HISTOIRE DE LA ROULETTE. — LE PÈRE LALOUÈRE

Pendant une nuit d'insomnie causée par un horrible mal de dents , le souvenir de quelques problèmes sur la roulette vint tenter son génie mathématique. Il s'y appliqua d'abord pour faire diversion à ses douleurs, puis un peu par goût , sans doute , vint à bout de les résoudre et découvrit des choses que les hommes du métier admirent encore profondément aujourd'hui. Aujourd'hui même, dit Bossut ', les découvertes qu'il y fit sont comptées parmi les plus grands efforts de l'esprit humain.

La roulette n'est autre chose que le chemin que fait en l'air le clou d'une roue, quand elle roule de son mouvement ordinaire , depuis que ce clou commence à s'élever de terre, jusqu'à ce que le roulement continu de la roue l'ait rapporté à terre , après un tour entièrement achevé : supposant que la roue est un cercle parfait , le clou un point dans sa circonférence, et la terre parfaitement plane. Telle est la définition qu'en donne Pascal lui-même ^.

' Discours prélim., p. lu.

^ Histoire de la Roulette, OEuvres, t. V, p. 155.

Quelque commune que soit cette ligne dans la nature , on ne voit pas qu'elle ait attiré Tattention des anciens. Le père Mersenne fut le ppemicr qui le remarqua , en 1615 , dans le roulement des roues , et il lui donna le nom de Roulette. Le père Mersenne, au jugement de Pascal, avait plus de talent pour soulever les problèmes que pour les résoudre; aussi ne put-il reconnaître les propriétés de la Roulette, et il en proposa alors la recherche à plusieurs savants de l'Europe, entre autres à Galilée. Tous désespérèrent du succès et renoncèrent à ce travail. En 1634, Mersenne soumit encore le problème à Robcrval qui réussit à découvrir quelques propriétés , et changea le nom de Houlette en celui de Trochoïde. Roberval demanda le secret de ses solutions, et Mersenne continua d'interroger les savants. Mais comme personne ne répondait, il livra enfm la solution de Roberval dont Fermât et Descartes trouvèrent alors la démonstration.

En 1638, Beaugrand envoya les solutions du plan de la Roulette à Galilée , mais sans lui en nommer les auteurs, et après avoir encore changé les noms de Roulette et de Trochoïde en celui de Cyclo'ide. Ils moururent bientôt après l'un et l'autre, et tous les papiers de Galilée vinrent aux mains de Toricclli. Celui-ci fit imprimer en 1644 un livre où il attribuait à Galilée ce qui était à

Mersenne , c'est-à-dire la position du problème, et à lui-même la résolution trouvée par Roberval. Roberval et Mersenne portèrent plainte , et Toricelli renonça franchement à la gloire de la découverte, sitôt qu'on lui démontra la priorité du géomètre français.

Tel est le récit que fait Pascal des premiers travaux sur la Roulette. Mais plusieurs auteurs, entre autres Montucla ' , en contestent l'exactitude. C'est bien Galilée, et non Mersenne, qui parait avoir eu la première idée de cette courbe, mais il ne put en déterminer l'aire. Mersenne alors proposa le problème à Roberval qui, après de très-longues recherches , vint à bout de le ré- ; soudre. Descartes, toujours dédaigneux pour ses 7 rivaux, pour Roberval en particulier avec lequel il fut constamment en lutte, reçut avec peu de j respect la communication que Mersenne lui fit I de cette découverte, et ce fut, dit Montucla, le I commencement des querelles nombreuses que l cette Hélène des géomètres causa parmi eux. Descartes poussa le dédain jusqu'à proposer d'autres problèmes sur la Roulette en défiant Roberval et môme Fermât de les résoudre. Fermât réussit aussitôt , Roberval à grand'peine, et la querelle s'envenima.

* Histoire des Mathématiques, t. II, p. 53 et suiv.

Cependant Mersenne , ou directement ou par l'inlennédiaire de Beaugrand, entretint de nouveau Galilée de la Cycloïde, comme d'une courbe qui occupait beaucoup alors les géomètres français , et l'invita à de nouvelles recherches. Nonseulement les solutions trouvées en France ne lui furent point envoyées, mais on ne lui dit même pas qu'elles existassent. Proposer encore à l'illustre vieillard un problème dans lequel on savait qu'il avait échoué , en lui disant que d'autres avaient été plus heureux et plus habiles , lui eût paru un défi blessant.

Galilée n'essaya pas un nouveau travail et en chargea Cavalleri, un de ses disciples. Nous voyons par les lettres qu'il lui adressa à cette occasion en 1639 et 1640, qu'il désespérait de la solution du problème. Beaugrand ne lui avait donc pas communiqué en 1638 celles de Boberval , de Descartes et de Fermât. C'est là une démonstration .mathématique. Cavalleri se mit à l'œuvre et échoua comme son maître. Galilée mourut en 1642, et il est certain qu'à cette époque rien n'avait été trouvé encore en Italie sur la nature et les propriétés de la Boulette, et qu'on ignorait complètement le résultat des travaux français. Toricelli reprit alors l'élude de cette courbe conjointement avec Viviani , autre disciple de Galilée, et tous deux , par leurs pro-

près forces et sans aucun secours étranger, réussirent à en déterminer l'aire et les tangentes. Toricelli fut donc à la fois surpris et blessé des réclamations et de l'accusation odieuse qui lui vinrent de France. Il se contenta de répondre que peu importait par qui avaient été faites les premières découvertes, qu'il avait découvert luimême , qu'il ne s'était point attribué la gloire de l'invention , et qu'il la laissait bien volontiers aux savants français ; qu'il renonçait donc à la priorité poîo'yif qu'on ne voulût point la lui ravir de force. Cette déclaration était franche et fière. Pascal le reconnaît lui-même, et cependant il renouvela contre Toricelli l'accusation de plagiat dans son Histoire de la Roulette '. On peut dire, pour l'excuser, qu'il fut trompé par son ami Roberval qui mit beaucoup de passion dans cette affaire , et qu'il n'en connaissait pas alors tous les documents, en particulier les lettres de Galilée. Baillet ne saurait revendiquer le bénéfice de cette ignorance , lui qui écrivait un demisiècle après , et cependant , dans sa Vie de Descartes ^, il répète servilement tout ce que Pascal avait avancé contre Toricelli. D'après ce que nous venons de raconter, il est clair désormais que la vérité se trouve dans cette conclusion de

"* OE livres, t. V, p. 159.

» Liv. IV, ch. XV.

Bossu t ^ : «J'ai lu, dit-il, avec beaucoup de » soin toutes les pièces du procès , et j'avoue que » l'accusation de Pascal me paraît un peu ha- » sardée. Il y a apparence que Toricelli avait » réellement découvert les propositions qu'il » s'attribuait , ignorant que Roberval l'eût pré- » cédé de plusieurs années. » Pascal néanmoins n'aurait pas dû être si prompt à accuser un homme à l'égard duquel il avait été lui-même accusé de plagiat.

Roberval poursuivit ses travaux sur la Roulette, en démontra plusieurs propriétés nouvelles, et la chose en resta là pendant quatorze ans. Dès que cette question se fut 'présentée au génie de Pascal dans son insomnie , il se forma aussitôt, au milieu d'atroces douleurs qu'il trompait ainsi, une méthode particulière, à l'aide de laquelle il résolut tous les problèmes relatifs à la Roulette, et ceux de Roberval, et d'autres plus difficiles qui restaient encore à connaître. En moins de huit jours il eut achevé toutes ses démonstrations.

Il parla alors de ses découvertes géométriques à plusieurs de ses amis , surtout au duc de Roannez. Celui-ci , jaloux à la fois de la gloire de son ami et de l'honneur de la religion, et

* Discours, p. lui.

d'ailleurs assez versé dans les mathématiques, conseilla à Pascal de proposer publiquement ses problèmes aux savants de l'Europe. S'ils viennent à bout de les résoudre, disait-il, au moins en reconnaîtront-ils la difficulté , et la gloire en reviendra toujours au premier inventeur; s'ils échouent, vous demeurez l'homme le plus profond de l'Europe en démonstrations géométriques, et il sera prouvé par là que la science n'est pas un obstacle à la religion, et qu'on peut être simultanément grand géomètre et chrétien soumis *. 11 est à croire que c'est la dernière partie de l'alternative qui tentait surtout Roannez, Pascal et ses amis. Le désir de la voir se réaliser n'influa- t-il pas sur leurs jugements? N'était-ce pas une affaire de parti?

Quoiqu'il en soit, au mois de juin 1658, Pascal proposa publiquement ses problèmes et les conditions du concours ^. On devait adresser les solutions à Carcavi avant le T' octobre, et prendre , par acte public, date du jour qu'on aurait signifié et délivré ks pièces. Le premier en date devait gagner un prix de quarante, le second un prix de vingt pistoles. Si un seul remplissait les conditions du concours, il avait droit aux deux prix. Enfin, si dans l'intervalle des trois mois

* Bossut, Discours prélim., p. Liv. ^ OEuvres, t. V, p. 129.

accordés, personne ne réussissait à résoudre les problèmes, Pascal s'engageait à livrer au public ses propres solutions.

A quelques jours de là, Pascal, sur l'invitation de Carcavi qui lui avait proposé quelques doutes, expliqua davantage ses problèmes ^, et pour faciliter le concours, il déclara qu'on se contenterait ou d'une démonstration abrégée ou du calcul d'un cas particulier qu'il exposait, ce calcul suffisant à prouver que son auteur avait la solution nette et complète de tous les problèmes. On devait envoyer ensuite et à loisir l'entière démonstration des autres cas proposés. Dans l'hypothèse de démonstrations entières et exactes, on ne devait pas tenir compte des erreurs de calcul.

Pendant la durée du concours, des réclamations furent adressées à Amos Dettonville, anagramme de Louis de Montalte, sous lequel se cachait Pascal. Elles avaient pour auteur Wallis, mathématicien anglais. Il demandait, au nom des étrangers, un délai pour la remise des pièces, attendu que, par suite de la guerre ou des tempêtes , ces pièces , remises à temps, pouvaient ne pas arriver au jour fixé. 11 demandait même l'autorisation d'envoyer d'autres pièces, dans le cas où les premières se seraient perdues en route, à

« OEuvres, t. V, p. 133.

la condition que les secondes seraient certifiées conformes aux premières par des officiers publics , et qu'on donnerait la preuve authentique que le premier travail était achevé avant le terme assigné au concours.

Dettonville répondit avec raison que ce serait rendre le procès interminable ; que ceux qui seraient déclarés les premiers en date après le nouveau délai qu'on demandait, et jugés dignes des prix, ne pourraient jamais les posséder en sécurité, car d'autres concurrents pouvaient survenir encore, et sur la foi des bourgmestres et officiers de la Moscovie, de la Tartarie, de la Cochinchine ou du Japon, prouver qu'ils étaient les premiers en date; que sans doute il faisait les conditions meilleures aux Français et surtout aux Parisiens qu'aux étrangers, mais qu'il avait droit de disposer en toute liberté de prix provenant de sa pure libéralité, laissant d'ailleurs à tous l'honneur de leurs inventions, parce qu'il ne disposait pas de la gloire et du mérite, mais seulement de son argent.

C'était le 7 octobre que Dettonville faisait cette réponse *. L'époque de la remise des pièces était fermée, mais le jugement du concours retardé par suite d'une absence de Carcavi. Avant

* OEuvres,t. V, p. 13.5.

l'ouverture du procès, Pascal voulait prévenir les difficultés et les objections. Wallis , du reste, même avant d'avoir reçu la réponse à sa réclamation, avait pris le parti le plus noble et s'était mis courageusement au travail. Aussi put-il envoyer ses solutions dès le commencement de septembre.

Dans la pièce que nous analysions tout-àl'heure, Dettonville répondait à une autre difficulté. Cette réponse s'adressait encore à Wallis, mais surtout au père Lalouère ', jésuite de Toulouse, un autre concurrent, déjà connu par un ouvrage de géométrie publié en 1651. S'il faut en croire Dettonville, le Jésuite se serait imaginé qu'il suffisait, pour prendre date, d'envoyer un calcul quelconque, faux même, se réservant ensuite tout le loisir de résoudre exactement les questions. Dettonville répondit que, pour prendre date, il était nécessaire d'envoyer ou un calcul exact, ou une démonstration parfaite et géométrique , et que dans ce dernier cas seulement il tolérait les erreurs de calcul ; qu'en un mot, pour prendre date, il fallait prouver qu'on avait résolu les problèmes, ce qu'évidemment ne prouvait pas un calcul faux sans aucune démonstration.

Examinons maintenant les réponses qui furent

• Plusieurs auteurs écrivent Laloubère. Le Jésuite signait ses écrite latins, Lalovera, ce qui doit se traduire Lalouère,

faites aux questions de Pascal. Elles étaient de deux sortes. Les uns, sans prétendre au prix, s'étaient contentés de donner leurs premières pensées sur la Roulette. « J'ai trouvé de belles » choses dans leurs lettres, dit Pascal *, et des » manières fort subtiles de mesurer le plan de la » Roulette, et entre autres dans celles de M.Sluze, » chanoine de la cathédrale de Liège; de M. Ri- » chi 2, romain ; de M. Hugnens , hollandais ; » de M. Wren, anglais ^. » Pascal insiste beaucoup sur les solutions de Wren , puis il ajoute que, sur le simple énoncé des théorèmes du mathématicien anglais, Fermât et Roberval, chacun de leur côté, en donnèrent immédiatement la démonstration entière.

Comme nous l'avons dit, le jugement avait été remis, à raison de l'absence de Carcavi. Dettonville avait profité de ce délai pour prévenir toute difficulté et proposer de nouveaux problèmes sur la Cycloïde , plus savants encore que

> Hist. de la Roulette , t. V, p. 162.

* Ainsi écrit Pascal. C'est Ricci qu'il faut mettre. Ricci était disciple de Toricelli et devint depuis cardinal.

' Architecte de Saint -Paul de Londres, homme d'un talent précoce pour les mathématiques et qui ne dut qu'à une circonstance fortuite , l'incendie de Londres en 1666, la révélation de son génie architectural. Il fut enterré sous le dôme de Saint- Paul. On lit ce mot magnifique sur sa simple pierre sépulcrale : Si monumentum requiriSy circumspice. «

ceux qui avaient fait la matière du concours. Malgré sa promesse, il ne publiait pas lui-même ses solutions après le premier octobre, afin de laisser aux concurrents la gloire d'avoir rencontré les premiers, dans le cas où quelques-uns auraient réussi. Dans l'hypothèse contraire, il s'engageait de nouveau à donner ce que personne n'aurait trouvé, et à y ajouter la solution des nouveaux problèmes qu'il proposait, les seuls qui restassent sur la nature de la Roulette. Néanmoins il avait commencé à divulguer son calcul, et l'avait donné manuscrit à plusieurs personnes dignes de foi , entre autres à Carcavi , à Roberval et à Galois, notaire royal à Paris.

Ce fut le 24 novembre que s'ouvrit le jugement du concours. Carcavi s'était adjoint plusieurs géomètres. Deux concurrents seuls avaient traité les problèmes et prétendaient aux prix : c'étaient le père Lalouère et Wallis. Ils furent écartés, se plaignirent qu'on leur faisait injustice, et eurent querelle à ce sujet avec Dettonville. D'après les récits de Pascal S voici ce qui se serait passé.

Pour Wallis, Pascal raconte en deux mots^ qu'il avait envoyé son travail dès le commencement de septembre. Puis Carcavi, dans le cours

* OEuvres, t. V, p. 183-190.

' Ibid., p. 186.

du mois , reçut de lui trois lettres. Dans la première il corrigeait quelques erreurs de calcul, ajoutant qu'il n'était pas encore pleinement assuré du reste, ne l'ayant pas, jusqu'à ce temps-là, suffisamment examiné ; dans la dernière il manifestait défiance de ses solutions, car il demandait si on ne se contenterait pas d'une solution approchante de la véritable. Cependant il ajoutait que les défauts qui pouvaient être dans ses solutions, et qu'il appelait des erreurs de calcul, n'empêchaient pas, selon son avis, que la difficulté des problèmes ne fût suffisamrnent surmontée *.

Les juges ne partagèrent pas son avis et déclarèrent qu'il n'avait pas trouvé les problèmes ; qu'outre les erreurs corrigées , il en avait laissé d'autres, qu'il y en avait de nouvelles dans sa correction même, que ces erreurs n'étaient point de calcul , mais de méthode , les calculs étant très-conformes aux méthodes , que , par conséquent, les méthodes mêmes étaient fausses. On r écarta du prix.

WaUis fut piqué et se plaignit amèrement dans la préface de son traité de Cycloïde et dans ses autres ouvrages. Ce traité ne parut qu'après la publication des recherches de Pascal, en 1659. Wallis s'y bornait aux problèmes du pro-

* OEuvres, t. V, p. 186, 187.

gramme. Ce ne fut que plus tard, en 1670, qu'il traita des problèmes nouveaux qu'avait proposés Pascal au mois d'octobre 1658, dans son Histoire de la Houlette.

Quant au père Lalouère, toujours d'après le récit de Dettonville, il n'aurait d'abord envoyé qu'un simple calcul d'un cas proposé. Quelques jours après, il aurait écrit que son calcul était faux, ce qu'il aurait confirmé par d'autres lettres des mois de septembre , octobre et novembre , sans néanmoins envoyer d'autres calculs. Il aurait même déclaré qu'il ne prétendait point aux prix destinés à ceux qui auraient résolu les problèmes dans le temps déterminé. Carcavi jugea en conséquence qu'il n'était pas nécessaire de soumettre son calcul à l'examen , et on n'y apporta pas beaucoup d'attention. D'ailleurs le calcul était faux, ce qui indiquait, puisqu'il avait été envoyé seul, erreur ou absence de méthode. D'un autre côté, on l'avertit en particulier et publiquement dans V Histoire de la Roulette , que les cas traités par lui étaient déjà résolus par Roberval ' .

Lalouère ne s'avoua pas vaincu. Il publia qu'il avait découvert des choses extraordinaires

• Ilist. de la Roulette, t. V. p. 163, et Suite de l'Hist. de la Houlette,]^. 190.

sur la Cycloïde , qu'il avait résolu tous les problèmes, mais qu'il ne livrerait à l'impression son ouvrage qu'après que Dettonville aurait imprimé lui-même ses inventions. Pascal avait une très-pauvre idée du P» Lalouère , et il écrivit à ce propos : « Je fus surpris de sa petite ambition, » car je connaissais sa force et la difficulté de » mes problèmes , et je jugeais assez , par tout » ce qu'il avait produit jusqu'ici, qu'il n'était » pas capable d'y arriver'. » Cependant dès 1658 le Jésuite avait publié un écrit sur la Cycloïde qui devint le premier livre de son grand ouvrage ; et quoiqu'il n'y traitât pas les problèmes les plus difficiles proposés par Pascal , il avait suffisamment prouvé par là son mérite en géométrie. Malgré tout , convaincu que Lalouère était incapable de rien publier avant lui , Pascal résolut de le pousser à l'extrémité, et il annonça qu'il différerait jusqu'au V janvier la publication de ses problèmes, afin de lui laisser le temps d'imprimer les siens. Lalouère persista dans sa résolution, et au commencement de 1659, Pascal livra ses problèmes à l'impression. Il en envoya le commencement au Jésuite qui répondit que c'était ainsi qu'il avait rectifié lui-même ses calculs. Dettonville le poursuivit de ses sar-

' Suite de l'Histi de la Âouleite, p. 195.

casmes , et il vit le public s'associer encore à lui en cette circonstance, comme au temps des Provinciales.

Pascal publia ses découvertes sur la Cycloïde d'abord dans une lettre àCarcavi', puis dans divers traités particuliers où il posait des principes de solution. Il réunit ensuite le tout dans le traité général de la Roulette et dans deux autres petits opuscules consacrés aux problèmes du mois d'octobre. Ces travaux furent encore suivis de quelques autres inventions géométriques, et Pascal prit définitivement congé de la science : trois ans après il devait prendre congé de la vie.

Il est difficile de découvrir la vérité dans cette histoire de la Roulette, parce que, ici encore, les détails ne nous sont connus, pour la plus grande partie, que par Pascal et ses amis, et que la postérité a généralement pris fait et cause pour lui contre les Jésuites. Cependant ses récits ne sont pas à l'abri de toute attaque, et Montucla nous a déjà aidés à en rectifier quelques points. Pour le reste, nous ne pouvons l'accepter qu'avec réserve et défiance. D'abord, comme nous l'avons observé, la proposition seule de ces problèmes, conseillée par Roannez , était évidemment une

* OEui>res, t. V, p. il 6.

2i0 II' PARTIE. — ÉCRITS LT GÉNIE.

affaire de parti. On croyait bien que personne ne viendrait à bout de les résoudre, et ce préjugé orgueilleux était un obstacle à l'impartialité des juges. On eût été désolé de voir Port-Royal, dans la personne de Pascal , surpassé ou même égalé par quelqu'un , surtout par un protestant et un Jésuite. L'honneur de la religion, c'est-àdire du Jansénisme , ne le pouvait permettre. Puis, quels étaient les juges du concours? Des Jansénistes encore, Carcavi qui logeait chez le duc de Liancourt, le protecteur, le maître-d'hôtel , en quelque sorte, des Port-Royahstes. L'amour-propre, l'esprit de secte plus injuste encore, s'étaient mis évidemment de la partie. On le voit au ton arrogant et dédaigneux de Pascal dans tous les opuscules relatifs à cette affaire. Jamais il n'avait porté si loin l'orgueil de la science et le mépris de ses adversaires. Et pourtant ces adversaires étaient-ils si méprisables? Y avait-il témérité de leur part à aborder les questions qu'il avait proposées ? Déjà Wallis s'était placé au rang des plus célèbres mathématiciens de l'Europe et entretenait une correspondance très-étendue avec les plus illustres promoteurs des sciences. De tous les précurseurs de Newton, il est un de ceux dont les inventions mathématiques ont le plus servi aux découvertes de ce grand homme. Quant au P. Lalouère, c'é-

lait certainement un homme fort distingue dans les sciences, et surtout un géomètre très-remarquable. «Pascal, dit Leibniz, trouva quelques » vérités profondes et extraordinaires en ce

» temps-là sur la cycloide Il les proposa par

» manière de problèmes; mais M. Wallis, en » Angleterre, le P. Lalouère , en France , et en- » core d'autres trouvèrent le moyen de les ré- » soudre. » Leibniz n'est pas suspect. Ce n'était pas un Jésuite, et nous savons par sa lettre à Etienne Perier dont nous avons déjà fait mention quelle estime il professait pour Pascal. Il l'api pelle un des meilleurs esprits du siècle... Il a de la passion pour tout ce qui regarde M. Pascal. Monlucla, juge bien compétent et dont on ne saurait non plus suspecter le témoignage, dit de son côté que le livre du P. Lalouh'e donnait la solution de tous les problèmes proposés par Pascal , et qu'il contenait une profonde et savante géométrie '. Il est vrai qu'il trouve Lalouère bien jugé et qu'il dit de son ouvrage : « Mais ce livre » ayant été publié en 1060, qui nous assure » qu'il ne s'aida point alors de l'ouvrage dePas- » cal publié dès le commencement de 1659?» Mais, observe avec raison M. de Maistre^, dans cet intervalle d'une année, le Jésuite aurait-il

• llist. des Mathém., ia-4", t. II, p 77 (1778-1779). ' ne rÈgllse gallicane .

eu le temps de composer, d'imprimer, de faire graver un volume 10-4" sur les mathématiques ? D'ailleurs, s'il eût été plagiaire, et plagiaire de Pascal, on aurait réclamé, ce qu'on n'a pas fait. Montucla convient du reste que Pascal, tout grand homme qu'il était, paya tribut aux passions humaines, et il est évident que, dans toute celte affaire, il ne se montra ni exact ni impartial. Il aurait dû comprendre en particulier la différence de position entre lui et ses adversaires. Celui qui propose un problème de son goût et de son choix, observe encore Montucla, un problème médité, élaboré, résolu à loisir, a un immense avantage sur celui qui l'aborde tout-à-coup, sur l'invitation d'autrui, sans avoir peut-être jamais dirigé ses recherches de ce côté, et néanmoins est forcé de concentrer bien vite ses réflexions sur ce sujet inconnu, pour trouver une solution dans un temps dont les limites lui ont été rigoureusement fixées.

Nous avons insisté à dessein sur la partie de l'histoire scientifique de Pascal relative aux questions du vide et de la Roulette, et sur ses démêlés avec le P. Noël et le P. Lalouère. C'est le combat d'avant-garde et d'arrière-garde de la grande bataille dont nous allons être bientôt les spectateurs ; c'est le prologue et l'épilogue des Provinciales. Un mot d'abord, pour clore ce chapitre, du génie scientifique de Pascal.