupe le sommet et en déduit, suivant une certaine loi, les nombres à inscrire dans les autres, en opérant par rangées successives parallèles à la base. Il appelle le nombre arbitraire « nombre générateur », les autres « nombres figurés du premier ordre, du second ordre, etc. » ; quand le nombre générateur est l'unité, il donne

aux nombres figurés, suivant leur ordre , les noms de « naturels, triangulaires, pyramidaux, triangulo-triangulaires, etc. »; son triangle est donc ce que Bossu t* a appelé fort justement un « arbre généalogique » des nombres figurés.

De la disposition des nombres dans le triangle et de leur loi de formation, Pascal a déduit, comme en se jouant, une foule d'énoncés remarquables et même, ditil 2, « j'en laisse bien plus que je n'en donne ; c'est une chose étrange combien il [ce triangle) est fertile en propriétés! Chacun peut s'y exercer ».

Bernouilli^ s'étonne qu'une des plus belles applications du triangle de Pascal, la formation des puissances du binôme, ait échappé à l'inventeur. Ce reproche est certes mal fondé, car tout un chapitre du « Traité du triangle arithmétique » est consacré à son usage pour « trouver les puissances des binômes et apotomes * ».

Pascal se borne, il est vrai, à indiquer sommairement, et sans démonstration, comment son triangle permet de résoudre la question : « La chose est évidente d'ellemême ^)) , dit-il. D'ailleurs, depuis Viète^, on savait former les puissances du binôme ; et de l'aveu même de Pascal dans le chapitre en question, plusieurs de ses contem-

1. Essai sur t Histoire générale des Mathématiques, Louis, Paris, 1802, t. I, p.277.

2. Divers usages du triangle arithmétique dont le générateur est Vunité, p. 251 et 252.