Œuvres^ t. IV, lettre à M, de Montmort

4. On appelait a apotomes » les expressions de la forme (a-b).

porains, notamment Hérigone, avaient déjà donné des démonstrations du procédé à employer.

Mais pour Pascal, comme pour Viète et Hérigone, il ne s'agissait que de ce que nous appelons aujourd'hui des puissances entières et positives ; de plus, pour en obtenir ime, ils étaient forcés de développer préalablement toutes celles de degré inférieur. Newton *, en utilisant la notation des exposants, complètement généralisée par Wallis, devait trouver sa célèbre formule, qui s'applique à toutes les puissances du binôme, entières ou fractionnaires, positives ou négatives, et permet de former immédiatement une quelconque d'entre elles.

Pascal, pouvant développer les puissances successives, entières et positives, du binôme, fut naturellement conduit à rechercher les sommes successives des puissances semblables, entières et positives, des termes d'une progression arithmétique. La branche de l'analyse qui a pour objet de sommer certaines suites de nombres était connue depuis Maurolic ^ ; on savait sommer les n premiers nombres, leurs carrés et même leurs cubes, mais par des méthodes inapplicables aux sommes des puissances supérieures à la troisième. Le problème étudié par Pascal avait déjà préoccupé Wallis dans le cas où le premier terme et la raison de la progression sont égaux à Tunité. Un appendice au « De numericis ordinibus tractatus », intitulé « Potestatum numericarum summa », le résout dans toute sa généralité. La méthode employée est différente de celle qu'on enseigne main-

tenant. Comme Pascal ne connaît pas l'expression du terme général d'une puissance du binôme, il conserve dans ses démonstrations leurs valeurs numériques aux coefficients et suppose, dans la règle pratique qu'il énonce comme conclusion, que Ton a préalablement développé une puissance déterminée d'un certain binôme et pris note des coefficients. Mais, résultat digne d'admiration, cette règle pratique n'est en somme que la traduction en langage ordinaire de la formule utilisée aujourd'hui!

Nous verrons plus loin, à propos des travaux qui ont conduit Pascal si près du calcul intégral, que les sommations ainsi obtenues lui ont permis de quarrer les paraboles de tous les degrés par la méthode des indivisibles.

rV. — LE CALCUL DES PROBABILrTÉS.

Le calcul des probabilités est né de deux problèmes posés à Pascal par un bel esprit de ses amis, sans doute plus acharné joueur que bon analyste, le chevalier de Méré*. Certes, depuis longtemps, on avait la notion de l'importance qu'ont dans les jeux, pour le réglage des enjeux et des paris, les rapports des nombres de cas favorables ou non aux joueurs. Mais c'était une audacieuse entreprise qu'essayer de soumettre pour la première fois à l'analyse des événements qui dépendent du hasard

1. Galilée ayait été, cinquante ans plus tôt, inTÎté par nn amateur de jeu à s'occuper d'un problème de même genre. Voir Bertrand, Les lois du hasard {ftevue des Deux-Mondes du 15 avril 1884).

et paraissent devoir, plus que tout autre objet, échapper forcément au calcul. Pascal et Fermât la tentèrent avec succès.

« En combien de coups peut-on espérer faire sonnez * avec deux dés? » Tel était le premier problème du chevalier de Méré. Il présente peu de difficultés. Pascal, Fermât et Roberval le résolurent facilement, mais la solution de Pascal ne nous est pas restée. Il est vraisemblable que, par les seules ressources du bon sens, de Méré en trouva une qui devait être exacte, si on en juge par une phrase d une lettre de Pascal à Fermât 2. Il s* attaqua alors à d'autres problèmes analogues tels que celui-ci : « En combien de coups peut-on espérer faire une rafle ^ avec deux dés? » et les résolut également.

Mais le suivant l'arrêta : « Dans un jeu de hasard tout à fait égal, deux joueurs jouant une partie en un certain nombre de points, en ont déjà chacun un nombre inégal et veulent rompre la partie sans l'achever. On demande de déterminer les partis des joueurs, c'est-à-dire comment ils doivent partager équitablement l'enjeu. » Les parts doivent être évidemment proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie ; ces probabilités inconnues dépendent des nombres connus des points qui manquent à chaque joueur pour atteindre