C'est-à-dire amener le même point arec chaque dé

TRAVAUX SGIEmriFlQUES. 153

le nombre convenu et le problème consiste à déterminer les probabilités en fonction de ces nombres.

De Méré n'était pas de taille à le résoudre : « Il a très boçi esprit, » écrivait Pascal, « mais il n'est pas géomètre; c'est, comme vous savez, un grand défaut; et même il ne comprend pas qu'une ligne mathématique soit divisible à l'infini, et croit fort bien entendre qu'elle est composée de points en nombre fini, et jamais je n'ai pu l'en tirer; si vous pouviez le faire, on le rendroit parfait*. » Roberval lui-même n'eut pas plus de succès que de Méré. Pascal avait transmis l'énoncé à Fermât et tous deux réussirent presque en même temps. Fermât communiqua le premier sa solution à son rival et celui-ci répondit par l'envoi de la sienne. A partir de ce moment, l'histoire des origines du calcul des probabilités est tout entière dans les six admirables lettres qui nous sont restées de la correspondance échangée par eux dans les derniers mois de 1654. Il faut croire que celle de Pascal avec de Méré fut moins active ; une lettre, tantôt intéressante, tantôt ridicule, de ce dernier est parvenue jusqu'à nous 2.

« L'impatience me prend aussi bien qu'à vous, » écrit

1 Lettre de Pascal à Fermât du 29 juillet 1654, p. 223. Voir p. 90 et •uiyantes du présent ouvrage.

2. Lettre citée par Bossut dans son Discours sur la vie et les ouvrages de Pascal, ajouté au tome second de l'Essai sur l'Histoire générale des Mathématiques, Louis, Paris, 1802, et par Ha?et dans son édition des Pensées de Pascal^ Delagrave, 1883, p. 5 : a Les démonstrations de la géométrie sont le plus souvent fausses,... elles empêchent d'entrer dans des connaissances plus hautes qui ne trompent Jamais,... de remarquer à la mine et à l'air des personnes qu'on voit quantité de choses qui peuvent beaucoup servir, etc. » Voir p. 90 et suivantes du présent ouvrage.

Pascal à Fermât le 29 juillet 1654; « et quoique je sois encore au lit, je ne puis m'empêcher de vous dire que je reçus hier au soir, de la part de M. de Carcavi, votre lettre sur les partis, que j'admire si fort que je ne puis vous le dire. Je n'ai pas le loisir de m'étendre; mais en un mot vous avez trouvé les deux partis des dés et des parties dans la parfaite justesse : j'en suis tout satisfait; car je ne doute plus maintenant que je ne sois dans la vérité, après la rencontre admirable où je me trouve avec vous... Mais parce que la peine des combinaisons est excessive, j'en ai trouvé un abrégé, et proprement une autre méthode bien plus courte et plus nette, que je voudrois pouvoir vous dire ici en peu de mots ; car je voudrois désormais vous ouvrir mon cœur, s'il se pouvoit, tant j'ai de joie de voir notre rencontre. Je vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris ^ »

Pascal se trompait en estimant sa méthode « plus courte et plus nette ». Elle est fort ingénieuse et consiste au fond à rechercher Y « équation aux différences partielles » du problème 2; mais telle qu'il la présente, elle conduit quelquefois à d mextricables raisonnements, et ne s'applique d'ailleurs qu'au cas de deux joueurs. Celle de Fermât, basée sur les combinaisons, est plus directe, plus générale et lui permit de résoudre le problème analogue dans le cas de trois joueurs. Pascal crut d'abord cette généralisation inexacte : « Je ne

1. Lettre de Pascal à Fermai du 29 juillet 1654, p. 220 et 221.

2. Voir Laplace, Œuvres complètes, l. VII, Théorie analytique des probabilités, introductiony p. xxt, xxxv, cxlv.

TRAVAUX SQEM'IFIQUES. 155

pus VOUS ouvrir ma pensée entière touchant les partis de plusieurs joueurs, par l'ordinaire passé, » écrit-il à Fermât le 24 août ; « et même j'ai quelque répugnance à le faire, de peur qu'en ceci, cette admirable convenance qui étoit entre nous, etquim'étoit si chère, ne commence à se démentir; car je crains que nous ne soyons de différens avis sur ce sujet. Je veux vous ouvrir toutes mes raisons, et vous me ferez la grâce de me redresser, si j'erre, ou de m'affermir, si j'ai bien rencontré. Je vous le demande tout de bon et sincèrement; car je ne me tiendrai pour certain que quand vous serez de mon côté. * » Mais il y avait erreur en un point du raisonnement par lequel Pascal prétendait convaincre Fermât 2. Celui-ci le lui fit remarquer et il l'avoua de bonne grâce dans la lettre du 27 octobre : « Votre dernière lettre m'a parfaitement satisfait; j'admire votre méthode pour les partis, d'autant mieux que je l'entends fort bien; elle est entièrement vôtre, et n'a rien de commun avec la mienne, et arrive au même but facilement. Voilà notre intelligence rétablie^. »

Dans r « Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties », Pascal expose d'abord une première solution du problème des partis, celle

2. \ OIT Moniucià, Histoire des Mathématiques, Agasse, Paris, 1802, t. ni, p. 382.

3. Lettre de Pascal à Fermât du 27 octobre 1654, p. 235. Sur les relations de Pascal et Fermât, voir encore p. 64 du présent ouvrage.

dont nous venons de parler ; il y joint une seconde ainsi que des solutions de problèmes analogues, toutes basées sur la considération de son triangle arithmétique. Les deux principes^ fondamentaux qu'il énonce au début du chapitre dérivent du simple bon sens dans le cas de circonstances absolument égales pour les deux joueurs. Bemouilli^ et D'Alembert' ont recherché s'il ne faut pas les modifier quand ceux-ci sont dans des circonstances physiques ou morales différentes, par exemple dans le cas où leurs fortunes sont inégales.

Les recherches de Pascal et Fermât ne furent pas immédiatement publiées, mais firent sans doute quelque bruit parmi les savants de 1 époque. Les énoncés, sinon les solutions , des problèmes traités par eux parvinrent à Huyghens qui s'y attaqua à son tour. En 1658, parut son « De ratiociniis in ludo aleae ». On y trouve résolus les différents cas du problème des partis, par une méthode

1. Premier principe : a Si un des joueurs se trouve en telle condition que, quoi qu'il arrive/ une certaine somme doit lui appartenir en cas de perte et de gain, sans que le hasard puisse la lui ôter; il ne doit en faire aucun parti, mais la prendre entière comme assurée, parce que le parti devant être proportionné au hasard, puisqu'il n'y a nul hasard de perdre, il doit tout retirer sans parti. »

Deuxième principe : « Si deux joueurs se trouvent en telle condition que, si l'un gagne, il lui appartiendra une certaine somme, et s'il perd, elle appartiendra à l'autre ; si le jeu est de pur hasard, et qu'il y ait autant de hasards pour l'un que pour l'aulre, s'ils veulent se séparer sans Jouer, et prendre ce qui leur appartient légitimement, le parti est qu'ils séparent la somme qui est au hasard par la moitié, et que chacun prenne la sienne. »

2. Anciens mémoires de V Académie de St-Pétersbourg, années 1730 et 1731, t. V, p. 175.

3. Mélanges de Littérature, t. V, et Opuscules mathématiques, 1. II et V.

du reste analogue à celle de Pascal, ainsi que les solutions ou seulement les énoncés de quelques autres problèmes du même genre. Huyghens rend d'ailleurs justice à ses illustres contemporains et reconnaît formellement leurs droits de priorité ^ . C'est donc à tort qu'on a voulu quelquefois lui attribuer Tinvention du calcul des probabilités ; sa gloire est assez belle ; il est inutile de la grandir en diminuant celle de Pascal et Fermât. Ceuxci ne partagent avec personne rhormeur d'avoir ouvert à leurs successeurs une route féconde de l'analyse.

Pascal, apologiste de la religion chrétienne, a voulu préparer l'incrédule à recevoir la foi par un raisonnement basé sur les règles des partis. C'est là le fameux « pari de Pascal » qui a fait l'objet de tant d'études et de controverses 2.

On essaiera plus loin de montrer comment il est la conclusion naturelle de 1' « Apologie » et quelle en est la valeur religieuse. On ne doit s'occuper ici que de sa va leur mathématique.

Le passage tout entier de Pascal^ est à citer : « Examinons donc ce point, et disons : Dieu est, ou il n'est pas. Mais de quel côté pencherons-nous? La raison n'y peut rien déterminer. Il y a un chaos infini qui nous sépare. Il se joue un jeu , à l'extrémité de cette distance infinie, où il arrivera croix ou pile. Que gager ez-vous?

1. « Sciendum vero quod jaropridem inter prœstantissimos toU Gallia geometras calculus hic agitatus fuerit ne quis indebitam mihi primœ inTentionis gloriam hac in re tribuat. »

2. Voir notamment Sully Prudhomme : Le sens et la portée du pari de Pascal {Revue des Deux» Mondes du 15 novembre 1890).

3. PenséeSydxWcX^ X, p. 173 à 179 derédîlion Haret, Delagrave, 1883.

Par raison , vous ne pouvez faire ni l'un ni l'autre ; par raison, vous ne pouvez défendre nul des deux.

(( Ne blâmez donc pas de fausseté ceux qui ont pris un choix; car vous n'en savez rien. — Non : mais je les blâmerai d'avoir fait, non ce choix, mais un choix; car, encore que celui qui prend croix et l'autre soient en pareille faute , ils sont tous deux en faute : le juste est de ne point parier.

« Oui, mais il faut parier : cela n'est pas volontaire , vous êtes embarqué. Lequel prendrez-vous donc? Voyons. Puisqu'il faut choisir, voyons ce qui vous intéresse le moins. Vous avez deux choses à perdre , le vrai et le bien; et deux choses à engager, votre raison et votre volonté , votre connaissance et votre béatitude ; et votre nature a deux choses à fuir. Terreur et la misère. Votre raison n'est pas plus blessée , puisqu'il faut nécessairement choisir, en choisissant l'un que l'autre. Voilà un point vidé; mais votre béatitude? Pesons le gain et la perte, en prenant croix, que Dieu est. Estimons ces deux cas : si vous gagnez , vous gagnez tout; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hésiter. — Cela est admirable : oui, il faut gager ; mais je gage peut-être trop. — Voyons. Puisqu'il y a pareil hasard de gain et de perte , si vous n'aviez qu'à gagner deux vies pour une, vous pourriez encore gager. Mais s'il y en avait trois à gagner, il faudrait jouer (puisque vous êtes dans la nécessité déjouer), et vous seriez imprudent, lorsque vous êtes forcé à jouer, de ne pas hasarder votre vie pour en gagner trois à un jeu où il y a pareil hasard de perte et de gain. Hais il

y a une éternité de vie et de bonheur. Et cela étant , quand il y aurait une infinité de hasards dont un seul serait pour vous , vous auriez encore raison de gager un pour avoir deux, et vous agiriez de mauvais sens, étant obligé à jouer, de refuser de jouer une vie contre trois à un jeu où d'une infinité de hasards il y en a un pour vous, s'il y avait une infinité de vie infiniment heureuse à gagner. Mais il y a ici une infinité de vie infiniment heureuse à gagner, un hasard de gain contre un nombre fini de hasards de perte, et ce que vous jouez est fini. Cela est tout parti : partout où est Tinfini , et où il n'y a pas infinité de hasards de perte contre celui de gain, il n'y a point à balancer, il faut tout donner. Et ainsi, quand on est forcé à jouer, il faut renoncer à la raison, pour garder la vie plutôt que de la hasarder pour le gain infini, aussi prêt à arriver que la perte du néant.

« Car il ne sert de rien de dire qu'il est incertain si on gagnera, et qu'il est certain qu'on hasarde ; et que l'infinie distance qui est entre la certitude de ce qu'on s'expose, et l'incertitude de ce qu'on gagnera , égale le bien fini qu'on expose certainement , à l'infini qui est incertain. Cela n'est pas ainsi : tout joueur hasarde avec certitude pour gagner avec incertitude , et néanmoins il hasarde certainement le fini pour gagner incertainement le fini , sans pécher contre la raison. Il n'y a pas infinité de distance entre cette certitude de ce qu'on s'expose et l'incertitude du gain; cela est faux. Il y a, à la vérité , infinité entre la certitude de gagner et la certitude de perdre. Mais l'incertitude de gagner est

proportionnée à la certitude de ce qu'on hasarde, selon la proportion des hasards de gain et de perte ; et de là vient que , s'il y a autant de hasards d'un côté que de l'autre, le parti est à jouer égal contre égal; et alors la certitude de ce qu'on s'expose est égale à l'incertitude du gain : tant s'en faut qu'elle en soit infiniment distante. Et ainsi notre proposition est dans une force infinie, quand il y a le fini à hasarder à un jeu où il y a pareils hasards de gain que de perte , et l'infini à gagner. »

De nombreux mathématiciens ont contesté la rigueur mathématique du pari de Pascal. On ne saurait mieux faire que de rappeler ici comment Laplace^ a résumé cette argumentation et en a montré le point faible :

« Ici se présente naturellement la discussion d'un argument fameux de Pascal, que Craig^, mathématicien anglais, a reproduit sous ime forme géométrique. Des témoins attestent qu'ils tiennent de la Divinité même qu'en se conformant à telle chose on jouira, non pas d'une ou de deux, mais d'une infinité de vies heureuses. Quelque faible que soit la probabilité des témoignages, pourvu qu'elle ne soit pas infiniment petite , il est clair que l'avantage de ceux qui se conforment à la chose prescrite est infini, puisqu'il est le produit de cette probabilité par un bien infini ; on ne doit donc point balancer à se procurer cet avantage.

1. Œuvres complètes, t. VII, théorie analytique des probabilités, introduction, p. lxxxyii et lxxxyiii.

2. Mathématicien anglais de la fin du x?u* siècle, aatear d'un livre bizarre a Theologis Christian!» principia mathematica » (1699).

TRAVAUX SaENTlFIQUES. 161

« Cet argument est fondé sur le nombre infini des vies heureuses promises au nom de la Divinité par les témoins; il faudrait donc faire ce qu'ils prescrivent, précisément parce qu'ils exagèrent leurs promesses au delà de toutes limites, conséquence qui répugne au bon sens. Aussi le calcul nous fait-il voir que cette exagération même affaiblit la probabilité de leur témoignage , au point de la rendre infiniment petite ou nulle. En effet, ce cas revient à celui d'un témoin qui annoncerait la sortie du numéro le plus élevé, d'une urne remplie d'un grand nombre de numéros dont un seul a été extrait, et qui aurait un grand intérêt à annoncer la sortie de ce numéro. On a vu précédemment^ combien cet intérêt affiaiblit son témoignage. En n'évaluant qu'à 1/2 la probabilité que, si le témoin trompe, il choisira le plus grand numéro , le calcul donne la probabilité de son annonce plus petite qu'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est l'unité plus la moitié du produit du nombre des numéros , par la probabilité du mensonge , considérée a priori ou indépendamment de l'annonce. Pour assimiler ce cas à celtii de l'argument de Pascal, il suffit de représenter par les numéros de l'urne tous les nombres possibles de vies heureuses, ce qui rend le nombre de ces numéros infini, et d'observer que, si les témoins trompent, ils ont le plus grand intérêt, pour accréditer leur mensonge, à promettre une éternité de bonheur. L'expression de la probabilité de leur témoignage dc-