INTÉGRAL

Nous arrivons enfin aux travaux de Pascal sur la roulette. On sait la place considérable occupée par cette courbe dans les recherches mathématiques du dix-septième siècle. Elle doit sa célébrité autant à ses nombreuses et remarquables propriétés qu'aux querelles fameuses qu'elle a suscitées, méritant d'être appelée par Montucla V « Hélène » ou la « pomme de discorde » des géomètres. Tout a été dit sur elle, depuis Groningius^ et Carlo Dati^ jusqu'à Bertrand'; nous n'avons donc nullement la prétention d'analyser les innombrables écrits qu'elle a fait naître, même en n'en retenant que ce qui concerne spécialement Pascal. La question de la roulette est d'ailleurs étroitement liée à celle, plus générale, des origines du calcul intégral. Au temps de Pascal, tout comme aujourd'hui, des procédés sommatoires étaient indispensables pour la rectification des lignes courbes, la quadrature des surfaces planes ou courbes et la cubaturc des volumes, problèmes suggérés par la considération de la roulette ou d'autres

1. Uistoria cycloidis. — 2. Lettera a Philalethi. — 3. Article dans le Journal des Savants, numéro de mai 1890.

courbes. On peut dire que chaque géomètre imagina alors les siens pour les appliquer aux cas particuliers qu'il avait en vue. Aussi, le Pascal précurseur du calcul intégral ne peut-il être séparé du Pascal qui, sous le nom de Dettonville, défiait tous les géomètres de TEurope de trouver les solutions de certains problèmes sur la roulette. Nous les étudierons ensemble, après avoir donné un rapide aperçu des travaux antérieurs. Cette étude ne peut être poussée bien loin si on s'interdit, ce qui est notre cas, toute formule, toute figure et tout développement exclusivement mathématique. Il faut se borner à Thistorique des faits et à quelques généralités mathématiques indispensables. Le lecteur insuffisamment versé dans les sciences devra passer celles-ci, mais il pourra quand même s'intéresser à celui-là et se faire une idée du génie mathématique de Pascal et de quelques-uns de ses rivaux. En ce qui concerne le lecteur déjà assez au courant des questions de géométrie et d'analyse, notre but serait atteint si nous pouvions lui inspirer le désir d'approfondir, parmi les œuvres mêmes de Pascal, les opuscules qui accompagnent la « Lettre de Dettonville à Carcavi ». Il pourra se rendre compte des procédés sommatoires de Pascal et voir combien, si primitifs qu'ils nous paraissent aujourd'hui, ils étaient remarquables pour Fépoque, puisqu'ils lui ont permis d'énoncer des théorèmes qui sont la traduction même de formules de notre calcul intégral dont certaines sont déjà très compliquées^,

1 . Jusqu'à des formules conteaant des intégrales doubles et triples. Ce fait a été très bien mis en évidence par Marie. A ceux que les traités

a) La méthode des indivisibles.

On est tenté de s'imaginer aujourd'hui que notre analyse infinitésimale, telle que nous la connaissons et rappliquons, dans ses deux grandes divisions du calcul différentiel et du calcul intégral, permet seule de résoudre les problèmes qui sont de son ressort. La méthode d'exhaustion, celle des indivisibles, celle des indéterminées de Descartes, celle des limites et des fluxions de Newton, sont peu connues malgré les services que chacune a rendus dans son temps.

La méthode d'exhaustion est la plus ancienne. Pour arriver à la connaissance d'une courbe par exemple, les géomètres de l'antiquité imaginaient un polygone inscrit à la courbe et un polygone circonscrit ; ils les étudiaient en supposant que le nombre de leurs côtés augmente, tandis que les longueurs de ces côtés diminuent; ils avaient ainsi une idée de plus en plus approchée de la courbe, toujours comprise entre les deux polygones, et arrivaient, en raisonnant par continuité, à découvrir exactement ses propriétés. Pour les

géométriques de Pascal rebuleraient à première lecture par suite de Tarcbaïsmc de la forme, on ne saurait trop conseiller de les étudier d'abord dans Marie [Histoire des Sciences mathématiques et physiques, t. IV, p. 187 et suivantes). Marie, quelque inégal et incomplet sur certains points qu'on puisse le juger, a un mérite rare : Il a complètement lu les principales désœuvrés dont il parle (de préférence les œuvres mathématiques). D^ns son histoire, il donne de chacune une analyse qui la suit pas à pas. Quand l'œuvre n'est pas écrite en français ou est d'un style vieilli, cette analyse, véritable traduction résumée et commentée, facilite singulièrement l'étude de l'original.

surfaces et les volumes, ils usaient de méthodes analogues.

Au début du dix-septième siècle apparaît la méthode des indivisibles. Le milanais Cavalieri* l'applique dès 1 629 et l'expose en 1635 dans sa « Geometria indivisibilibus continuorum nova quidam ratione promota ». A la même époque, en France, Roberval est en possession d'une méthode analogue; mais, suivant son habitude, il ne publie rien, car il aimait faire mystère de ses découvertes et détestait écrire, ayant quelque peine à s'exprimer nettement. Il se contente de réclamer par une lettre de 1644 à Torricelli^ des droits de priorité discutables. Le « Traité des indivisibles » , publié seulement après sa mort 3, montre bien qu'il avait puisé sa méthode dans son propre fonds; mais en voulant, comme il dit, s'en réjouir « juveniliter » et la garder « in petto » , il avait laissé à Cavalieri l'honneur de la découverte.

La méthode des indivisibles ne correspond qu'à notre calcul intégral limité à l'intégration des fonctions différentielles. On comprend aisément pourquoi ce dernier est né, somme toute, avant le calcul différentiel : rectifier des lignes courbes, quarrer des surfaces planes ou courbes, cuber des volumes sont des problèmes qui se sont forcément posés de tout temps tandis que ceux du calcul différentiel viennent moins naturellement à l'esprit.