TRIANGLE ARITHMÉTIQUE. — CALCUL DES PRO- BABILITÉS. FERMAT

Pascal s'occupa alors de divers petits traités de mathématiques en latin, dont il dédia quelques-uns à l'Académie libre des savants de Paris '. Ce n'est que par cette sorte de dédicace et une lettre de Leibniz que l'on connaît ces travaux et les titres des traités qui n'ont pu être retrouvés. Ils roulaient sur les puissances et les multiples des nombres. Pascal annonçait en même temps d'autres ouvrages qu'il tenait déjà prêts et qu'il devait publier ensuite. Parmi ces ouvrages , se trouvait un traité complet des sections coniques que j'ai composé , disait Pascal , n'ayant pas encore atteint ma seizième année , et mis en ordre dans la suite.

La plupart de ces traités, trouvés en manu-

* Celeberrimœ Matheseos Academix partsîensi, t. IV, p. 3.56.

scrits après la mort de Pascal, furent envoyés par Etienne Perier, son neveu, à Leibniz qu'on consulta sur l'opportunité et la convenance de leur publication. Leibniz était alors à Paris. Il répondit, le 30 août 1676* qu'il les trouvait assez finis pour être livrés au public , et il traça le plan dans lequel il croyait qu'on pouvait les ranger. Ils se rapportaient presque tous à la théorie des sections coniques. Quelques pages seulement en ont été publiées^, et on ne comprend pas comment le reste ne le fut pas , car Leibniz, à la fin de sa lettre, pressait cette publication. A raison des traités sur les mêmes matières qui paraissaient alors, il croyait qu'il était bon de donner ceux de Pascal au plus tôt, avant qu'ils perdissent la grâce de la nouveauté. Sans doute, vu les immenses progrès des connaissances mathématiques, on n'aurait rien à apprendre aujourd'hui dans les traités de Pascal. Mais ils auraient fait avancer la géométrie au dix-

* Essais des coniques, en tête du quatrième volume. — Nous mettions sous presse , lorsque nous avons appris qu'un Traité de Pascal, intitulé Generatio Conisectionum, avait été trouvé parmi des papiers ayant appartenu à Leibniz, à Salzwedel (Prusse), par M. le docteur Gerhard. Cette découverte a été annoncée à l'Académie de Berlin par M. Encke, et le Traité doit être communiqué à l'Académie des Sciences de Paris.

septième siècle et nous serions bien aises de savoir jusqu'où il avait porté la science, quelles méthodes , quels procédés il suivait. Celte réflexion est de Bossut ^ qui compare alors les monuments scientifiques toujours éphémères aux monuments des lettres toujours immortels. C'est que les découvertes de la science ne représentent que les conquêtes de l'esprit dans le domaine de l'observation de la nature , conquêtes toujours progressives dans un empire dont les bornes reculent sans cesse devant lui. Jamais il ne revient sur ses pas et toujours il marche en avant; son pied ne saurait se fixer sur la trace des génies antérieurs , quelque profonde qu'ait été l'empreinte, et les découvertes du lendemain font oublier celles de la veille. Il n'en est pas ainsi dans les lettres et les arts. Malgré les variations prodigieuses que l'activité et la liberté introduisent dans la nature humaine, on la retrouve cependant à travers les siècles et dans ses écarts les plus monstrueux comme les plus sublimes, toujours identique, toujours semblable à elle-même et à un type commun que chaque homme porte dans son âme. Or, c'est précisément cette nature humaine qui est l'objet propre des lettres et des arts. Sitôt qu'elle se

* LHscmrs prélîm., p. xxv.

216 II« PARTIE.— ÉCRITS ET GlÎME.

montre à nous dans les pages des orateurs et des poètes , nous la reconnaissons au premier regard et nous nous écrions : C'est elle ! Les différences de mœurs et de civilisation n'y font rien; l'éloignement des âges ne change pas le point de vue ; elle germe et s'épanouit sans modifications essentielles sur tout sol et sous tout climat ; c'est toujours l'humanité ! Ainsi la tendresse et le dévouement fdial s'appelleront indistinctement Electre, Antigone ou Cordelia; l'amour maternel , Mérope ou Andromaque , qu'Andromaque soit fille d'Athènes , de Rome ou de Versailles ; le père, Priam ou Lusignan ; la passion, Phèdre ou Didon ; la jalousie, Othello ou Orosmane; le remords, Oreste ou Macbeth. C'est pour cela que les grandes littératures n'appartiennent proprement à aucun peuple, mais sont l'héritage commun de l'humanité , que le génie des lettres est cosmopolite , ne vieillit jamais , et qu'André Chénier a pu dire :

Trois mille ans ont passé sur la cendre d'Homère, Et depuis trois mille ans Homère respecté Est jeune encor de gloire et d'immortalité !

C'est pour cela que tous les échos du monde et des âges se renvoient les noms de l'orateur et du poëte, tandis que le nom du savant ne retentit presque toujours que dans un cercle étroit, et

CHAP. 1. - PASC.Al. SAVANT. 217

n'est bienlôt plus qu'un souvenir. S'il eut renfermé sa vie dans la science, Pascal serait-il jamais arrivé à sa gloire : aurait-il atteint sa brillante immortalité?

Pascal semble abandonner désormais l'étude des sciences physiques pour s'occuper exclusivement des sciences mathématiques. Il imagina alors son triangle arithmétique dont il a donné lui-même la description'. Cette description fut suivie de plusieurs traités où il indiquait les usages et les conséquences du triangle arithmétique dont le générateur est l'unité^. Cette invention est extrêmement féconde, et suffit à déterminer une foule de théorèmes difficilement démontrables par une autre méthode. Aussi Pascal était-il avec raison fier de cette découverte qui lui appartenait tout entière. S'il eût poussé plus loin ses recherches, il enlevait à Newton et à Leibniz quelques-uns de leurs plus beaux titres de gloire, car il était sur la voie du binôme de Newton et du calcul des probabilités. Il fit en effet l'application de son triangle à la théorie des jeux de hasard'^. En voici l'occasion.

• OEurres, t. V, p. 1.

« /hid. p. 18.

' Usage du triangle arithmétique, pour déterminer tes partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties, t. V, p. 31.

Jll II» PARTIE. — ÉCRITS ET GÉNIE.

Le chevalier de Méré, grand joueur, avait proposé à Pascal deux problèmes : en combien de coups pouvait-on espérer d'amener Sonnez avec deux dés ; quel doit être le sort de chaque joueur après un certain nombre de coups , s'ils veulent se séparer avant d'avoir achevé la partie, et quelle sera leur part d'enjeu ? Ces problèmes occupèrent tous les mathématiciens de l'époque, Roberval , Carcavi , Fermât, Pascal. Roberval ne put réussir à les résoudre, Fermât en vint à bout, mais par une méthode différente de celle de Pascal , que celui-ci crut d'abord inexacte , mais qu'il trouva ensuite , après plus mûr examen , simple et ingénieuse : d'ailleurs ils arrivaient tous les deux aux mêmes résultats *.

Ces travaux donnèrent lieu à une correspondance entre Pascal et Fermât^. Il est beau de voir l'estime réciproque que les deux savants faisaient l'un de l'autre. Fermât, conseiller au parlement de Toulouse , cultivait les sciences avec modestie et comme par délassement. C'est pourtant un génie sublime en mathématiques. Il a devancé son siècle et deviné ce qui est encore aujourd'hui le désespoir de nos plus grands géomètres. Ses méthodes, en effet, ont

♦ Voir Bossut, Introd., p. xxix.

2 T. IV, p. 360 et suiv.

CHAP. 1. — PASCAL SAVANT. ii%

été perdues avec lui. On lui reproche de les avoir cachées, mais c'était chez lui indifférence plutôt qu'orgueil et égoïsme. L'appUcation de l'algèbre à la géométrie lui est commune avec Descartes ; sa méthode de maximis et minimis est comme l'origine du calcul différentiel; et conjointement avec Pascal, il créa le calcul des probabilités. Non content de ses propres travaux, il voulut faire jouir son siècle des ouvrages des savants anciens. Il chargea de ses notes le Diophante de Bachet, l'un des membres de l'Académie française à sa création, rétablit deux des plus beaux ouvrages de la géométrie ancienne, les Lieux plans d'Apollonius et les Porismes d'Euclide. Il était en même temps poëte, habile helléniste, jurisconsulte profond et même composant avec facilité et grâce des vers latins, espagnols et français. En correspondance avec tout ce que la science offrait alors d'hommes illustres , il ne trouva pas toujours dans ses relations la justice et les égards que méritaient son génie et ses travaux. Descartes avait pour lui des dédains affectés et se vengeait de ses succès par un mépris qui n'était sans doute qu'extérieur. Fermât se contentait de répondre : «Je proteste que M. Descartes ne saurait ra'estimer si peu que je ne m'estime encore moins. » Mais il retrouvait toute sa fierté vis-à-vis des Anglais et défen-

dait pied u pied contre eux l'honneur de la France ' . Ses principaux écrits ont été publiés après sa mort par un de ses fils, Samuel Fermât^ qui, malheureusement, soit négligence, soit impossibilité de trouver un mathématicien qui s'en chargeât, laissa s'écouler quinze ans avant d'exécuter cette publication. Aussi plusieurs fragments, dont la connaissance eût sans doute servi à faire retrouver les méthodes de son père , ont été perdus par suite de ce retard. On ne voit pas non plus dans la préface qu'il mit à la tète du recueil, qu'il ait rien demandé à Carcavi, que Fermât , son intime ami , avait fait dépositaire de tous ses papiers. Plusieurs manuscrits de Fermat ont été retrouvés de nos jours et attendent encore un éditeur que peut seule susciter la munificence du gouvernement.

Fermât était âgé de près de soixante ans et décoré de presque tous ses titres de gloire lorsqu'il entra en correspondance avec Pascal. Il est touchant de voir les rapports intimes qui s'établirent entre eux, l'admiration que le vieux savant professait pour son jeune correspondant et la confiance entière qu'il avait en son génie. En 1660, il apprend que Pascal s'est rapproché de

' Voir M. liibri, Revue des Deux-Mondes, 15 août 1842. 2 Sous ce titre : Varia opéra mathematlca D. P. de Fermat, senatoris Tolosani, etc. Toulouse, 1679. In-fol.

Toulouse. Aussitôt il lui écrit : « Dès que j'ai su » que nous sommes plus proches Tun de l'autre » que nous n'étions auparavant , je n'ai pu résis- » ter à un dessein d'amitié dont j'ai prié M. de » Carcavi d'être le médiateur : en un mot, jepré- » tends vous embrasser, et converser quelques » jours avec vous ; mais parce que ma santé n'est » guère plus forte que la vôtre, j'ose espérer » qu'en cette considération vous me ferez la » grâce de la nriioitié du chemin , et que vous » m'obligerez de me marquer un heu entre » Clermont et Toulouse , où je ne manquerai pas » de me rendre vers la fm de septembre ou le » commencement d'octobre. Si vous ne prenez » pas ce parti , vous courrez hasard de me voir » chez vous , et d'y avoir deux malades en même » temps ' . »

Plein de vénération pour le caractère et les talents de Fermât qu'il appelle le premier homme du monde , Pascal s'empressa de répondre pour lui témoigner toute sa reconnaissance et lui dire l'impossibilité où sa faible santé le mettait d'accepter son invitation. S'il eût été plus fort, il serait volé à Toulouse , et n'aurait pas souffert qu'un homme comme Fermât eût fait un pas pour un homme comme lui. Cependant , quoiqu'il

• OEuvres,i. IV, p. S91.

le tînt pour le plus grand géomètre de tonte l'Eur rope , ce n'aurait pas été cette qualité-là gui l'aurait attiré; mais il se figurait tant desprit et d'honnêteté dans sa conversation que c'est pour cela qu'il l'aurait recherché. « Car, ajoute-t-il, » pour vous parler franchement de la géométrie, » je la trouve le plus haut exercice de l'esprit ; » mais en même temps je la connais pour si » inutile , que je fais peu de différence entre un » homme qui n'est que géomètre et un habile » artisan. Aussi je l'appelle le plus beau métier » du monde ; et j'ai dit souvent qu'elle est bonne » pour faire l'essai , mais non pas l'emploi de » notre force ; de sorte que je ne ferais pas deux » pas pour la géométrie , et je m'assure que vous M êtes fort de mon humeur ^. »

Ce que nous savons du caractère de Fermât et de l'indifférence avec laquelle il cultivait les sciences nous donne lieu de penser qu'en cela il était loin de contredire le jugement de son jeune ami. Mais un tel anathème contre la géométrie se comprend plus difficilement de Pascal. Nous le reprendrons tout-à-l'heure quand nous aurons à définir son génie scientifique, et nous nous demanderons si les circonstances dans lesquelles il a été fulminé n'en renferment pas la véritable explication.

* OEuvres, t. IV, p. 392.

CUAP. I. — PASCAL SAVANT. ?28

Le traité du triangle arithmétique et les autres opuscules qui s'y rapportent furent trouvés imprimés parmi les écrits de Pascal, quoiqu'ils n'eussent pas été livrés à la publicité. Tous ces travaux sont de 1054 , comme le prouve la date de la correspondance avec Fermât ' . C'est à peu près dans le même temps qu'il inventa la brouette ou vinaigrette et le haquet.

Après avoir exprimé son dédain pour la géométrie, Pascal disait dans sa lettre à Fermât : « Il y a maintenant ceci de plus en moi , que je » suis dans des études si éloignées de cet esprit- » là , qu'à peine me souviens-je qu'il y en ait. » Je m'y étais mis il y a un an ou deux, par une » raison tout- à-fait singulière, à laquelle ayant » satisfait , je suis au hasard de ne jamais plus y » penser. »

Depuis 1654, en effet, Pascal avait abandonné la carrière des sciences pour se livrer tout entier à la polémique des Provinciales et à ses études religieuses , lorsqu'il y fut rejeté par son ami le duc de Roannez. Mais ce ne fut qu'un fait bien accidentel dans la vie nouvelle qu'il avait embrassée, et presque immédiatement il revint à son travail apologétique.

* Bossut, Discours prélim^y p. xxx.